Przeczytaj

Na początek zajmiemy się problemem mierzenia. Przy mierzeniu różnych wielkości fizycznych stosuje się jednostkę tej wielkości. Przy mierzeniu pola stosuje się jako jednostkę podstawową metr kwadratowy, a dla ułatwienia wykorzystuje się inne jednostki kwadratowe: centymetr kwadratowy, ar, kilometr kwadratowy lub ogólnie kwadratkwadratkwadrat o boku $1 j$ , gdzie $j$ jest jednostką długości.

Na opakowaniu puszki z farbą stosuje się pojęcie wydajności tzn., ile farby zużywa się na metr kwadratowy powierzchni, panele podłogowe kupuje się w metrach kwadratowych itp.

Gdybyśmy nie znali wzoru na pole prostokąta to musielibyśmy przykładać wzorzec w postaci kwadratu o bokach $1 j \times 1 j$ do mierzonej powierzchni i policzyć. Jest to dość łatwe do zastosowania w przypadku prostokątów o bokach całkowitych.

Przykład 1

Stosując powyższą metodę wyznaczymy pole prostokąta o bokach $3$ i $5$ .

Rozwiązanie

R1OSn6wbqSIBY

Ilustracja przedstawia prostokąt składający się z małych kwadratów o boku równym jeden. Prostokąt jest szeroki na pięć kwadratów oraz długi na trzy kwadraty.

Na rysunku widzimy, że powstały trzy warstwy po $5$ jednostek kwadratowych w warstwie lub równoważnie pięć warstw po $3$ jednostki kwadratowe.

Stąd pole prostokąta jest równe $3 \cdot 5 = 15$ jednostek kwadratowych.

Dowody dotyczące pola figur opierają się na następujących własnościach pola:

pola

Własność: pola

Niech $P_{F}$ oznacza pole figury $F$ . Wtedy:

figury przystające mają równe pola;

jeżeli figura $F_{1}$ jest zawarta w figurze $F_{2}$ to $P_{F_{1}} \leq P_{F_{2}}$ ;

jeżeli $F_{1}$ , $F_{2}$ są rozłączne, to pole ich sumy jest równe sumie pól. Prawdziwa jest też ogólniejsza własność, że pole sumy figur jest równe sumie ich pól odjąć pole ich części wspólnej.

Aby wyprowadzić uniwersalny wzór na obliczanie pola prostokąta przyjmujemy, że znamy wzór na pole kwadratu $P = a^{2}$ , gdzie $a$ jest bokiem kwadratu.

wzór na pole prostokąta, gdy znane są długości boków

Twierdzenie: wzór na pole prostokąta, gdy znane są długości boków

Pole prostokąta o bokach $a$ , $b$ jest równe $P = a b$ .

Dowód

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $a < b$ . Popatrzmy na rysunek. Chcemy wyznaczyć pole prostokąta $A B C D$ .

R8yE6YGPQKoN8

Ilustracja przedstawia kwadrat A E F B zbudowany z dwóch kwadratów oraz dwóch takich samych prostokątów. Pierwszy mały kwadrat A D H G ma bok o długości a i znajduje się w lewym rogu kwadratu A E F B, natomiast drugi kwadrat H I F C ma bok o długości b odjąć a i znajduje się w prawym dolnym rogu kwadratu A E F B. Prostokąty D E I H oraz G H C B mają długość dłuższego boku równą b odjąć a, natomiast krótszego równą a.

Budujemy kwadrat o boku $b$ , a w nim zaznaczamy prostokątprostokątprostokąt $A E I G$ o bokach $a$ , $b$ . Wtedy pole kwadratu składa się z kwadratu o polu ${(b - a)}^{2}$ , dwóch prostokątów o polu $P$ , które mają część wspólną o polu $a^{2}$ .

Wtedy $b^{2} = {(b - a)}^{2} + 2 P - a^{2}$ ,

$2 P = b^{2} - {(b - a)}^{2} + a^{2} = b^{2} - b^{2} + 2 a b - a^{2} + a^{2} = 2 a b$ .

Stąd $P = a b$ .

Przykład 2

Obliczymy pole figury przedstawionej na rysunku.

