Przeczytaj
Na lekcji pokażemy całą kolekcję równań trygonometrycznych, do rozwiązania których będziemy wykorzystywać wszystkie poznane dotychczas wzory i metody.
Przypomnijmy najpierw najbardziej typowe strategie rozwiązywania równań trygonometrycznych:
Zawsze na początku piszemy, co jest dziedziną równania, czyli jaki jest zbiór elementów, dla których równanie ma sens.
Każde równanie staramy się sprowadzić do postaci: , lub , gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą.
Bardzo wygodną postacią równania, która ułatwia rozwiązanie równań, jest taka postać, aby po jednej stronie równania znajdował się iloczyn wyrażeń trygonometrycznych, a po drugiej liczba 0.
Częstym motywem dla bardziej złożonych równań jest wprowadzenie podstawienia, które sprowadza równanie trygonometryczne do postaci równanie kwadratowego, wielomianowego lub wymiernego.
W bardziej złożonych zadaniach musimy skorzystać z poznanych wzorów na: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych.
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów
sinus sumy argumentów
sinus różnicy argumentów
cosinus sumy argumentów
cosinus różnicy argumentów
tangens sumy argumentów
gdy , , , gdzie
tangens różnicy argumentów
gdy , gdzie
Funkcje trygonomeryczne podwojonego argumentu
sinus podwojonego kąta
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
cosinus podwojonego kąta
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
tangens podwojonego kąta
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej i , gdzie
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
suma oraz różnica sinusów
dla dowolnych
suma oraz różnica cosinusów
dla dowolnych
suma oraz różnica tangensów
dla dowolnych spełniających warunki: i
Zapoznaj się z poniższym filmem. Zwróć uwagę w przykładach 2 i 3 na zapisanie założeń. W przykładzie 2 zastosowano charakterystyczne podstawienie prowadzące do równania kwadratowego. W przykładzie 3 zwróć ponadto uwagę na zastosowanie wzoru na różnicę sinusów do przekształcenia równania.
Rozwiążemy równanie .
Rozwiązanie
Zauważmy, że problemem w tym zadaniu są iloczyny funkcji trygonometrycznych, które znajdują się po obu stronach równania. Nie spotkaliśmy się dotąd ze wzorem, który zamieniałby tego typu iloczyn na inne wyrażenie.
Ale we wzorze na różnicę cosinusów mamy:
.
Stąd mamy .
Jeżeli zapiszemy, że i , to i .
Zatem .
Analogicznie możemy wyprowadzić wzór: .
Wykorzystajmy te zależności do rozwiązania zadania:
,
,
.
Stosujemy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów:
,
.
Zatem otrzymujemy:
lub .
lub , gdzie .
Odpowiedź: lub , gdzie .
Zapoznaj się z filmem. Zwróć uwagę na metodę podstawiania zastosowaną w przykładzie 2. W przykładzie 3 został wykorzystany wzór, który pojawił się w zadaniu 2.
Rozwiążemy równanie: .
Rozwiązanie
Skorzystamy z przekształconego wzoru na cosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta:
.
Otrzymamy wówczas:
.
Po uproszczeniu otrzymujemy:
.
Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów:
.
Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusówwzoru na różnicę cosinusów:
,
.
Korzystając z postaci iloczynowej, otrzymujemy:
lub lub .
Stąd mamy:
lub lub , gdzie .
Otrzymujemy zatem odpowiedź: lub , gdzie .
Słownik
tożsamość trygonometryczna: prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
dla dowolnych
dla dowolnych