Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na pytania o własności liczb pierwszychliczby pierwszeliczb pierwszych próbowało odpowiedzieć wielu naukowców, a dziś komputery stosujące odpowiednie algorytmy wciąż poszukują coraz to większych liczb pierwszych. Aktualnie największą znaną liczbą pierwszą jest 282 589 933-1. Liczba ta ma 24862048 cyfr. Jej odkrycia dokonano 7 XII 2018 roku na komputerze jednego z uczestników projektu GIMPS - Patricka Laroche'a z Ocali w stanie Floryda.

R1eeTlBetLsqw1
Stanisław Ulam
Źródło: Los Alamos National laboratory, http://commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Spirala Ulama lub spirala liczb pierwszych, to graficzna metoda ukazująca prawidłowości w rozkładzie liczb pierwszych, zaproponowana przez polskiego matematyka Stanisława Ulama w 1963 roku. Spirala powstaje z zapisu kolejnych liczb naturalnych począwszy od 1, a potem spiralnie w kwadracie wpisywanych kolejnych liczb naturalnych. Stanisław Ulam oznaczając na niej jedynie liczby pierwszeliczby pierwszeliczby pierwsze zauważył, że występują one na liniach diagonalnych, czyli skośnych.

RXeUJ3wzKjdVg1
Spiralę Ulama wykorzystują dziś programiści podejmując kolejne próby programowania algorytmów, które służyć mają wyszukiwaniu liczb pierwszych.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Najbardziej znanym algorytmem, i jednym z najstarszych wykorzystywanych w poszukiwaniu liczb pierwszych, jest Sito Erastotenesa. Autorstwo tego algorytmu przypisuje się Eratostenesowi z Cyreny. Algorytm ten pozwala na wyznaczenie wszystkich liczb pierwszych, mniejszych od ustalonej liczby. Istotą algorytmu jest wykreślanie z listy kolejnych liczb naturalnych, tych liczb, które mają więcej niż dwa dzielniki. Dla przykładu rozpatrzymy kolejne liczby naturalne od 0 do 102.

R11br5sxlsUVp1
Wiemy że zero i jeden nie są liczbami pierwszymi oraz, że najmniejsza liczba pierwsza to 2. Zatem ze spirali skreślimy najpierw wszystkie liczby będące wielokrotnością 2 (oznaczone kolorem zielonym). Kolejną liczbą pierwsza jest 3, zatem wykreślamy te wielokrotności liczby 3, które jeszcze nie zostały wykreślone. Następnie wykreślamy wielokrotności liczb 5 i 7. W wyniku tej operacji wykreślania w tabeli pozostają tylko liczby pierwsze (na białym tle).
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Funkcjonalność algorytmu Euklidesa maleje wraz ze wzrostem liczb pierwszych. Poszukiwanie coraz większych liczb pierwszych wymaga wykonania coraz większej liczby operacji, które również dla dzisiejszych komputerów stanowią wyzwanie. Stąd też wnioskując o pewnej równomierności rozkładu liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych, wciąż jest trudno przewidzieć wartość kolejnej liczby pierwszej.

Twierdzenie Euklidesa: liczb pierwszych jest nieskończenie wiele

Chcąc udowodnić powyższe twierdzenie, wykorzystamy podstawowe twierdzenie arytmetyki:

Każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo da się ją jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Z powyższego twierdzenia wynika, że istnieje dokładnie jeden sposób, w jaki można przedstawić dowolną liczbę złożoną w postaci iloczynu liczb pierwszych. Np. 77=7·11, 100=2·2·5·5, itd. Tę własność wykorzystamy w dowodzie nie wprost, czyli wnioskowaniu prowadzącym do sprzeczności.

Zbiór jest nieskończony, jeśli zawiera więcej niż określoną liczbę k elementów, niezależnie od tego, jakie k wybierzemy. Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony i zawiera dokładnie q elementów, które oznaczymy symbolami p1, p2, ... pq

Rozważmy teraz liczbę:

P=p1·p2·.....pq+1.

Liczba P jest albo liczbą pierwszą, albo liczbą złożoną. Jeśli P jest liczbą złożoną, to dzieli się przez którąś z liczb pierwszych p1·p2·.....pq. Zauważmy jednak, że w wyniku dzielenia P przez p1 otrzymujemy resztę, a więc P nie dzieli się przez p1 (bez reszty). Stosując analogiczne rozumowanie dla pozostałych liczb możemy pokazać, że P nie dzieli się przez żadną z wartości p1, p2, ... pq, a w naszym założeniu są to liczby pierwsze. Wnioskując oznacza to, że P jest liczbą pierwszą różną od każdej z dotychczasowych liczb p1, p2, ... pq, co stoi w sprzeczności z założeniem, że naszych liczb pierwszych jest skończona lista. Zbiór liczb pierwszych ma więc więcej niż q elementów, co kończy dowód.