R1dxtJDmzsZBu

Ilustracja przedstawia figurę w kształcie litery L, zbudowaną z dwóch prostokątów i jednego kwadratu. Podstawą figury jest prostokąt leżący na krótszym boku i kwadrat o boku równym c. Dolna podstawa figury ma długość d. Nad prostokątem zamieszczono drugi prostokąt. Jego krótszy bok także ma długość a, natomiast lewy bok całej figury zbudowany z dłuższych ścian obu prostokątów wynosi b.

Rozwiązanie

$P = a b + d c - a c$

Przykład 3

Prostokąty $F_{1}$ o bokach $a_{1}$ , $b_{1}$ i $F_{2}$ o bokach $a_{2}$ , $b_{2}$ są podobne w skali $k$ . Wyznaczymy pole prostokąta $F_{2}$ w zależności od pola prostokąta $F_{1}$ .

Rozwiązanie

$P_{F_{2}} = a_{2} \cdot b_{2} = k a_{1} \cdot k b_{1} = k^{2} \cdot P_{F_{1}}$

Warto zauważyć, że pokazana w powyższym przykładzie zależność jest ogólną własnością pól figur podobnych.

Przykład 4

Korzystając z wzoru na pole prostokąta wyznaczymy wzór na pole trójkąta.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny trójkąt $A B C$ i poprowadźmy wysokość $h$ oraz linię łączącą środki dwóch boków jak na rysunku.

R1VIlvV2a5XPN

Ilustracja przedstawia prostokąt A B J I. Nad odcinkiem I J zaznaczono punkt C w odległości h przez dwa od odcinka I J oraz w odległości h od odcinka A B. Punkt C połączono z punktem A i B. Miejsca przecięcia prostej I J oznaczono punktami kolejno G i H. Z punktu C poprowadzono również prostą prostopadła do odcinka A B. Powstały cztery trójkąty. Trójkąt A G I, trójkąt G H C, trójkąt A B C oraz trójkąt B J H. Odcinek A B ma długość a, natomiast odcinek B J ma długość h przez dwa.

Linia ta jest równoległa do boku $A B$ trójkąta i dzieli wysokość trójkąta na połowy. Z wierzchołków $A$ i $B$ prowadzimy proste prostopadłe do podstawy, które przecinają się z linią środkową w punktach $I$ , $J$ tak, że czworokąt $A B J I$ jest prostokątem o bokach długości $a$ i $\frac{h}{2}$ .

Wtedy trójkąty niebieskie są przystające, podobnie trójkąty czerwone są przystające. Stąd pole trójkąta $A B C$ jest równe polu prostokąta $A B J I$ , czyli $P = \frac{a h}{2}$ .

Teraz odpowiemy na pytanie czy znając długość przekątnej można wyliczyć pole prostokąta.

Wpierw załóżmy, że przekątne prostokąta mają równą długość $d$ , i dzielą się w połowie. Wtedy wierzchołki prostokąta będą leżały na okręgu o promieniu $\frac{d}{2}$ jak na rysunku.

RCyPJHvieYaHR

Ilustracja przedstawia prostokąt oraz kwadrat wpisany w ten sam okrąg o środku w punkcie O. Przekątne prostokąta A B C D przecinają się w punkcie O, tak samo jak przekątne kwadratu A G C H.

Prostokąt $A B C D$ i kwadrat $A H C G$ mają równe przekątne. To świadczy o tym, że istnieją różne prostokąty mające równe przekątne.

Ponadto, prostokąt $A B C D$ i kwadratkwadratkwadrat $A H C G$ maja różne pola.

Aby to pokazać, zauważmy, że w trójkącie $A C G$ (którego pole jest równe połowie pola kwadratu) podstawą jest średnica okręgu $d$ a wysokością jest promień okręgu $\frac{d}{2}$ .

Natomiast w trójkącie $A D C$ (którego pole jest równe połowie pola prostokąta) podstawą jest średnica okręgu $d$ a długością wysokości jest odległość punktu $D$ od średnicy okręgu. Z własności okręgu odległość ta jest mniejsza od promienia i stąd pole prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu.

Powyższe obserwacje wskazują na to, że aby wykorzystać przekątną do wyznaczenia pola prostokąta należy dodać jeszcze jakiś warunek.

wzór na pole prostokąta, gdy znana jest długość przekątnej i kąt między przekątnymi

Twierdzenie: wzór na pole prostokąta, gdy znana jest długość przekątnej i kąt między przekątnymi

Pole prostokąta jest równe $P = \frac{d^{2} \sin α}{2}$ , gdzie $d$ jest długością przekątnej a $α$ jest jednym z kątów między przekątnymi prostokąta.

