Czworościan to wielościan o czterech ścianach. Łatwo zauważyć, że każda ze ścian czworościanu jest trójkątem.

R1X1uYFbSbG6h

Na ilustracji przedstawiono wielościan o czterech ścianach. Każda ze ścian bryły jest trójkątem. Wierzchołki podstawy oznaczono literami alfabetu od A do B, natomiast wierzchołek czworościanu oznaczono literą D.

Każdy czworościan ma $4$ wierzchołki, $6$ krawędzi i nie ma przekątnych – każdy odcinek łączący dwa wierzchołki czworościanu jest jego krawędzią.

Każdy czworościanczworościanczworościan jest ostrosłupem trójkątnym. Ponieważ wszystkie ściany czworościanu są trójkątami, więc każda z nich może być rozpatrywana jako podstawa i z każdego wierzchołka można poprowadzić wysokość:

R12th5jeYUksu

Na ilustracji przedstawiono czworościan, o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Z wierzchołka D, opuszczono wysokość, której spodek leży w miejscu przecięcia środkowych podstawy $ABC$.

RFp8jaFlqxAKL

Na ilustracji przedstawiono czworościan, o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Z wierzchołka B, opuszczono wysokość, której spodek leży w miejscu przecięcia środkowych ściany bocznej $ACD$.

R1Grhp0y90pOe

Na ilustracji przedstawiono czworościan, o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Z wierzchołka A, opuszczono wysokość, której spodek leży w miejscu przecięcia środkowych ściany bocznej $BCD$.

R4ZSVkrzlE5nx

Na ilustracji przedstawiono czworościan, o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Z wierzchołka C, opuszczono wysokość, której spodek leży w miejscu przecięcia środkowych ściany bocznej $ACD$.

Wśród wszystkich czworościanów wyróżniamy:

• czworościany foremne, w których wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi:

  R1OUx6O1jDGVB

  Na ilustracji przedstawiono czworościan foremny. Wszystkie jego krawędzie oznaczono mała literą a.

  

• ostrosłupy prawidłowe, w których jedna ze ścian (którą przyjmujemy za podstawę) jest trójkątem równobocznym, zaś spodek wysokości ostrosłupa poprowadzonej do podstawy pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie:

  R1CGOEXdCpfGr

  Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Podstawę wpisano w okrąg. Spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka D, pokrywa się ze środkiem okręgu, w który wpisano trójkąt.

  

• ostrosłupy proste, w których spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie, ale podstawą może być dowolny trójkąt:

  R1DxSuKlkDT7p

  Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku S. Poprowadzono trzy promienie, których punkty przecięcia z okręgiem stanowią wierzchołki A, B, C, podstawy ostrosłupa. Z wierzchołka D, poprowadzono wysokość, której spodek leży w środku okręgu S.

  

Przyjrzyjmy się bliżej ostrosłupom prostym. Niech trójkąt $ABC$ będzie podstawą ostrosłupa, $D$ wierzchołkiem ostrosłupa nie leżącym w płaszczyźnie podstawy, zaś $S$ spodkiem wysokości ostrosłupawysokość ostrosłupawysokości ostrosłupa i środkiem okręgu opisanego na podstawie.
Wówczas łatwo zauważyć, że trójkąty $DSC$, $DSB$ i $DSA$ są przystające na mocy cechy bok‑kąt‑bok ($DS$ jest wspólnym bokiem wszystkich trójkątów, wszystkie trójkąty mają kąt prosty oraz $\left|SC\right|=\left|SB\right|=\left|SA\right|$, bo są promieniami tego samego okręgu). Zatem $\left|AD\right|=\left|BD\right|=\left|CD\right|$, czyli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa prostego są równej długości. Łatwo też zauważyć, że wszystkie krawędzie boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samych kątem.

Jako ćwiczenie pozostawiamy twierdzenia odwrotne do powyższego:
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości, to jest to ostrosłup prosty.
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to jest to ostrosłup prosty.

Często pojawiającym się w zadaniach czworościanemczworościanczworościanem jest taki, którego trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są wzajemnie prostopadłe:

RBjgXoCGpyN4c

Na ilustracji przedstawiono czworościan o podstawie $ABC$ i wierzchołku D. Krawędzie wychodzące z wierzchołka D są wzajemnie prostopadłe.

Tego typu czworościany łatwo dostrzec w prostopadłościanach – krawędzie wzajemnie prostopadłe są krawędziami prostopadłościanu wychodzącymi z jednego jego wierzchołka, zaś pozostałe trzy krawędzie czworościanu są przekątnymi tego prostopadłościanu:

RJ86VEFbujG9s

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $IJKL$. Krawędzie AD, DC, DL, oraz przekątne AC, CL, AL, stanowią krawędzie czworościanu.

