W tej lekcji zajmiemy się prostymiprostaprostymi równoległymi do osi Y, czyli przy tradycyjnym położeniu układu współrzędnych, prostymi pionowymi.

Przykład 1

Naszkicuj zbiór wszystkich punktów (x,y), które spełniają równanie

a)

x=3

Zwróćmy uwagę, że w tym równaniu w ogóle nie występuje zmienna y. Oznacza to, że dla każdego punktu leżącego na tej prostej wartość zmiennej x jest stale równa 3 niezależnie od tego, ile wynosi y. Możemy to zjawisko zilustrować tabelką:

y

-7

-4

-1

1

5

x=3

3

3

3

3

3

x=3

A(3,-7), B(3,-4), C(3,-1), D(3,1), E(3,5)

x=3

RuiZIIJXlFjsu

Zwróćmy jeszcze uwagę, że liczby y wybraliśmy zupełnie losowo.

b)

x=-2

W tym równaniu również nie występuje zmienna y. Oznacza to, że dla każdego punktu leżącego na tej prostej wartość zmiennej x jest stale równa (-2) niezależnie od tego, ile jest równy y. Możemy to zjawisko zilustrować tabelką:

y

-7

-4

-1

1

5

x=-2

-2

-2

-2

-2

-2

Rd8lAnPyxqQWN

A zatem do prostej o równaniu x=-2 należą punkty: A(-2,-7), B(-2,-4), C(-2,-1), D(-2,1), E(-2,5). Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych, możemy poprowadzić prostą o równaniu x=-2.

c)

x=0

W tym równaniu również nie występuje zmienna y. Oznacza to, że dla każdego punktu leżącego na tej prostej wartość zmiennej x jest stale równa 0 niezależnie od tego, ile jest równy y. Możemy to zjawisko zilustrować tabelką:

y

-7

-4

-1

1

5

x=0

0

0

0

0

0

R1FgHosZ7xMkK

A zatem do prostej o równaniu x=0 należą punkty: A(0,-7), B(0,-4), C(0,-1), D(0,1), E(0,5). Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych możemy poprowadzić prostą o równaniu x=0.

Sformułujemy wniosek wynikający z powyższych przykładów.

Równania prostych równoległych do osi Y w uogólnieniu zapisujemy:

x=a,

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wtedy wszystkie punkty należące do tej prostej mają ustaloną i niezmienną współrzędną x oraz dowolną współrzędną rzeczywistą y. Na przykład do prostej x=5 będą należeć między innymi punkty: (5,-283), 5,-111, 5,-27, (5,0), (5,12).

Polecenie 1
RUX3thoTe4Ert
Wybierz osie, aby uzyskać zdanie prawdziwe. Każda prosta o równaniu x=b jest równoległa do osi Ox/Oy i przecina oś Ox/Oy w punkcie o współrzędnych (b,0).

Nieco ciekawszych przykładów dostarczy nam nałożenie na x wartości bezwzględnej.

Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór punktów spełniających podane równanie:

a)

x=3

Aby naszkicować wykres tego równania, możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej. Mianowicie wprost z definicji wynika, że równanie jest spełnione, gdy x=3 lub x=-3.

Współrzędna y punktów (x,y) może być dowolną liczbą rzeczywistą. Zatem wykresem równania x=3 jest suma dwóch prostych o równaniach x=3, x=-3.

R1RNY1U3tEQOu

Aby opuścić wartość bezwzględną, można też posłużyć się jej interpretacją geometryczną. Przypomnijmy, że wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zatem zbiorem punktów, których współrzędne spełniają równanie x=3 są te punkty, których pierwsza współrzędna leży w odległości 3 od zera na osi X, zaś druga jest dowolna. Efekt jest oczywiście taki sam jak na powyższej ilustracji.

b)

x-1=3

Aby naszkicować wykres tego równania, możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej. Wprost z definicji wynika, że równanie jest spełnione, gdy x-1=3 lub x-1=-3. Czyli równoważnie x=4 lub x=-2.

Współrzędne y punktów (x,y) należących do opisanego zbioru mogą być dowolne. Zatem wykresem równania x-1=3 jest suma dwóch prostych o równaniach x=4 , x=-2.

R18GVrfKSLU0l

Korzystając z interpretacji graficznej, możemy stwierdzić, że interesują nas wszystkie punkty (x,y), dla których współrzędna y jest dowolna, zaś x jest liczbą, której odległość od jedynki jest równa 3. W odległości 3 od liczby 1 leżą liczby x=4 oraz x=-2.

c)

x+2=3

Aby naszkicować wykres tego równania, możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej, z której wynika, że równanie jest spełnione, gdy x+2=3 lub x+2=-3. Czyli równoważnie x=1 lub x=-5.

Współrzędne y punktów (x,y) mogą być dowolne. Zatem wykresem równania x+2=3 jest suma dwóch prostych o równaniach x=1, x=-5.

R14CnXkvIrBGX

Korzystając z interpretacji graficznej, możemy stwierdzić, że interesują nas wszystkie punkty (x,y), dla których współrzędna y jest dowolna, zaś współrzędna x jest liczbą, której odległość od (-2) jest równa 3. W odległości 3 od (-2) leżą liczby x=-5 oraz x=1.

Znając równania prostych równoległych do osi Y, możemy opisywać też obszary ograniczone tymi prostymi. Do ich opisu posłużymy się nierównościami, również z wartościami bezwzględnymi.