Dowód

Na rysunku przedstawiony jest prostokąt z zaznaczonymi kątami między przekątnymi.

R82QfRbUP66Ms

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi A C i B D. Obie przekątne przecinają się w punkcie S. Wewnątrz prostokąta zaznaczono dwa kąty, kąt alfa pomiędzy odcinkiem S A i S D oraz kąt beta pomiędzy odcinkiem S D i S C.

Zastosujemy:

Fakt, że pole trójkąta jest równe $\frac{a b \sin α}{2}$ , gdzie $a$ , $b$ są bokami trójkąta a $α$ kątem między tymi bokami.
Fakt, że $\sin α = \sin (180 ° - α)$ .

Pole prostokąta jest równe:

$P = 2 P_{A S D} + 2 P_{A S B} = \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \sin α + \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \sin β = \frac{d^{2}}{4} (\sin α + \sin (180 ° - α)) =$

$= \frac{d^{2} \sin α}{2}$

Przykład 5

Wyznaczymy pole prostokąta, którego przekątna ma długość $20$ , a kąt między przekątną i jednym z jego boków jest równy $30 °$ .

RKtrYmFTKnago

Rozwiązanie

Załóżmy, że $α = 30 °$ .

Wtedy kąt $D S A$ jest równy $180 ° - 2 α = 120 °$ i stąd $P = \frac{20^{2} \sin 120 °}{2} = 100 \sqrt{3}$ .

Gdyby $β = 30 °$ . To wtedy kąt $C S D$ jest równy $180 ° - 2 β = 120 °$ .

Wynika stąd, że do rozwiązania zadania wystarczy informacja o mierze jednego kąta niezależnie czy to jest $α$ czy $β$ .

Kolejny przykład pokazuje, że informacja o długości przekątnej i zależności między bokami również pozwala na wyznaczenie pola prostokąta.

Przykład 6

Długość jednego z boków prostokąta jest dwa razy większa od długości drugiego boku prostokąta. Przekątna prostokąta ma długość równą $3$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że jeśli jeden bok ma długość $a$ , to drugi ma długość $2 a$ .

Wtedy $P = a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. $a^{2} + {(2 a)}^{2} = 5 a^{2} = 9$ . Stąd $a^{2} = \frac{9}{5}$ . Zatem $P = \frac{18}{5}$ .

Przykład 7

Obwód prostokąta jest równy $14$ , a jego pole jest równe $12$ . Obliczymy długości boków tego prostokątaprostokątprostokąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta symbolami $a$ i $b$ . Obwód jest równy $2 a + 2 b = 14$ . Pole jest równe $a b = 12$ .

Trzeba rozwiązać układ równań.

${\begin{matrix} a + b = 7 \\ a b = 12 \end{matrix}$

$a = 7 - b$

$(7 - b) b = 12$

$- b^{2} + 7 b - 12 = 0$

$Δ = 49 - 48 = 1$

$b_{1} = \frac{- 7 - 1}{- 2} = 4$ , $b_{2} = \frac{- 7 + 1}{- 2} = 3$

Zatem jeden z boków ma długość $3$ a drugi - długość $4$ .

Przykład 8

Załóżmy, że w prostokącie podany jest kąt $α$ jaki tworzy przekątna prostokąta z bokiem $a$ oraz długość tego boku. Wyznaczymy pole tego prostokąta, długość drugiego boku, długość przekątnej i kąt między przekątnymi.

R1NTd8jC1ATSL

Rozwiązanie

$tg α = \frac{b}{a}$ , więc $b = a \cdot tg α$ .

Stąd $P = a b = a^{2} \cdot tg α$ .

$\cos α = \frac{a}{d}$ , więc $d = \frac{a}{\cos α}$ .

Kąt $γ$ na rysunku wynosi $γ = 180 ° - 2 α$ a drugi kąt między przekątnymi wynosi $180 ° - γ = 2 α$ .

Przykład 9

Wyznaczymy zależności między długościami boków prostokąta $a$ , $b$ i długością przekątnej $d$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} + b^{2} = d^{2}$ . Stąd

$a = \sqrt{d^{2} - b^{2}}$ , $b = \sqrt{d^{2} - a^{2}}$ , $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Słownik

prostokąt

czworokąt, który ma wszystkie kąty proste

kwadrat

prostokąt, który ma wszystkie boki równe

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik