Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Na lekcji pokażemy całą kolekcję równań trygonometrycznych, do rozwiązania których będziemy wykorzystywać wszystkie poznane dotychczas wzory i metody.

Przypomnijmy najpierw najbardziej typowe strategie rozwiązywania równań trygonometrycznych:

  1. Zawsze na początku piszemy, co jest dziedziną równania, czyli jaki jest zbiór elementów, dla których równanie ma sens.

  2. Każde równanie staramy się sprowadzić do postaci: sinx=a, cosx=a lub tgx=a, gdzie a jest pewną liczbą rzeczywistą.

  3. Bardzo wygodną postacią równania, która ułatwia rozwiązanie równań, jest taka postać, aby po jednej stronie równania znajdował się iloczyn wyrażeń trygonometrycznych, a po drugiej liczba 0.

  4. Częstym motywem dla bardziej złożonych równań jest wprowadzenie podstawienia, które sprowadza równanie trygonometryczne do postaci równanie kwadratowego, wielomianowego lub wymiernego.

  5. W bardziej złożonych zadaniach musimy skorzystać z poznanych wzorów na: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych.

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

sinus sumy argumentów
sinx+y=sinx·cosy+cosx·siny, dla x,y
sinus różnicy argumentów
sinx-y=sinx·cosy-cosx·siny, dla x,y
cosinus sumy argumentów
cosx+y=cosx·cosy-sinx·siny, dla x,y
cosinus różnicy argumentów
cosx-y=cosx·cosy+sinx·siny, dla x,y
tangens sumy argumentów
tgx+y=tgx+tgy1-tgxtgy,

gdy xπ2+kπ, yπ2+kπ, x+yπ2+kπ, gdzie k

tangens różnicy argumentów
tgx-y=tgx-tgy1+tgxtgy,

gdy xπ2+kπ,yπ2+kπ,x-yπ2+kπ, gdzie k

Funkcje trygonomeryczne podwojonego argumentu

sinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: sin2x=2sinxcosx prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x

cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: cos2x=cos2x-sin2x prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x

tangens podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: tg2x=2tgx1-tg2x prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej xπ4+π2kxπ2+kπ, gdzie k

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

suma oraz różnica sinusów
sinx+siny=2sinx+y2·cosx-y2
sinx-siny=2sinx-y2·cosx+y2

dla dowolnych x,y

suma oraz różnica cosinusów
cosx+cosy=2cosx+y2·cosx-y2
cosx-cosy=-2sinx+y2·sinx-y2

dla dowolnych x,y

suma oraz różnica tangensów
tgx+tgy=sinx+ycosxcosy
tgx-tgy=sinx-ycosxcosy

dla dowolnych x,y spełniających warunki: cosx0cosy0

Przykład 1

Obejrzyj poniższy film. Zwróć uwagę w przykładach 2 i 3 na zapisanie założeń. W przykładzie 2 zastosowano charakterystyczne podstawienie prowadzące do równania kwadratowego. W przykładzie 3 zwróć ponadto uwagę na zastosowanie wzoru na różnicę sinusów do przekształcenia równania.

R169UPK0Au8d2
Przykład 2

Rozwiążemy równanie sin3x·sin5x=cos4x·cos2x.

Rozwiązanie

Zauważmy, że problemem w tym zadaniu są iloczyny funkcji trygonometrycznych, które znajdują się po obu stronach równania. Nie spotkaliśmy się dotąd ze wzorem, który zamieniałby tego typu iloczyn na inne wyrażenie.

Ale we wzorze na różnicę cosinusów mamy:

cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2.

Stąd mamy sinα+β2sinα-β2=12cosβ-cosα.

Jeżeli zapiszemy, że x=α+β2y=α-β2, to α=x+yβ=x-y.

Zatem sinxsiny=12cosx-y-cosx+y.

Analogicznie możemy wyprowadzić wzór: cosxcosy=12cosx+y+cosx-y.

Wykorzystajmy te zależności do rozwiązania zadania:

12cos5x-3x-cos5x+3x=12cos4x+2x+cos4x-2x,

cos2x-cos8x=cos6x+cos2x,

cos6x+cos8x=0.

Stosujemy wzór na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

2cos6x+8x2·cos8x-6x2=0,

cos7x·cosx=0.

Zatem otrzymujemy:

cos7x=0 lub cosx=0.

7x=π2+kπ lub x=π2+kπ, gdzie k.

Odpowiedź: x=π14+kπ7 lub x=π2+kπ, gdzie k.

Przykład 3

Obejrzyj film. Zwróć uwagę na metodę podstawiania zastosowaną w przykładzie 2. W przykładzie 3 został wykorzystany wzór, który pojawił się w zadaniu 2.

RRzK8x63EJWyC
Przykład 4

Rozwiążemy równanie: sin2x+sin22x=sin23x+sin24x.

Rozwiązanie

Skorzystamy z przekształconego wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta:

sin2x=1-cos2x2.

Otrzymamy wówczas:

1-cos2x2+1-cos4x2=1-cos6x2+1-cos8x2.

Po uproszczeniu otrzymujemy:

cos2x+cos4x=cos6x+cos8x.

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzoru na sumę cosinusów:

2cos3x·cosx-2cos7x·cosx=0.

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzoru na różnicę cosinusów:

2cosx·cos3x-cos7x=0,

2cosx(2sin5xsin(2x))=0.

Korzystając z postaci iloczynowej otrzymujemy:

cosx=0 lub sin5x=0 lub sin2x=0.

Stąd mamy:

x=π2+kπ lub x=kπ5 lub x=kπ2, gdzie k.

Otrzymujemy zatem odpowiedź: x=kπ5 lub x=kπ2, gdzie k.

Słownik

cosinus podwojonego kąta
cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: cos2x=cos2x-sin2x prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x

wzory na sumę oraz różnicę sinusów
wzory na sumę oraz różnicę sinusów
sinx+siny=2sinx+y2·cosx-y2
sinx-siny=2sinx-y2·cosx+y2

dla dowolnych x,y

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów
wzory na sumę oraz różnicę cosinusów
cosx+cosy=2cosx+y2·cosx-y2
cosx-cosy=-2sinx+y2·sinx-y2

dla dowolnych x,y