Stożek wpisano w kulę. Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka ma miarę $30°$. Uzasadnij, że długość tworzącej stożka jest równa długości promienia kuli.

Rozwiązanie

1. Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia. Środek kuli nie należy do stożka, ponieważ trójkąt $ABS$, będący przekrojem osiowym stożka, jest rozwartokątny.

R1KJdNzukAB8S

Na ilustracji przedstawiono okrąg, w który wpisano trójkąt $ASB$, z kątem rozwartym przy wierzchołku S. Długość ramienia $SB$ oznaczono literą l. $\angle SAB$ wynosi 30 stopni. Wierzchołek B podstawy połączono ze środkiem okręgu w punkcie O. Odcinek $BO$ oznaczono wielką literą R.

$R=\left|OB\right|$ długość promienia kuli

$l=\left|SB\right|$ długość tworzącej stożka

$30°=\left|\sphericalangle BAS\right|$ miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka.

Zadanie rozwiążemy dwoma metodami.

I metoda wykorzystamy twierdzenie sinusówtwierdzenie sinusówtwierdzenie sinusów.

$\frac{l}{\sin 30°}=2R$, zatem $l=\frac{1}{2}·2R$, a stąd mamy $l=R$ co należało wykazać.

II metoda Na rysunku wykreślmy dodatkowo promień $OS$. Zauważmy, że kąt $SOB$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany $SAB$.

R9kQmmw3G1Mol

Na ilustracji przedstawiono okrąg, w który wpisano trójkąt $ASB$, z kątem rozwartym przy wierzchołku S. Długość ramienia $SB$ oznaczono literą l. $\angle SAB$ wynosi 30 stopni. Wierzchołek B podstawy połączono ze środkiem okręgu w punkcie O. Odcinek $BO$ oznaczono wielką literą R. Wierzchołek S połączono z punktem O. $\angle SOR$ ma miarę 60 stopni.

Wynika stąd, że $\left|\sphericalangle SOB\right|=60°$, ponadto trójkąt $SOB$ jest trójkątem równoramiennym, zatem trójkąt $SOB$ jest trójkątem równobocznym. Stąd mamy $l=R$, co należało wykazać.

Stosunek długości wysokości stożka wpisanego w kulę do długości promienia tej kuli wynosi $\sqrt{3}$. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Rozwiązanie

1. Wykreślamy rysunek obrazujący przekrój osiowy stożka wpisanego w kulę. Z warunków zadania wynika, że środek kuli zawiera się w stożku, ponieważ wyskość stożka jest dłuższa niż promień tej kuli.

2. Przyjmujemy oznaczenia. Oznaczenia pomogą w prowadzeniu toku rozumowania.

R8rxLV0UOqNpC

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt O, której spodek leży w punkcie C na podstawie $AB$. Punkt O połączono z wierzchołkiem A oraz S. Długość odcinka $AO$ oznaczono wielką literą R, odcinka $OC$ literą x, oraz długość odcinka $AC$ oznaczono małą literą r.

$H=\left|CS\right|$ długość wysokości stożka

$R=\left|OA\right|$ długość promienia kuli

$r=\left|AC\right|$ długość promienia podstawy stożka

$x=\left|OC\right|=H-R$ długość odcinka $OC$.

1. Z warunków zadania mamy $\frac{H}{R}=\sqrt{3}$, stąd $H=\sqrt{3}R$.

2. Zapisujemy wzór opisujący odpowiedni stosunek $\frac{V_s}{V_k}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}H}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{r^{2}H}{4R^3}$.

3. Uzależnimy długość promienia podstawy stożka od długości promienia kuli. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ACO$.

   $x^2+r^2=R^2$ wiedząc, że $x=H-R$ otrzymujemy zależność
   ${\left(H-R\right)}^2+r^2=R^2$, stąd
   $H^2-2HR+R^2+r^2=R^2$, dalej
   $r^2=2HR-H^2$ z warunków zadania mamy $H=\sqrt{3}R$, zatem
   $r^2=2\sqrt{3}{R}^2-3R^2$
   $r^2=R^2\left(2\sqrt{3}-3\right)$.

