Czworościan to wielościan o czterech ścianach. Łatwo zauważyć, że każda ze ścian czworościanu jest trójkątem.

R1X1uYFbSbG6h

Każdy czworościan ma 4 wierzchołki, 6 krawędzi i nie ma przekątnych – każdy odcinek łączący dwa wierzchołki czworościanu jest jego krawędzią.

Każdy czworościanczworościanczworościan jest ostrosłupem trójkątnym. Ponieważ wszystkie ściany czworościanu są trójkątami, więc każda z nich może być rozpatrywana jako podstawa i z każdego wierzchołka można poprowadzić wysokość:

Wśród wszystkich czworościanów wyróżniamy:

  • czworościany foremne, w których wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi:

    R1OUx6O1jDGVB

  • ostrosłupy prawidłowe, w których jedna ze ścian (którą przyjmujemy za podstawę) jest trójkątem równobocznym, zaś spodek wysokości ostrosłupa poprowadzonej do podstawy pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie:

    R1CGOEXdCpfGr

  • ostrosłupy proste, w których spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie, ale podstawą może być dowolny trójkąt:

    R1DxSuKlkDT7p

Przyjrzyjmy się bliżej ostrosłupom prostym. Niech trójkąt ABC będzie podstawą ostrosłupa, D wierzchołkiem ostrosłupa nie leżącym w płaszczyźnie podstawy, zaś S spodkiem wysokości ostrosłupawysokość ostrosłupawysokości ostrosłupa i środkiem okręgu opisanego na podstawie.
Wówczas łatwo zauważyć, że trójkąty DSC, DSBDSA są przystające na mocy cechy bok‑kąt‑bok (DS jest wspólnym bokiem wszystkich trójkątów, wszystkie trójkąty mają kąt prosty oraz SC=SB=SA, bo są promieniami tego samego okręgu). Zatem AD=BD=CD, czyli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa prostego są równej długości. Łatwo też zauważyć, że wszystkie krawędzie boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samych kątem.

Jako ćwiczenie pozostawiamy twierdzenia odwrotne do powyższego:
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości, to jest to ostrosłup prosty.
Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to jest to ostrosłup prosty.

Często pojawiającym się w zadaniach czworościanemczworościanczworościanem jest taki, którego trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są wzajemnie prostopadłe:

RBjgXoCGpyN4c

Tego typu czworościany łatwo dostrzec w prostopadłościanach – krawędzie wzajemnie prostopadłe są krawędziami prostopadłościanu wychodzącymi z jednego jego wierzchołka, zaś pozostałe trzy krawędzie czworościanu są przekątnymi tego prostopadłościanu:

RJ86VEFbujG9s

Ciekawym przypadkiem powyższego czworościanu jest taki, którego siatkę można uzyskać z kwadratu.

Problem 1

Zanim zaczniesz czytać dalej, spróbuj tak złożyć kwadrat, aby powstał czworościan. Kwadrat ma być siatką tego czworościanu.

Możesz teraz sprawdzić, jaki czworościan powstaje z siatki będącej kwadratem:

RuO8k5X2EeBrU
Na animacji przedstawiono jak powstaje czworościan z siatki będącej kwadratem o boku a. Linią przerywaną połączono środki dwóch sąsiednich boków, z wierzchołkiem łączącym dwa inne sąsiednie boki. Kwadrat zgina się wzdłuż linii przerywanych. Powstaje czworościan.
Przykład 1

Obliczymy objętość czworościanu, którego siatka jest kwadratem o boku 4.

Zauważmy, że kwadrat można złożyć wzdłuż linii narysowanych poniżej otrzymując czworościanczworościanczworościan.

R1Iol7ewBZ5WU

Wprowadźmy oznaczenia:

RcAiGpmETZnAM

Przyjmijmy trójkąt CEF za podstawę czworościanu. Wówczas wysokością czworościanu będą odcinki ABAD, które nałożą się na siebie nawzajem. Czyli wysokość czworościanu to 4.

W podstawie znajduje się trójkąt prostokątny równoramienny, więc jego pole to

1222=2.

Zatem objętość otrzymanego czworościanu możemy obliczyć stosując wzór na objętość ostrosłupa:

V=1324=83.

Przykład 2

Dany jest czworościan ABCD o polu powierzchni 100. Na każdej krawędzi wyznaczono jej środek i otrzymane punkty połączono w taki sposób, aby odcinki łączące środki krawędzi leżały na powierzchni ostrosłupa. Otrzymane odcinki tworzą krawędzie nowego wielościanu. Wyznaczymy pole jego powierzchni.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

REuUP0cguIDKy

Punkty I, J, K, F, G, H są środkami odcinków BD, CD, AD, AB, BC oraz AC. Po ich połączeniu otrzymujemy krawędzie nowego wielościanu, który okazuje się być ośmiościanem jak niżej

RFMmgY1c3eL1o

Zauważmy teraz, że przeciwległe ściany otrzymanego ośmiościanu są przystające. Możemy to uzasadnić na przykładzie ścian GIJ oraz FHK. Odcinek IJ ma długość równą połowie odcinka BC (łączy środki boków trójkąta BCD) oraz odcinek FH ma długość równą połowie odcinka BC (łączy środki boków trójkąta ABC). Ponadto KF=12BD=GJ, bo KF łączy środki boków trójkąta ABD, zaś GJ łączy środki boków trójkąta CBD, oraz KH=12CD=GI, bo KH łączy środki boków trójkąta ACD, zaś GI łączy środki boków trójkąta CBD. Zatem na mocy cechy bok‑bok‑bok trójkąty IJG oraz FHK są przystające. Poza tym oba są podobne w skali 1:2 do trójkąta CBD (na mocy cechy bok‑bok‑bok podobieństwa trójkątów). Zatem pole każdego z tych trójkątów jest równe 14 pola trójkąta CBD, więc suma tych pól to 12 pola trójkąta CBD. Analogicznie postępujemy dla pozostałych par trójkątów będących ścianami ośmiokąta. Stąd już łatwo wyciągnąć wniosek, że pole powierzchni ośmiokąta jest równe połowie pola powierzchni czworokąta, czyli wynosi 50.

Środek kuli wpisanej w czworościan

W każdy czworościan można wpisać kulę. Jest to kula, która jest styczna do wszystkich ścian czworościanu (ma z każdą z nich dokładnie jeden punkt wspólny). Środek kuli wpisanej w czworościan jest równoodległy od wszystkich jego ścian. Odległość jest równa promieniowi kuli.

R1YDR7IkVf0UR

Środek kuli opisanej na czworościanie

Na każdym czworościanie można opisać kulę. Kula opisana na czworościanie to taka kula, której powierzchnia (sfera) zawiera wszystkie wierzchołki czworościanu. Środek kuli opisanej na czworościanie jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków. Odległość ta jest równa promieniowi kuli.

R1bnndBj9A0Cg

Przypomnijmy, że na płaszczyźnie przez trzy dowolne punkty nie leżące na jednej prostej przechodzi dokładnie jeden okrąg. W przestrzeni trójwymiarowej można udowodnić analogiczne twierdzenie:

Przez cztery różne punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna sfera.

Przykład 3

Wyznaczymy promień kuli opisanej na czworościanie, którego ściany spełniają następujące warunki:

  • jedna ze ścian jest trójkątem równobocznym o boku a oraz

  • trzy pozostałe ściany są przystającymi trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przeciwprostokątnej a.

W rozwiązaniu tego zadania skorzystamy z faktu, że przez dowolne cztery punkty, które nie leżą na jednej płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna sfera.

Zauważmy najpierw, że omawiany czworościan jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, w którym kąt między krawędziami bocznymi jest prosty.

Zauważmy, że rozważany ostrosłup można otrzymać z sześcianu w następujący sposób:

  • wierzchołek A ostrosłupa jest jednym z wierzchołków sześcianu,

  • krawędzie boczne ostrosłupa są krawędziami sześcianu,

  • krawędzie podstawy ostrosłupa są przekątnymi ścian sześcianu.

Łatwo obliczyć, że krawędź sześcianu ma długość a2=a22.

RdCsFAVRrn8dz

Ponieważ punkt przecięcia przekątnych sześcianu jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków, więc jest środkiem kuli opisanej na sześcianie.

R8Z6fT55jDYgM

Skoro cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie wyznaczają strefę w sposób jednoznaczny, więc kula opisana na czworościanie i kula opisana na sześcianie jest tą samą kulą. Jej promień R to połowa przekątnej d sześcianu:

R=12d=12a223=a64.

Słownik

wysokość ostrosłupa
wysokość ostrosłupa

odległość wierzchołka nie leżącego w podstawie ostrosłupa od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę podstawy; również odcinek o długości równej tej odległości

czworościan
czworościan

wielościan o czterech ścianach; ściany czworościanu są trójkątami