Przeczytaj

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ . Chcemy znaleźć wzór na sumę $S_{n}$ kolejnych $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

W tym celu najpierw przypomnimy sobie wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o wyrazie pierwszym $a_{1}$ i różnicy $r$ ma postać

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

Przypomnijmy też ważną własność wyrazów ciągu arytmetycznego, z której będziemy korzystać.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego jednakowo odległych

Twierdzenie: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego jednakowo odległych

W skończonym $n$ –wyrazowym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ suma wyrazów jednakowo odległych od początku i końca jest stała i równa sumie wyrazów pierwszego i ostatniego

a_{k} + a_{n - k + 1} = a_{1} + a_{n}

Aby znaleźć wzór na sumę $n$ kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , zapisujemy tę sumę dwukrotnie i otrzymane równości dodajemy stronami.

$\begin{array}{l}\underline{+\left\{\begin{array}{l}S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}\\S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\dots +a_{3}+a_{2}+a_{1}\end{array}\right.}\\2S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}+a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\dots +a_{3}+a_{2}+a_{1}\end{array}$

Grupujemy wyrazy uzyskanej sumy.

2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + . . . + (a_{n - 1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})

Prawa strona uzyskanej równości jest sumą $n$ składników, z których każdy jest równy $a_{1} + a_{n}$ (wynika to z twierdzenia o sumie wyrazów ciągu arytmetycznegosuma wyrazów ciągu arytmetycznegosumie wyrazów ciągu arytmetycznego jednakowo odległych).

Zatem

2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot n | : 2

Otrzymujemy szukany wzór.

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów.

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznegosuma wyrazów ciągu arytmetycznegosumę wyrazów ciągu arytmetycznego można też zapisać, korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego.

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n

Przykład 1

Obliczymy sumę dziesięciu kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = - 9$ i $r = 2$ .

Stosujemy wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2} \cdot n$

$S_{10} = \frac{- 9 - 9 + (10 - 1) \cdot 2}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{- 18 + 18}{2} \cdot 10$

$S_{10} = 0$ .

Nie zawsze ciąg arytmetyczny jest bezpośrednio opisany za pomocą pierwszego wyrazu i różnicy. W niektórych przypadkach, trzeba te wielkości najpierw określić, aby następnie obliczyć sumę jego początkowych wyrazów.

Przykład 2

Obliczymy sumę stu kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ określonego wzorem $b_{n} = 2 n - 3$ .

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$b_{1} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$

Wyznaczamy setny wyraz ciągu.

$b_{100} = 2 \cdot 100 - 3 = 197$

Obliczamy sumę.

$S_{n} = \frac{- 1 + 197}{2} \cdot 100 = 9800$ .

Przykład 3

Obliczymy sumę $12$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $1$ , $9$ , $17$ , $25$ , $. . .$

Tym razem ciąg określony jest za pomocą jego wyrazów.

Ustalamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

$a_{1} = 1$

$r = 8$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$S_{12} = \frac{1 + 1 + (12 - 1) \cdot 8}{2} \cdot 12$

$S_{12} = 45 \cdot 12 = 540$ .

W następnym przykładach pokażemy, jak znając sumę kolejnych wyrazów ciągu wyznaczyć niektóre z wielkości związanych z danym ciągiem.

Przykład 4

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $5$ , a różnica ciągu $2$ . Ustalimy, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać $320$ .

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę wyrazów.

Liczba $320$ to suma $n$ kolejnych wyrazów ciągu, zatem

$\frac{5 + 5 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = 320 | \cdot 2$

$(10 + 2 n - 2) \cdot n = 640$

$2 n^{2} + 8 n - 640 = 0 | : 2$

$n^{2} + 4 n - 320 = 0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆ = 16 + 1280 = 1296 \Rightarrow \sqrt{∆} = 36$

$n_{1} = \frac{- 4 - 36}{2} = - 20 < 0$ – nie spełnia warunków zadania (liczba wyrazów musi być liczbą dodatnią)

$n_{2} = \frac{- 4 + 36}{2} = 16$

Odpowiedź:

Należy dodać $16$ wyrazów tego ciągu.

Przykład 5

Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa $22, 5$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu, jeżeli różnica ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ .

Podstawiamy dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

$\frac{a_{1} + a_{1} + 5 \cdot 0, 5}{2} \cdot 6 = 22, 5$

Wykonujemy wskazane działania i wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$(2 a_{1} + 2, 5) \cdot 6 = 45$

$12 a_{1} = 45 - 15$

$a_{1} = 2, 5$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 2, 5 + (n - 1) \cdot 0, 5$ .

Przykład 6

Suma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ wyraża się wzorem $S_{n} = - 3 n^{2} + 7 n$ . Obliczymy $b_{3} - b_{1}$ .

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $S_{1}$ . Zatem:

$b_{1} = S_{1} = - 3 + 7 = 4$

Zauważmy, że

$S_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} = S_{2} + b_{3}$

Wynika z tego, że

$b_{3} = S_{3} - S_{2}$

$b_{3} = - 3 \cdot 9 + 21 - (- 3 \cdot 4 + 14) = - 6 - 2 = - 8$

Wyznaczamy szukaną różnicę.

$b_{3} - b_{1} = - 8 - 4 = - 12$

Odpowiedź:

Różnica $b_{3} - b_{1}$ jest równa $(- 12)$ .

Słownik

suma wyrazów ciągu arytmetycznego

suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa średniej arytmetycznej wyrazu pierwszego i ostatniego pomnożonej przez liczbę wyrazów

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Wprowadzenie

Infografika

Słownik