4. Wynika stąd, że $\frac{V_s}{V_k}=\frac{r^{2}H}{4R^3}=\frac{R^2\left(2\sqrt{3}-3\right)·\sqrt{3}R}{4R^3}=\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$.

W kulę wpisano stożek. Długość promienia kuli jest dwa razy dłuższa od długości promienia podstawy stożka. Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wykonania czytelnego rysunku i przyjęcia oznaczeń.

R71gHly6vDuk0

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Długość podstawy AB trójkąta wynosi 2r. Odcinek łączący wierzchołek S z punktem O oznaczono wielką literą R. $\angle ASB$ oznaczono alfa.

$R=\left|OS\right|$ długość promienia kuli

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy stożka

$\alpha =\left|\sphericalangle ASB\right|$ miara kąta rozwarcia stożka

z warunków zadania mamy:

$R=2r$.

1. Zauważmy, że mając określoną zależność pomiędzy długością promienia kuli i długością średnicy stożka, do wyznaczenia miary kąta rozwarcia stożka możemy wykorzystać twierdzenie sinusów dla trójkąta $ABS$.

2. Układamy twierdzenie sinusów dla trójkąta $ABS$
   $\frac{2r}{\sin \alpha }=2R$

3. Korzystamy z zależności podanej w zadaniu $R=2r$, stąd otrzymujemy
   $\frac{2r}{\sin \alpha }=2·2r$, zatem
   $\frac{1}{\sin \alpha }=2$, stąd
   $\sin \alpha =\frac{1}{2}$.

4. Wyznaczamy miarę kąta, dla którego $\sin \alpha =\frac{1}{2}$.
   Wiemy, że kąt rozwarcia stożka jest kątem z przedziału $\left(0°,180°\right)$, zatem rozwiązaniem naszego równania jest kąt $\alpha =30°$ lub kąt $\alpha =150°$ .

5. Istnieją dwa rozwiązania tego zadania.

W kulę o promieniu długości $6 \mathrm{cm}$ wpisano stożek, którego kąt rozwarcia ma miarę $30°$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Rozwiązanie

1. Wykreślamy przekrój osiowy tych brył i przyjmujemy oznaczenia.

RvKaJ7xzggS69

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Długość podstawy AB trójkąta wynosi $2r$, natomiast długość ramienia oznaczono literą l. Długość odcinka łączącego wierzchołek A z punktem O wynosi sześć. $\angle ASB$ ma miarę 30 stopni.

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy stożka

$R=\left|OA\right|=6$ długość promienia kuli

$l=\left|AS\right|$ długość tworzącej stożka

$P_{bs}=\pi rl$ pole powierzchni bocznej stożka.

2. Do wyznaczenia długości promienia podstawy stożka oraz długości tworzącej stożka wykorzystamy twierdzenie sinusów dla trójkąta $ABS$.

3. Z twierdzenia sinusów otrzymamy zależność
   $\frac{2r}{\sin 30°}=2·6$, stąd $2r=12·\sin 30°$, zatem $r=3 \mathrm{cm}$.

4. Długość tworzącej stożka możemy obliczyć korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $ABS$ albo dla trójkąta $AOS$.

5. I metoda, korzystamy z trójkąta $ABS$.
   Z twierdzenia cosinusów otrzymamy zależność
   ${\left(2r\right)}^2=l^2+l^2-2l^2·\cos 30°$, stąd $6^2=2l^2-2l^2·\frac{\sqrt{3}}{2}$, zatem $36=l^2\left(2-\sqrt{3}\right)$,
   a stąd wynika, że $l^2=\frac{36}{2-\sqrt{3}}$, dalej po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy $l^2=\frac{36\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}$, zatem $l=6\sqrt{2+\sqrt{3}} \mathrm{cm}$.
   II metoda, korzystamy z trójkąta $AOS$. Zauważamy, że kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka ma miarę $75°$, zatem kąt $AOS$ ma miarę $150°$.

