$x=-2$

W tym równaniu również nie występuje zmienna $y$. Oznacza to, że dla każdego punktu leżącego na tej prostej wartość zmiennej $x$ jest stale równa $(-\mathrm{2)}$ niezależnie od tego, ile jest równy $y$. Możemy to zjawisko zilustrować tabelką:

Rd8lAnPyxqQWN

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus ośmiu do sześciu oraz pionowa oś Y od minus ośmiu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji o równaniu X równa się minus dwa. Na tej prostej zaznaczone są punkty: A o współrzędnych minus dwa minus siedem, B o współrzędnych minus dwa minus cztery, C o współrzędnych minus dwa minus jeden, D o współrzędnych minus dwa jeden, E o współrzędnych minus dwa pięć.

A zatem do prostej o równaniu $x=-2$ należą punkty: $A(-2,-7), B(-2,-4), C(-2,-1), D(-2,1), E(-2,5)$. Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych, możemy poprowadzić prostą o równaniu $x=-2$.

$x=0$

W tym równaniu również nie występuje zmienna $y$. Oznacza to, że dla każdego punktu leżącego na tej prostej wartość zmiennej $x$ jest stale równa $0$ niezależnie od tego, ile jest równy $y$. Możemy to zjawisko zilustrować tabelką:

R1FgHosZ7xMkK

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus sześciu do ośmiu oraz pionowa oś Y od minus ośmiu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji o równaniu X równa się zero. Na tej prostej zaznaczone są punkty: A o współrzędnych zero minus siedem, B o współrzędnych zero minus cztery, C o współrzędnych zero minus jeden, D o współrzędnych zero jeden, E o współrzędnych zero pięć.

A zatem do prostej o równaniu $x=0$ należą punkty: $A(0,-7), B(0,-4), C(0,-1), D(0,1), E(0,5)$. Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych możemy poprowadzić prostą o równaniu $x=0$.

$\left|x-1\right|=3$

Aby naszkicować wykres tego równania, możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej. Wprost z definicji wynika, że równanie jest spełnione, gdy $x-1=3$ lub $x-1=-3$. Czyli równoważnie $x=4$ lub $x=-2$.

Współrzędne $y$ punktów $(x,y)$ należących do opisanego zbioru mogą być dowolne. Zatem wykresem równania $\left|x-1\right|=3$ jest suma dwóch prostych o równaniach $x=4$ , $x=-2$.

R18GVrfKSLU0l

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus pięciu do sześciu oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są wykresy dwóch funkcji: jednej o równaniu X równa się minus dwa i drugiej o równaniu X równa się cztery.

Korzystając z interpretacji graficznej, możemy stwierdzić, że interesują nas wszystkie punkty $(x,y)$, dla których współrzędna $y$ jest dowolna, zaś $x$ jest liczbą, której odległość od jedynki jest równa $3$. W odległości $3$ od liczby $1$ leżą liczby $x=4$ oraz $x=-2$.

$\left|x+2\right|=3$

Aby naszkicować wykres tego równania, możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej, z której wynika, że równanie jest spełnione, gdy $x+2=3$ lub $x+2=-3$. Czyli równoważnie $x=1$ lub $x=-5$.

Współrzędne $y$ punktów $(x,y)$ mogą być dowolne. Zatem wykresem równania $\left|x+2\right|=3$ jest suma dwóch prostych o równaniach $x=1$, $x=-5$.

R14CnXkvIrBGX

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus siedmiu do czterech oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są wykresy dwóch funkcji: jednej o równaniu X równa się minus pięć i drugiej o równaniu X równa się jeden.

Korzystając z interpretacji graficznej, możemy stwierdzić, że interesują nas wszystkie punkty $(x,y)$, dla których współrzędna $y$ jest dowolna, zaś współrzędna $x$ jest liczbą, której odległość od $(-\mathrm{2)}$ jest równa $3$. W odległości $3$ od $(-\mathrm{2)}$ leżą liczby $x=-5$ oraz $x=1$.

$x\ge 2$

Tym razem interesują nas wszystkie punkty $(x,y)$, których współrzędna $y$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna $x$ jest nie mniejsza (większa lub równa) od $2$. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na prawo od prostej o równaniu $x=2$ lub na tej prostej. Dlatego ta prosta będzie narysowana linią ciągłą.

RCXrVhcGcyAqC

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus czterech do siedmiu oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest prosta o równaniu X równa się dwa. Cały obszar na prawo od prostej jest zaznaczony.

