Przeczytaj
Na początek zajmiemy się problemem mierzenia. Przy mierzeniu różnych wielkości fizycznych stosuje się jednostkę tej wielkości. Przy mierzeniu pola stosuje się jako jednostkę podstawową metr kwadratowy, a dla ułatwienia wykorzystuje się inne jednostki kwadratowe: centymetr kwadratowy, ar, kilometr kwadratowy lub ogólnie kwadratkwadrat o boku , gdzie jest jednostką długości.
Na opakowaniu puszki z farbą stosuje się pojęcie wydajności tzn., ile farby zużywa się na metr kwadratowy powierzchni, panele podłogowe kupuje się w metrach kwadratowych itp.
Gdybyśmy nie znali wzoru na pole prostokąta to musielibyśmy przykładać wzorzec w postaci kwadratu o bokach do mierzonej powierzchni i policzyć. Jest to dość łatwe do zastosowania w przypadku prostokątów o bokach całkowitych.
Stosując powyższą metodę wyznaczymy pole prostokąta o bokach i .
Rozwiązanie
Na rysunku widzimy, że powstały trzy warstwy po jednostek kwadratowych w warstwie lub równoważnie pięć warstw po jednostki kwadratowe.
Stąd pole prostokąta jest równe jednostek kwadratowych.
Dowody dotyczące pola figur opierają się na następujących własnościach pola:
Niech oznacza pole figury . Wtedy:
figury przystające mają równe pola;
jeżeli figura jest zawarta w figurze to ;
jeżeli , są rozłączne, to pole ich sumy jest równe sumie pól. Prawdziwa jest też ogólniejsza własność, że pole sumy figur jest równe sumie ich pól odjąć pole ich części wspólnej.
Aby wyprowadzić uniwersalny wzór na obliczanie pola prostokąta przyjmujemy, że znamy wzór na pole kwadratu , gdzie jest bokiem kwadratu.
Pole prostokąta o bokach , jest równe .
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że . Popatrzmy na rysunek. Chcemy wyznaczyć pole prostokąta .
Budujemy kwadrat o boku , a w nim zaznaczamy prostokątprostokąt o bokach , . Wtedy pole kwadratu składa się z kwadratu o polu , dwóch prostokątów o polu , które mają część wspólną o polu .
Wtedy ,
.
Stąd .
Obliczymy pole figury przedstawionej na rysunku.
Rozwiązanie
Prostokąty o bokach , i o bokach , są podobne w skali . Wyznaczymy pole prostokąta w zależności od pola prostokąta .
Rozwiązanie
Warto zauważyć, że pokazana w powyższym przykładzie zależność jest ogólną własnością pól figur podobnych.
Korzystając z wzoru na pole prostokąta wyznaczymy wzór na pole trójkąta.
Rozwiązanie
Weźmy dowolny trójkąt i poprowadźmy wysokość oraz linię łączącą środki dwóch boków jak na rysunku.
Linia ta jest równoległa do boku trójkąta i dzieli wysokość trójkąta na połowy. Z wierzchołków i prowadzimy proste prostopadłe do podstawy, które przecinają się z linią środkową w punktach , tak, że czworokąt jest prostokątem o bokach długości i .
Wtedy trójkąty niebieskie są przystające, podobnie trójkąty czerwone są przystające. Stąd pole trójkąta jest równe polu prostokąta , czyli .
Teraz odpowiemy na pytanie czy znając długość przekątnej można wyliczyć pole prostokąta.
Wpierw załóżmy, że przekątne prostokąta mają równą długość , i dzielą się w połowie. Wtedy wierzchołki prostokąta będą leżały na okręgu o promieniu jak na rysunku.
Prostokąt i kwadrat mają równe przekątne. To świadczy o tym, że istnieją różne prostokąty mające równe przekątne.
Ponadto, prostokąt i kwadratkwadrat maja różne pola.
Aby to pokazać, zauważmy, że w trójkącie (którego pole jest równe połowie pola kwadratu) podstawą jest średnica okręgu a wysokością jest promień okręgu .
Natomiast w trójkącie (którego pole jest równe połowie pola prostokąta) podstawą jest średnica okręgu a długością wysokości jest odległość punktu od średnicy okręgu. Z własności okręgu odległość ta jest mniejsza od promienia i stąd pole prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu.
Powyższe obserwacje wskazują na to, że aby wykorzystać przekątną do wyznaczenia pola prostokąta należy dodać jeszcze jakiś warunek.
Pole prostokąta jest równe , gdzie jest długością przekątnej a jest jednym z kątów między przekątnymi prostokąta.
Na rysunku przedstawiony jest prostokąt z zaznaczonymi kątami między przekątnymi.
Zastosujemy:
Fakt, że pole trójkąta jest równe , gdzie , są bokami trójkąta a kątem między tymi bokami.
Fakt, że .
Pole prostokąta jest równe:
Wyznaczymy pole prostokąta, którego przekątna ma długość , a kąt między przekątną i jednym z jego boków jest równy .
Rozwiązanie
Załóżmy, że .
Wtedy kąt jest równy i stąd .
Gdyby . To wtedy kąt jest równy .
Wynika stąd, że do rozwiązania zadania wystarczy informacja o mierze jednego kąta niezależnie czy to jest czy .
Kolejny przykład pokazuje, że informacja o długości przekątnej i zależności między bokami również pozwala na wyznaczenie pola prostokąta.
Długość jednego z boków prostokąta jest dwa razy większa od długości drugiego boku prostokąta. Przekątna prostokąta ma długość równą . Obliczymy pole tego prostokąta.
Rozwiązanie
Z warunków zadania wynika, że jeśli jeden bok ma długość , to drugi ma długość .
Wtedy . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. . Stąd . Zatem .
Obwód prostokąta jest równy , a jego pole jest równe . Obliczymy długości boków tego prostokątaprostokąta.
Rozwiązanie
Oznaczmy boki trójkąta symbolami i . Obwód jest równy . Pole jest równe .
Trzeba rozwiązać układ równań.
,
Zatem jeden z boków ma długość a drugi - długość .
Załóżmy, że w prostokącie podany jest kąt jaki tworzy przekątna prostokąta z bokiem oraz długość tego boku. Wyznaczymy pole tego prostokąta, długość drugiego boku, długość przekątnej i kąt między przekątnymi.
Rozwiązanie
, więc .
Stąd .
, więc .
Kąt na rysunku wynosi a drugi kąt między przekątnymi wynosi .
Wyznaczymy zależności między długościami boków prostokąta , i długością przekątnej .
Rozwiązanie
Z twierdzenia Pitagorasa . Stąd
, , .
Słownik
czworokąt, który ma wszystkie kąty proste
prostokąt, który ma wszystkie boki równe