Ciekawym przypadkiem powyższego czworościanu jest taki, którego siatkę można uzyskać z kwadratu.

Możesz teraz sprawdzić, jaki czworościan powstaje z siatki będącej kwadratem:

RuO8k5X2EeBrU

Na animacji przedstawiono jak powstaje czworościan z siatki będącej kwadratem o boku a. Linią przerywaną połączono środki dwóch sąsiednich boków, z wierzchołkiem łączącym dwa inne sąsiednie boki. Kwadrat zgina się wzdłuż linii przerywanych. Powstaje czworościan.

Na animacji przedstawiono jak powstaje czworościan z siatki będącej kwadratem o boku a. Linią przerywaną połączono środki dwóch sąsiednich boków, z wierzchołkiem łączącym dwa inne sąsiednie boki. Kwadrat zgina się wzdłuż linii przerywanych. Powstaje czworościan.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCJbqdKMn

Przykład 1

Obliczymy objętość czworościanu, którego siatka jest kwadratem o boku $4$.

Zauważmy, że kwadrat można złożyć wzdłuż linii narysowanych poniżej otrzymując czworościanczworościanczworościan.

R1Iol7ewBZ5WU

Na ilustracji przedstawiono kolejne kroki złożenia czworościanu, którego siatka jest kwadratem o boku A. Przedstawiono kartkę papieru w kształcie kwadratu o boku długości a, i wierzchołkach $ABCD$. Połączono środek boku AB, BC, oraz wierzchołek D. Kartkę papieru złożono wzdłuż boków otrzymanego trójkąta. Otrzymano czworościan.

Wprowadźmy oznaczenia:

RcAiGpmETZnAM

Na ilustracji przedstawiono kartkę papieru w kształcie kwadratu o boku długości 4, i wierzchołkach $ABCD$. Linią przerywaną zaznaczono przekątną AC kwadratu. Punkt E stanowi środek odcinka DC, natomiast punkt F, stanowi środek odcinka BC. Utworzono trójkąt łącząc punkty A, F, E. W prawym dolnym rogu kartki papieru zaznaczono kwadrat o boku długości 2, i przekątnej FE. Przekątna FE przecina, przekątną AC w punkcie G.

Przyjmijmy trójkąt $CEF$ za podstawę czworościanu. Wówczas wysokością czworościanu będą odcinki $AB$ i $AD$, które nałożą się na siebie nawzajem. Czyli wysokość czworościanu to $4$.

W podstawie znajduje się trójkąt prostokątny równoramienny, więc jego pole to

$\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.

Zatem objętość otrzymanego czworościanu możemy obliczyć stosując wzór na objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 4=\frac{8}{3}$.

Przykład 2

Dany jest czworościan $ABCD$ o polu powierzchni $100$. Na każdej krawędzi wyznaczono jej środek i otrzymane punkty połączono w taki sposób, aby odcinki łączące środki krawędzi leżały na powierzchni ostrosłupa. Otrzymane odcinki tworzą krawędzie nowego wielościanu. Wyznaczymy pole jego powierzchni.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

REuUP0cguIDKy

Na ilustracji przedstawiono czworościan o podstawie $ABC$, oraz wierzchołku D. Punkty I, J, K, F, G, H są środkami odcinków BD, CD, AD, AB, BC.

Punkty $I$, $J$, $K$, $F$, $G$, $H$ są środkami odcinków $BD$, $CD$, $AD$, $AB$, $BC$ oraz $AC$. Po ich połączeniu otrzymujemy krawędzie nowego wielościanu, który okazuje się być ośmiościanem jak niżej

RFMmgY1c3eL1o

Na ilustracji przedstawiono czworościan o podstawie $ABC$, oraz wierzchołku D. Punky I, J, K, F, G, H są środkami odcinków BD, CD, AD, AB, BC. Połączono ich środki i otrzymano ośmiościan.