$x<3$

Tym razem interesują nas wszystkie punkty $(x,y)$, których współrzędna $y$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna $x$ jest mniejsza od $3$. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na lewo od prostej o równaniu $x=3$, ale nie na tej prostej. Dlatego ta prosta będzie narysowana linią przerywaną.

R1HxU5w1dJA12

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus czterech do siedmiu oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowana jest prosta o równaniu X równa się trzy. Cały obszar na lewo od prostej jest zaznaczony.

$x\le -2$

Tym razem interesują nas wszystkie punkty $(x,y)$, których współrzędna $y$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś współrzędna $x$ nie większa (mniejsza lub równa) od $(-\mathrm{2)}$. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą na lewo od prostej o równaniu $x=-2$ lub na tej prostej. Dlatego ta prostaprostaprosta będzie narysowana linią ciągłą.

RYLMBgZLlDhLU

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus siedmiu do czterech oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest prosta o równaniu X równa się minus dwa. Cały obszar na lewo od prostej jest zaznaczony.

$\left|x\right|\le 3$

Tym razem nierówność $\left|x\right|\le 3$ możemy przedstawić równoważnie jako nierówność podwójną $-3\le x\le 3$.

Ponieważ współrzędna $y$ szukanych punktów $(x,y)$ może być dowolna, zatem interesuje nas obszar pomiędzy prostymi o równaniach $x=3$ i $x=-3$ wraz z tymi prostymi.

RgoSMWGYSe6R5

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus pięciu do sześciu oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są dwie proste: pierwsza o równaniu X równa się minus trzy i druga o równaniu X równa się trzy. Obszar pomiędzy prostymi jest zaznaczony.

Z interpretacji geometrycznej wynika, że nierówność $\left|x\right|\le 3$ to zbiór wszystkich liczb $x$, które leżą w odległości co najwyżej $3$ jednostek od zera na osi $X$. Oczywiście oznacza to, że $x\in ⟨-3,3⟩$.

$\left|x\right|>2$

Tym razem nierówność $\left|x\right|>2$ możemy przedstawić jako alternatywę $x>2$ lub $x<-2$.

Współrzędna $y$ szukanych punktów $(x,y)$ może być dowolną liczbą rzeczywistą, zatem interesujące nas punkty leżą na lewo od prostej o równaniu $x=-2$ lub na prawo od prostej o równaniu $x=2$, ale nie na tych prostych.

R1MV8k0Pxruf6

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus pięciu do sześciu oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie liniami przerywanymi narysowane są dwie proste: pierwsza o równaniu X równa się minus dwa i druga o równaniu X równa się dwa. Obszar na zewnątrz obu prostych jest zaznaczony.

Geometrycznie nierówność $\left|x\right|>2$ można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb $x$, których odległość od zera na osi $X$ jest większa od $2$. Zatem $x\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$. Współrzędna $y$ szukanych punktów $(x,y)$ ponownie może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą.

$\left|x\right|\ge 4$

Tym razem nierówność $\left|x\right|\ge 4$ przedstawić jako alternatywę $x\ge 4$ lub $x\le -4$.

Współrzędna $y$ szukanych punktów $(x,y)$ może być dowolną liczbą rzeczywistą, zatem interesujące nas punkty leżą na prawo od prostej o równaniu $x=4$ lub na lewo od prostej o równaniu $x=-4$, lub na tych prostych.

RNxLCyBh7RgFJ

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus pięciu do sześciu oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są dwie proste: pierwsza o równaniu X równa się minus cztery i druga o równaniu X równa się cztery. Obszar na zewnątrz obu prostych jest zaznaczony.

Geometrycznie nierówność $\left|x\right|\ge 4$ można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb $x$, których odległość od zera na osi $X$ jest nie mniejsza od $4$. Zatem $x\in (-\infty ,-4⟩\cup ⟨4,+\infty )$. Współrzędna $y$ szukanych punktów $(x,y)$ ponownie może przyjmować dowolną wartość.

$\left|x+4\right|\le 1$

Powyższa nierówność jest równoważna nierówności podwójnej $-1\le x+4\le 1$, czyli po odjęciu od każdej strony liczby $4$ otrzymujemy:
$-1-4\le x+4-4\le 1-4$,
$-5\le x\le -3$.

Wobec tego interesujące nas punkty leżą pomiędzy prostymi o równaniach $x=-5$ oraz $x=-3$ lub na tych prostych. Linie oznaczające te proste rysujemy w sposób ciągły.

R1P83TT5YQu8V

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X zaprezentowaną od minus ośmiu do trzech oraz pionowa oś Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są dwie proste: pierwsza o równaniu X równa się minus pięć i druga o równaniu X równa się minus trzy. Obszar między obiema prostymi jest zaznaczony.