Przeczytaj

odwrotne do twierdzenia Talesa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli dwie proste $k$ , $l$ przecinają ramiona kąta w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , jak na poniższym rysunku, oraz zachodzi równość stosunków
$|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ , wówczas proste $k,$ $l$ są równoległe.

RnjRAfn50dnzO

Ilustracja przedstawia dwie półproste odchodzące ze wspólnego punktu O. Na jednej półprostej leżą punkty C i D a na drugiej A i B. Kolejne dwie proste przechodzą odpowiednio prosta l przez punkty C i A oraz prosta k przez punkty D i B.

Dowód

Poprowadźmy przez punkt $A$ prostą równoległą do $k$ i niech $E$ będzie punktem przecięcia tej prostej z drugim ramieniem kątakątkąta. Z twierdzenia Talesa wynika, że $|O E| : |O D| = |O A| : |O B|$ .

RJScZec5pM0IZ

Ilustracja przedstawia dwie półproste odchodzące ze wspólnego punktu O. Na jednej półprostej leżą punkty E, C i D a na drugiej A i B. Kolejne dwie proste przechodzą odpowiednio prosta l przez punkty C i A oraz prosta k przez punkty D i B. Przez punkt E oraz punkt A przechodzi prosta oznaczona czerwoną przerywaną linią.

Stąd $|O C| : |O D| = |O E| : |O D|$ czyli $|O C| = |O E|$ , więc odcinki te mają równe długości. Teraz zauważmy, że punkt $O$ jest zarówno punktem wspólnym obu tych odcinkówwierzchołek kątapunktem wspólnym obu tych odcinków, jak też początkiem półprostej, na której leżą punkty $E$ i $C$ . Stąd $C = E$ .

odwrotne do uogólnionego twierdzenia Talesa

Twierdzenie: odwrotne do uogólnionego twierdzenia Talesa

Jeżeli dwie proste $k$ , $l$ przecinają dwie przecinające się proste w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ,jak na poniższym rysunku oraz zachodzi równość stosunków
$|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ , to proste $k$ , $l$ są równoległe.

RCBGnOq0dBVWp

Ilustracja przedstawia dwie proste przechodzące przez punkt wspólny O. Na jednej prostej leżą , po przeciwnych stronach puntu środkowego O punkty C i D , a na drugiej punkty A i B w takim samym układzie. Przez przechodzą odpowiednio dwie proste l przez punkty A i C oraz k przez punkty D i B , równoległe do siebie.

Dowód

Dowód przebiega analogicznie do dowodu twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.

Poprowadźmy przez punkt $A$ prostą równoległą do $k$ i niech $E$ będzie punktem przecięcia tej prostej z drugim ramieniem kąta. Z uogólnienia twierdzenia Talesa wynika, że $|O E| : |O D| = |O A| : |O B|$ . Stąd $|O C| : |O D| = |O E| : |O D|$ czyli $|O C| = |O E|$ , więc odcinki te mają równe długości i stąd $C = E$ .

Będziemy używać określenia twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa niezależnie od tego czy jest to twierdzenie odwrotne do podstawowej, czy uogólnionej wersji twierdzenia Talesa.

Przykład 1

Na poniższym rysunku zaznaczone są długości niektórych odcinków wyznaczonych przez dwie proste przecinające ramiona kątaramiona kątaramiona kąta. Pokażemy, że proste te są równoległe.

R1KNq5Kta6Zuo

Rozwiązanie:

Wystarczy sprawdzić, że $| O C | : | O D | = | O A | : | O B |$ .

Rzeczywiście, $| O C | : | O D | = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ oraz $| O A | : | O B | = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ .

Bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Talesa oraz z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa jest poniższy fakt.

Wniosek z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.

Jeżeli dwie proste $k$ , $l$ przecinają ramiona kąta (lub dwie przecinające się proste) w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , jak na poniższych rysunkach

R1CuUSLhO3Y2H

R1RtVn41xFrNO

oraz zachodzi jeden z następujących warunków:

$|O C| : |C D| = |O A| : |A B|$ ,

$|O A| : |A C| = |O B| : |B D|$ i $|O C| : |A C| = |O D| : |B D|$ ,

to proste $k$ , $l$ są równoległe.

Dowód:

Jeżeli $|O C| : |C D| = |O A| : |A B|$ , to w równoważnym zapisie $\frac{|C D|}{|O C|} = \frac{|A B|}{|O A|}$ .
W przypadku, gdy proste $k$ , $l$ leżą po tej samej stronie punktu $O$ mamy
$|O D| : |O C| = \frac{|O C| + |C D|}{|O C|} = 1 + \frac{|C D|}{|O C|} = 1 + \frac{|A B|}{|O A|}$ oraz $|O B| : |O A| = \frac{|O A| + |A B|}{|O A|} = 1 + \frac{|A B|}{|O A|}$ .
Stąd zachodzi równość $|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ , więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste $k$ , $l$ są równoległe.
W przypadku, gdy proste $k$ , $l$ leżą po różnych stronach punktu $O$ mamy
$\frac{|C D|}{|O C|} = \frac{|O C| + |O D|}{|O C|} = 1 + \frac{|O D|}{|O C|}$ oraz $\frac{|A B|}{|O A|} = \frac{|O A| + |O B|}{|O A|} = 1 + \frac{|O B|}{|O A|}$ .
Stąd $\frac{|O D|}{|O C|} = \frac{|O B|}{|O A|}$ , więc zachodzi równość $|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste $k$ , $l$ są równoległe.

Jeżeli $|O A| : |A C| = |O B| : |B D|$ i $|O C| : |A C| = |O D| : |B D|$ , to $\frac{|A C|}{|B D|} = \frac{|O A|}{|O B|}$ oraz $\frac{|A C|}{|B D|} = \frac{|O C|}{|O D|}$ .
Stąd $|O A| : |O B| = |O C| : |O D|$ . Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa proste $k$ , $l$ są równoległe.

Przykład 2

Na poniższym rysunku zaznaczone są długości niektórych odcinków wyznaczonych przez dwie proste przecinające ramiona kąta. Wyznaczymy wartość $x$ tak, żeby proste $A C$ i $B D$ były równoległe.

RMPjv4SI8NdLJ

Rozwiązanie:

Aby te proste były równoległe, musi zachodzić równość

$|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ .

Stąd $\frac{3}{10} = \frac{6}{x}$ , czyli $x = \frac{6 \cdot 10}{3} = 20$ .

Zauważmy, że spełnienie tylko jednego z warunków $|O A| : |A C| = |O B| : |B D|$ lub $|O C| : |A C| = |O D| : |B D|$ nie wystarczy do zagwarantowania równoległości prostych $A C$ i $B D$ .

Na poniższym rysunku mamy $|O C| : |A C| = \frac{6}{3} = 2 = \frac{10}{5} = |O D| : |B D|$ oraz $|O C| : |A' C| = \frac{6}{3} = 2 = |O D| : |B D|$ , przy czym prosta $C A$ jest równoległa do $B D$ , a prosta $C A'$ nie jest równoległa do $B D$ .

R8bD8lncA7zh0

Grafika przedstawia dwie półproste odchodzące ze wspólnego punktu O. Na jednej półprostej leżą punkty C i D a na drugiej A' , A i B . Kolejne dwie proste równoległe do siebie przechodzą odpowiednio przez punkty C i A oraz D i B. Odcinek OC jest równy 6 , odcinek CD jest równy 4, odcinek CA jest równy 3 a odcinek DB jest równy 5. Zaznaczono również odcinek C A' o długości 3 który jest jednocześnie promieniem okręgu o środku C, podobnie jak odcinek CA. Od punktu C poprowadzono oznaczony zieloną przerywaną linią prostopadły odcinek do drugiej prostej.

Zadamy sobie teraz pytanie czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne do następującego twierdzenia:

o proporcji odcinków wyznaczonych przez trzy proste równoległe

Twierdzenie: o proporcji odcinków wyznaczonych przez trzy proste równoległe

Jeżeli trzy proste równoległeproste równoległeproste równoległe przecinają ramiona kąta, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu, czyli $|A B| : |D E| = |B C| : |E F|$ .