Zauważmy teraz, że przeciwległe ściany otrzymanego ośmiościanu są przystające. Możemy to uzasadnić na przykładzie ścian $GIJ$ oraz $FHK$. Odcinek $IJ$ ma długość równą połowie odcinka $BC$ (łączy środki boków trójkąta $BCD$) oraz odcinek $FH$ ma długość równą połowie odcinka $BC$ (łączy środki boków trójkąta $ABC$). Ponadto $\left|KF\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|=\left|GJ\right|$, bo $KF$ łączy środki boków trójkąta $ABD$, zaś $GJ$ łączy środki boków trójkąta $CBD$, oraz $\left|KH\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|CD\right|=\left|GI\right|$, bo $KH$ łączy środki boków trójkąta $ACD$, zaś $GI$ łączy środki boków trójkąta $CBD$. Zatem na mocy cechy bok‑bok‑bok trójkąty $IJG$ oraz $FHK$ są przystające. Poza tym oba są podobne w skali $1:2$ do trójkąta $CBD$ (na mocy cechy bok‑bok‑bok podobieństwa trójkątów). Zatem pole każdego z tych trójkątów jest równe $\frac{1}{4}$ pola trójkąta $CBD$, więc suma tych pól to $\frac{1}{2}$ pola trójkąta $CBD$. Analogicznie postępujemy dla pozostałych par trójkątów będących ścianami ośmiokąta. Stąd już łatwo wyciągnąć wniosek, że pole powierzchni ośmiokąta jest równe połowie pola powierzchni czworokąta, czyli wynosi $50$.

Środek kuli wpisanej w czworościan

W każdy czworościan można wpisać kulę. Jest to kula, która jest styczna do wszystkich ścian czworościanu (ma z każdą z nich dokładnie jeden punkt wspólny). Środek kuli wpisanej w czworościan jest równoodległy od wszystkich jego ścian. Odległość jest równa promieniowi kuli.

R1YDR7IkVf0UR

Na ilustracji przedstawiono czworościan o podstawie $ABC$ i wierzchołku S. W czworościan wpisano kulę, która jest styczna do wszystkich ścian czworościanu, w punkcie przez który przechodzi wysokość danej ściany.

Środek kuli opisanej na czworościanie

Na każdym czworościanie można opisać kulę. Kula opisana na czworościanie to taka kula, której powierzchnia (sfera) zawiera wszystkie wierzchołki czworościanu. Środek kuli opisanej na czworościanie jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków. Odległość ta jest równa promieniowi kuli.

R1bnndBj9A0Cg

Na ilustracji przedstawiono kulę, która jest opisana na czworościanie. Środek kuli opisanej na czworościanie jest odległy od wszystkich wierzchołków o odległość równą promieniowi kuli.

Przypomnijmy, że na płaszczyźnie przez trzy dowolne punkty nie leżące na jednej prostej przechodzi dokładnie jeden okrąg. W przestrzeni trójwymiarowej można udowodnić analogiczne twierdzenie:

Przez cztery różne punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna sfera.

Przykład 3

Wyznaczymy promień kuli opisanej na czworościanie, którego ściany spełniają następujące warunki:

• jedna ze ścian jest trójkątem równobocznym o boku $a$ oraz

• trzy pozostałe ściany są przystającymi trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przeciwprostokątnej $a$.

W rozwiązaniu tego zadania skorzystamy z faktu, że przez dowolne cztery punkty, które nie leżą na jednej płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna sfera.

Zauważmy najpierw, że omawiany czworościan jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, w którym kąt między krawędziami bocznymi jest prosty.

RWKFyRuk5pUMA

Na ilustracji przedstawiono czworościan o podstawie $BDH$ i wierzchołku A. Kąt $BAH$ jest kątem prostym.

RPcERkygoLsRM

Na ilustracji przedstawiono czworościan o podstawie $ABD$, i wierzchołku H. Kąt $BAH$ jest kątem prostym. Krawędzie DH, BH, oraz BD są równe a.

Zauważmy, że rozważany ostrosłup można otrzymać z sześcianu w następujący sposób:

• wierzchołek $A$ ostrosłupa jest jednym z wierzchołków sześcianu,

• krawędzie boczne ostrosłupa są krawędziami sześcianu,

• krawędzie podstawy ostrosłupa są przekątnymi ścian sześcianu.

Łatwo obliczyć, że krawędź sześcianu ma długość $\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

RdCsFAVRrn8dz

Na ilustracji przedstawiono sześcian o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, i tak dalej. Łącząc wierzchołki B, D, H powstał trójkąt.

Ponieważ punkt przecięcia przekątnych sześcianu jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków, więc jest środkiem kuli opisanej na sześcianie.

R8Z6fT55jDYgM

Na ilustracji przedstawiono sześcian o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, i tak dalej. Łącząc wierzchołki B, D, H powstał trójkąt. Liniami przerywanymi zaznaczono przekątną BG, oraz DF. Miejsce przecięcia przekątnych wyznacza środek kuli opisanej na przedstawionym sześcianie.

Skoro cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie wyznaczają strefę w sposób jednoznaczny, więc kula opisana na czworościanie i kula opisana na sześcianie jest tą samą kulą. Jej promień $R$ to połowa przekątnej $d$ sześcianu:

$R=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Słownik