Funkcję $f:D\to \mathrm{ℝ}$ określoną w zbiorze $D$ nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba $T>0$ (zwana okresem funkcji), że dla każdego $x\in D$, liczba $x+T\in D$ oraz zachodzi równość

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji okresowej $f$. Ustalimy długość okresu tej funkcji.

R1VJTVDxWfQrN

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji z poziomą osią X od minus dwóch do siedemnastu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z ośmiu odcinków. Pierwszy odcinek poziomy o długości dwa, ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-1;2\right)$. Drugi odcinek ukośny, ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(1;2\right)$. Z prawej strony ograniczony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2,-2\right)$. Trzeci odcinek poziomy o długości dwa, ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(4;2\right)$. Czwarty odcinek ukośny ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(6;2\right)$. Z prawej strony ograniczony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(7;-2\right)$. Piąty odcinek poziomy o długości dwa, ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(9;2\right)$. Szósty odcinek ukośny ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(11;2\right)$. Z prawej strony ograniczony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(12;-2\right)$. Siódmy odcinek poziomy o długości dwa, ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(14;2\right)$. Ósmy odcinek ukośny ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(16;2\right)$. Z prawej strony ograniczony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(17;-2\right)$.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że $f\left(2\right)=f\left(7\right)=f\left(12\right)=f\left(17\right)=-2$.

Widzimy, że wartości tej funkcji powtarzają się w odstępie co $5$ argumentów, zatem spełniony jest warunek z definicji funkcji okresowej $f\left(x\right)=f\left(x+5\right)$, co oznacza, że liczba $5$ jest okresem podstawowym  tej funkcji, co zapisujemy $T=5$.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji okresowej $f$. Ustalimy długość okresu tej funkcji.

RVOGKBTs0BHMH

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $y=x-\left|x\right|$ z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu, oraz pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z jedenastu ukośnych odcinków. Pierwszy odcinek ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-2;0\right)$. Z prawej strony ograniczony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-1;1\right)$. Drugi odcinek ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(-1;0\right)$. Z prawej strony ograniczony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;1\right)$. Trzeci odcinek ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;0\right)$. Z prawej strony ograniczony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(1;1\right)$. Czwarty odcinek ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(1;2\right)$. Z prawej strony ograniczony niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(2;1\right)$. Takie same odcinki zaznaczono także kolejno od punktów 3, 4, 5, 6, 7, 8 na osi x.

Rozwiązanie:

Na wykresie mamy przykład funkcji okresowej, której wartości powtarzają się, gdy argument funkcji wzrasta o $1$ jednostkę. Spełniony jest zatem warunek z definicji funkcji okresowej $f\left(x\right)=f\left(x+1\right)$, stąd wniosek, że okres podstawowy tej funkcji wynosi $T=1$.

Rozważmy funkcję okresową $g\left(x\right)=\cos \left(x\right)$. Ustalimy długość okresu tej funkcji.

R1Lf3JLULNtJT

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $y=\cos \left(x\right)$ z poziomą osią X od $-\mathrm{\pi }$ do $3\mathrm{\pi }$ z podziałką co $\mathrm{\pi }$. Różowym kolorem zaznaczono poziomy odcinek łączący dwie powtarzające się, kolejne wartości funkcji w punkcie A oraz B. Punkt A ma współrzędne $\left(\mathrm{\pi };-1\right)$. Punkt B ma współrzędne $\left(3\mathrm{\pi };-1\right)$. Odcinek stanowi okres zasadniczy funkcji. Jest oznaczony wielką literą T i dla przedstawionej funkcji ma wartość $2\mathrm{\pi }$.

Rozwiązanie:

Wykres przedstawia funkcję, której wartości powtarzają się, gdy argument funkcji wzrasta o $2\pi$ jednostek. Spełniony jest zatem warunek z definicji funkcji okresowej $f\left(\pi \right)=f\left(\pi +2\pi \right)$, co oznacza, że okres podstawowy tej funkcji wynosi $T=2\pi$.

Okres funkcji ustalamy wyznaczając odległość między punktami $A$ oraz $B$, w których funkcja osiąga lokalnie minimalną wartość.

Takie punkty występują w regularnych powtórzeniach co $2\pi$.

Weźmy pod uwagę wykres funkcji $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{x}{2}\right)$. Ustalimy długość okresu podstawowego tej funkcji.

R6LPwJGKPg4Ph

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $y=\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ z poziomą osią X od $-\mathrm{\pi }$ do $6\mathrm{\pi }$, z podziałką co $\mathrm{\pi }$. Różowym kolorem zaznaczono poziomy odcinek łączący dwie powtarzające się, kolejne wartości funkcji w punkcie A oraz B. Punkt A ma współrzędne $\left(\mathrm{\pi };1\right)$. Punkt B ma współrzędne $\left(5\mathrm{\pi };1\right)$Odcinek stanowi okres zasadniczy funkcji. Jest oznaczony wielką literą T i dla przedstawionej funkcji ma wartość $4\mathrm{\pi }$.

Rozwiązanie:

W tym przypadku okres funkcji ustalamy wyznaczając odległość między punktami $A$ oraz $B$, w których funkcja osiąga maksymalną wartość.

Takie punkty występują w regularnych powtórzeniach, gdy argument wzrasta lub maleje o $4\pi$.

Okresem podstawowym jest więc liczba $T=4\pi$.

funkcja, której wartości powtarzają się w ustalonym „odstępie”. Odstęp ten nazywamy okresem i symbolicznie oznaczamy $T$

funkcja, która dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość

najmniejsza liczba dodatnia $T$ spełniająca warunek definicji funkcji okresowej