RjFs6LwjZtsgp

Grafika przedstawia dwie półproste będące przedłużeniami ramion kąta. Na jednej półprostej znajdują się punkty D, E i F a na drugiej punkty A, B i C . Przez te punkty przechodzą równoległe do siebie nawzajem proste , odpowiednio: jedna prosta przechodzi przez punkty D i A , druga przez E i B a trzecia przez F i C. przedłużeniami ramion kąta. Na jednej półprostej znajdują się punkty D, E i F a na drugiej punkty A, B i C . Przez te punkty przechodzą równoległe do siebie nawzajem proste , odpowiednio: jedna prosta przechodzi przez punkty D i A , druga przez E i B a trzecia przez F i C.

Czy z równości $|A B| : |D E| = |B C| : |E F|$ wynika równoległość prostych?

Odpowiedź brzmi NIE. Wystarczy spojrzeć na kontrprzykład na poniższym rysunku.

R8yRFiSTbdWxG

Przykład 3

Wzdłuż ogrodzenia ogrodu Janka stoją choinki. Janek wychodząc z domu do ogródka zauważył, że wyjście z domu jest dokładnie pośrodku między drzewami stojącymi po prawej i lewej stronie domu oraz, że choinki na przeciwległej stronie od domu stoją tak, że choinka środkowa stoi pośrodku ogrodzenia. Czy na tej podstawie można stwierdzić, że boki ogrodzenia są równoległe?

Rozwiązanie:

R1fJIkBCyNLvj

Grafika przedstawia dwie nieprzecinające proste z czego jedna jest pozioma, a druga ukośna. Proste połączone są trzema pionowymi odcinkami. Przy pierwszym odcinku leżą trzy choinki. Przy drugim na jednym końcu domek, a na drugim choinka. Przy trzecim leżą cztery choinki.

Popatrzmy na powyższy rysunek. Linia łącząca wejście domu ze środkową choinką dzieli linie górną i dolną na połowy, więc proporcje odpowiednich odcinków w powyższym twierdzeniu są równe. Jest jednak za mało informacji, by stwierdzić równoległość.

Przykład 4

Na poniższym rysunku punkty $D$ i $E$ są środkami boków trójkąta $A B C$ . Pokażemy, że czworokąt $A D E C$ jest trapezem.

R1835dqQh4Plg

Grafika przedstawia trójkąt ABC. Na środku boku AB znajduje się punkt D a na środku boku BC znajduje się punkt E. Odcinek DE oznaczono przerywaną linią.

Rozwiązanie:

Stosując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa pokażemy, że odcinek $D E$ jest równoległy do boku $A C$ . Rzeczywiście

$\frac{|B D|}{|B A|} = \frac{1}{2} = \frac{|B E|}{|B C|}$ .

Stąd czworokąt $A D E C$ jest trapezem.

Przykład 5

Wiemy, że w równoległoboku przekątne przecinają się w połowie. Pokażemy, że prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, że jeżeli w czworokącie przekątne przecinają się w połowie, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

Rozwiązanie:

RQRizhLzFTeGN

Grafika przedstawia czworokąt ABCD o środku S przez który przechodzą przekątne , oznaczone czerwonymi przerywanymi liniami.

Rzeczywiście $\frac{|S A|}{|S C|} = \frac{|S D|}{|S B|} = 1$ , więc bok $C B$ jest równoległy do $A D$ .

Analogicznie, $\frac{|S A|}{|S C|} = \frac{|S B|}{|S D|} = 1$ , więc bok $C D$ jest równoległy do $A B$ .

Słownik

kąt

część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi (wraz z tymi półprostymi) wychodzącymi z tego samego punktu

ramiona kąta

półproste wyznaczające kąt

wierzchołek kąta

punkt wspólny ramion kąta

proste równoległe

proste, które nie mają punktu wspólnego lub pokrywają się

Wprowadzenie

Aplet

Słownik