Przykład 3

Naszkicuj zbiory punktów opisane przez poniższe nierówności.

a)

x>-1

W obszarze naszych zainteresowań tym razem znalazły się wszystkie punkty (x,y), których współrzędna y jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna x jest większa od (-1). Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na prawo od prostej o równaniu x=-1, ale bez tej prostej. Dlatego ta prostaprostaprosta będzie narysowana linią przerywaną.

RBbhKb4yOAhDe
b)

x2

Tym razem interesują nas wszystkie punkty (x,y), których współrzędna y jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna x jest nie mniejsza (większa lub równa) od 2. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na prawo od prostej o równaniu x=2 lub na tej prostej. Dlatego ta prosta będzie narysowana linią ciągłą.

RCXrVhcGcyAqC
c)

x<3

Tym razem interesują nas wszystkie punkty (x,y), których współrzędna y jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna x jest mniejsza od 3. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na lewo od prostej o równaniu x=3, ale nie na tej prostej. Dlatego ta prosta będzie narysowana linią przerywaną.

R1HxU5w1dJA12
d)

x-2

Tym razem interesują nas wszystkie punkty (x,y), których współrzędna y jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna x nie większa (mniejsza lub równa) od (-2). Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na lewo od prostej o równaniu x=-2 lub na tej prostej. Dlatego ta prostaprostaprosta będzie narysowana linią ciągłą.

RYLMBgZLlDhLU
Przykład 4

Naszkicujemy zbiory punktów opisane przez poniższe nierówności z wartościami bezwzględnymi.

a)

x<1

Zauważmy najpierw, że współrzędna y każdego punktu (x,y) należącego do zbioru opisanego przez nierówność x<1 może być dowolną liczbą. Z własności wartości bezwzględnej wynika, że -1<x<1.

W praktyce oznacza to, że szukany obszar jest zawarty pomiędzy prostymi o równaniach x=-1x=1, ale żadna z tych prostych nie należy do tego obszaru, dlatego będą narysowane liniami przerywanymi.

R1I6aUxpK9KPe

Równoważnie moglibyśmy skorzystać z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej. Mianowicie nierówność x<1 oznacza wszystkie liczby x, których odległość od zera na osi X jest mniejsza od 1. Zatem będą to liczby x(-1,1). Współrzędna y nadal może być dowolna.

b)

x3

Tym razem nierówność x3 możemy przedstawić równoważnie jako nierówność podwójną -3x3.

Ponieważ współrzędna y szukanych punktów (x,y) może być dowolna, zatem interesuje nas obszar pomiędzy prostymi o równaniach x=3x=-3 wraz z tymi prostymi.

RgoSMWGYSe6R5

Z interpretacji geometrycznej wynika, że nierówność x3 to zbiór wszystkich liczb x, które leżą w odległości co najwyżej 3 jednostek od zera na osi X. Oczywiście oznacza to, że x3,3.

c)

x>2

Tym razem nierówność x>2 możemy przedstawić jako alternatywę x>2 lub x<-2.

Współrzędna y szukanych punktów (x,y) może być dowolną liczbą rzeczywistą, zatem interesujące nas punkty leżą na lewo od prostej o równaniu x=-2 lub na prawo od prostej o równaniu x=2, ale nie na tych prostych.

R1MV8k0Pxruf6

Geometrycznie nierówność x>2 można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb x, których odległość od zera na osi X jest większa od 2. Zatem x(-,-2)(2,+). Współrzędna y szukanych punktów (x,y) ponownie może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą.

d)

x4

Tym razem nierówność x4 przedstawić jako alternatywę x4 lub x-4.

Współrzędna y szukanych punktów (x,y) może być dowolną liczbą rzeczywistą, zatem interesujące nas punkty leżą na prawo od prostej o równaniu x=4 lub na lewo od prostej o równaniu x=-4, lub na tych prostych.

RNxLCyBh7RgFJ

Geometrycznie nierówność x4 można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb x, których odległość od zera na osi X jest nie mniejsza od 4. Zatem x(-,-44,+). Współrzędna y szukanych punktów (x,y) ponownie może przyjmować dowolną wartość.

Przykład 5

Naszkicujemy zbiory punktów opisane przez poniższe nierówności z wartościami bezwzględnymi.

a)

x-3>2

Powyższa nierówność jest równoważna alternatywie nierówności x-3>2 lub x-3<-2, zatem równoważnie x>5 lub x<1.

Wobec tego interesujące nas punkty leżą na prawo od prostej o równaniu x=5 lub na lewo od prostej o równaniu x=1, ale nie na tych prostych. Linie oznaczające te proste rysujemy w sposób przerywany.

R18zDJZYlm0AI

Geometrycznie nierówność x-3>2 można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb x, których odległość od trójki na osi X jest większa od 2. Zatem x(-,1)(5,+). Współrzędna y szukanych punktów (x,y) ponownie może przyjmować dowolną wartość.

b)

x+41

Powyższa nierówność jest równoważna nierówności podwójnej -1x+41, czyli po odjęciu od każdej strony liczby 4 otrzymujemy:
-1-4x+4-41-4,
-5x-3.

Wobec tego interesujące nas punkty leżą pomiędzy prostymi o równaniach x=-5 oraz x=-3 lub na tych prostych. Linie oznaczające te proste rysujemy w sposób ciągły.

R1P83TT5YQu8V

Słownik

prosta
prosta

w geometrii euklidesowej: pojęcie pierwotnepojęcie pierwotnepojęcie pierwotne; w geometrii analitycznej: zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x,y), które spełniają równanie liniowe Ax+By+C=0, przy założeniu, że A i B nie są jednocześnie równe 0

pojęcie pierwotne
pojęcie pierwotne

jest to obiekt na tyle intuicyjnie zrozumiały i prosty, że w danej teorii matematycznej nie wymaga definiowania