RwF1jBTpaf14R

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Długość podstawy AB trójkąta wynosi $2r$, natomiast długość ramienia oznaczono literą l. Długość odcinka łączącego wierzchołek A z punktem O wynosi sześć. $\angle ASB$ ma miarę 30 stopni. Zaznaczono trójkąt równoramienny $SOA$, którego miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku O wynosi 150 stopni. Miara kąta $ABS$ wynosi 75 stopni.

Korzystając z twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów dla trójkąta $AOS$, otrzymujemy

$l^2=6^2+6^2-2·36·\cos 150°$, zatem

$l^2=72+72·\frac{\sqrt{3}}{2}$, stąd

$l^2=36\left(2+\sqrt{3}\right)$, zatem

$l=6\sqrt{2+\sqrt{3}} \mathrm{cm}$.

6. Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka. $P_{bs}=\pi ·3·6\sqrt{2+\sqrt{3}}$, zatem ostatecznie otrzymujemy $P_{bs}=18\sqrt{2+\sqrt{3}}\pi {\mathrm{cm}}^2$.

W kulę wpisano stożek o objętości równej $\frac{1}{4}$ objętości kuli. Wysokość stożka ma długość $3 \mathrm{cm}$. Wyznacz długość promienia kuli.

Rozwiązanie

1. Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

RsaKQHMnlu3an

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt O, której spodek leży w punkcie C na podstawie $AB$. Odległość punktu O od wierzchołka C oznaczono literą x, natomiast odległość punktu O od wierzchołka B oznaczono wielką literą R.

$H=\left|SC\right|=3$ długość wysokości stożka

$R=\left|OB\right|=\left|OS\right|$ długość promienia kuli

$x=\left|OC\right|=H-R$ długość odcinka $x$

$V_s=\frac{1}{4}{V}_k$ warunki zadania.

2. Z warunków zadania $V_s=\frac{1}{4}{V}_k$, mamy odpowiednio zależność $\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{1}{4}·\frac{4}{3}\pi R^3$, gdzie $r$ oznacza długość promienia podstawy stożka. Upraszczając zależność otrzymujemy
   $3r^2=R^3$, stąd $r^2=\frac{1}{3}{R}^3$.

3. Długość promienia kuli możemy wyznaczyć z trójkąta $CBO$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
   $x^2+r^2=R^2$, gdzie $r=\left|CB\right|$.
   Zatem odpowiednio podstawiając, otrzymamy równanie
   ${\left(3-R\right)}^2+\frac{1}{3}{R}^3=R^2$, stąd
   $9-6R+R^2+\frac{1}{3}{R}^3=R^2$, zatem
   $R^3-18R+27=0$. Otrzymaliśmy równanie stopnia trzeciego z niewiadomą $R$.

4. Zauważmy, że pierwiastkiem równania jest liczba $3$, ponieważ $3^3-18·3+27=0$.
   Rozkładając lewą stronę równania na czynniki, otrzymujemy
   $\left(R-3\right)\left(R^2+3R-9\right)=0$. Wynika stąd, że $R=3$ lub $R=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$ lub $R=\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}$, ponieważ $R>0$, jako długość odcinka, to otrzymujemy dwa rozwiązania
   $R=3 \mathrm{cm}$ lub $R=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2} \mathrm{cm}$.

przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym

przekrój kuli płaszczyzną zawierającą oś obrotu kuli. Przekrój osiowy kuli jest kołem

twierdzenie dotyczące zależności między kątami, bokami w trójkącie i promieniem okręgu opisanego na trójkącie

twierdzenie określające związek między kątem i bokami w trójkącie