R6mSME5IKVLQt1
Liczby Mersenne’a, to liczby, które mają postać dwa do potęgi pe minus jeden, gdzie pe jest liczbą pierwszą, a ich nazwa pochodzi od Marina Mersenne’a (1588-1648), francuskiego mnicha franciszkanina i matematyka, który przypuszczał, że wśród liczb postaci dwa do potęgi pe minus 1 znajdują się prawie wszystkie liczby pierwsze (tzn. wszystkie poza ewentualną pewną skończoną ich liczbą). Mersenne twierdził też, że liczby dwa do potęgi pe minus jeden są pierwsze dla pe równa się 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 i dla żadnych innych liczb naturalnych pe mniejsze od 258. Co wynikało z konieczności przeprowadzenia bardzo żmudnych i nie wolnych od błędów arytmetycznych obliczeń. Dziś już wiemy, że popełnił pięć błędów. Liczby pierwsze otrzymamy także dla pe równa się 61, 89 i 107, a dla pe równa się 67 i 257 otrzymamy liczby złożone. Liczby bliźniacze Liczby pierwsze, różniące się o 2, zwane są bliźniaczymi. Liczby bliźniacze stanowią pary: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43… Największą znaną dziś parą liczb bliźniaczych są liczby: dwa sześć zero cztery dziewięć siedem pięć cztery pięć mnożone przez dwa sześć sześć dwa pięć dodać jeden i dwa sześć zero cztery dziewięć siedem pięć cztery pięć mnożone przez dwa sześć sześć dwa pięć minus jeden. Liczby doskonałe Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od samej liczby). Liczbami doskonałymi są: 6, 28, 498, ponieważ: dzielniki właściwe 6 to 1, 2, 3, zaś ich suma: 1 dodać 2 dodać 3 równa się 6. Dzielniki właściwe 28 to 1, 2, 4, 7, 14, suma: 1 dodać 2 dodać 4 dodać 7 dodać 14 równa się 28, dzielniki właściwe 496 to 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, suma: 1 dodać 2 dodać 4 dodać 8 dodać 16 dodać 31 dodać 62 dodać 124 dodać 248 równa się 496. Nie dziwi fakt, że dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych, wszak obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie. Euklides zauważył, że liczby postaci 2 do potęgo pe minus jeden otwórz nawias dwa do potęgi pe minus jeden zamknij nawias są doskonałe, o ile dwa do potęgi pe minus 1 jest liczbą pierwszą. Liczby zaprzyjaźnione Pary liczb naturalnych o tej własności, że suma dzielników właściwych każdej z nich równa jest drugiej liczbie, to liczby zaprzyjaźnione. Zaprzyjaźniony duet to: 220 i 284, ponieważ suma dzielników właściwych 220 otwórz nawias 1 dodać 2 dodać 5 dodać 10 dodać 11 dodać 20 dodać 22 dodać 44 dodać 55 dodać 110 zamknij nawias jest równa 284, a suma dzielników właściwych 284 otworzyć nawias 1 dodać 2 dodać 4 dodać 71 dodać 142 zamknąć nawias to 220. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Obecnie znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele.

Hipoteza Goldbacha: każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych

1724 roku Christian Goldbach w liście do Leonharda Eulera, przedstawił hipotezę, że każdą liczbę naturalną większą od 2 można przedstawić za pomocą trzech liczb pierwszych, gdzie liczby te mogą się powtórzyć (w tamtych czasach 1 uważano za liczbę pierwszą).

Euler uprościł tę hipotezę i przedstawił ją następująco:
każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

A zatem:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7

Pomimo, iż sformułował ją w rezultacie Euler, nazwa nie została zmieniona, i to właśnie tę hipotezę do dzisiaj nazywamy hipotezą Goldbacha. Dlaczego hipoteza? Gdyż do dnia dzisiejszego nie doczekała się formalnego matematycznego dowodu.

Słownik

liczby pierwsze
liczby pierwsze

to liczby naturalne, które posiadają dwa dzielniki: liczbę 1 i samą siebie

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida