Na pytania o własności liczb pierwszychliczby pierwszeliczb pierwszych próbowało odpowiedzieć wielu naukowców, a dziś komputery stosujące odpowiednie algorytmy wciąż poszukują coraz to większych liczb pierwszych. Aktualnie największą znaną liczbą pierwszą jest $2^{82 589 933}-1$. Liczba ta ma $24862048$ cyfr. Jej odkrycia dokonano 7 XII 2018 roku na komputerze jednego z uczestników projektu GIMPS - Patricka Laroche'a z Ocali w stanie Floryda.

R1eeTlBetLsqw1

Rysunek przedstawia zdjęcie Stanisława Ulama. Matematyk ubrany jest w płaszcz, szalik, kapelusz. Pod prawą ręką trzyma teczkę na dokument oraz rękawiczki. Ma uśmiechniętą, pogodną twarz. Stoi na tle bloku i drzewa, typowy widok podwórka.

Spirala Ulama lub spirala liczb pierwszych, to graficzna metoda ukazująca prawidłowości w rozkładzie liczb pierwszych, zaproponowana przez polskiego matematyka Stanisława Ulama w 1963 roku. Spirala powstaje z zapisu kolejnych liczb naturalnych począwszy od $1$, a potem spiralnie w kwadracie wpisywanych kolejnych liczb naturalnych. Stanisław Ulam oznaczając na niej jedynie liczby pierwszeliczby pierwszeliczby pierwsze zauważył, że występują one na liniach diagonalnych, czyli skośnych.

Najbardziej znanym algorytmem, i jednym z najstarszych wykorzystywanych w poszukiwaniu liczb pierwszych, jest Sito Erastotenesa. Autorstwo tego algorytmu przypisuje się Eratostenesowi z Cyreny. Algorytm ten pozwala na wyznaczenie wszystkich liczb pierwszych, mniejszych od ustalonej liczby. Istotą algorytmu jest wykreślanie z listy kolejnych liczb naturalnych, tych liczb, które mają więcej niż dwa dzielniki. Dla przykładu rozpatrzymy kolejne liczby naturalne od $0$ do $102$.

Funkcjonalność algorytmu Euklidesa maleje wraz ze wzrostem liczb pierwszych. Poszukiwanie coraz większych liczb pierwszych wymaga wykonania coraz większej liczby operacji, które również dla dzisiejszych komputerów stanowią wyzwanie. Stąd też wnioskując o pewnej równomierności rozkładu liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych, wciąż jest trudno przewidzieć wartość kolejnej liczby pierwszej.

Twierdzenie Euklidesa: liczb pierwszych jest nieskończenie wiele

Chcąc udowodnić powyższe twierdzenie, wykorzystamy podstawowe twierdzenie arytmetyki:

Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo da się ją jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Z powyższego twierdzenia wynika, że istnieje dokładnie jeden sposób, w jaki można przedstawić dowolną liczbę złożoną w postaci iloczynu liczb pierwszych. Np. $77=7·11$, $100=2·2·5·5$, itd. Tę własność wykorzystamy w dowodzie nie wprost, czyli wnioskowaniu prowadzącym do sprzeczności.

Zbiór jest nieskończony, jeśli zawiera więcej niż określoną liczbę $k$ elementów, niezależnie od tego, jakie $k$ wybierzemy. Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony i zawiera dokładnie $q$ elementów, które oznaczymy symbolami $p_1$, $p_2$, ... $p_q$

Rozważmy teraz liczbę:

$P=p_1·p_2·.....p_q+1$.

Liczba $P$ jest albo liczbą pierwszą, albo liczbą złożoną. Jeśli $P$ jest liczbą złożoną, to dzieli się przez którąś z liczb pierwszych $p_1·p_2·.....p_q$. Zauważmy jednak, że w wyniku dzielenia $P$ przez $p_1$ otrzymujemy resztę, a więc $P$ nie dzieli się przez $p_1$ (bez reszty). Stosując analogiczne rozumowanie dla pozostałych liczb możemy pokazać, że $P$ nie dzieli się przez żadną z wartości $p_1$, $p_2$, ... $p_q$, a w naszym założeniu są to liczby pierwsze. Wnioskując oznacza to, że $P$ jest liczbą pierwszą różną od każdej z dotychczasowych liczb $p_1$, $p_2$, ... $p_q$, co stoi w sprzeczności z założeniem, że naszych liczb pierwszych jest skończona lista. Zbiór liczb pierwszych ma więc więcej niż $q$ elementów, co kończy dowód.

Hipoteza Goldbacha: każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych

W $1724$ roku Christian Goldbach w liście do Leonharda Eulera, przedstawił hipotezę, że każdą liczbę naturalną większą od $2$ można przedstawić za pomocą trzech liczb pierwszych, gdzie liczby te mogą się powtórzyć (w tamtych czasach $1$ uważano za liczbę pierwszą).

Euler uprościł tę hipotezę i przedstawił ją następująco:
każda liczba naturalna parzysta większa od $2$ jest sumą dwóch liczb pierwszych.

A zatem:

$4 = 2 + 2$
$6 = 3 + 3$
$8 = 3 + 5$
$10 = 3 + 7 = 5 + 5$
$12 = 5 + 7$
$14 = 3 + 11 = 7 + 7$

Pomimo, iż sformułował ją w rezultacie Euler, nazwa nie została zmieniona, i to właśnie tę hipotezę do dzisiaj nazywamy hipotezą Goldbacha. Dlaczego hipoteza? Gdyż do dnia dzisiejszego nie doczekała się formalnego matematycznego dowodu.

Słownik