Przeczytaj

Na początku przypomnijmy wiadomości dotyczące graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Definicja: graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie czworokąt foremny, czyli kwadrat.

Wzory

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o długości krawędzi podstawy $a$ i krawędzi bocznej $h$ . Wtedy:

długość przekątnej podstawy $p = a \sqrt{2}$ ,

długość przekątnej graniastosłupa $d = \sqrt{a^{2} + a^{2} + h^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}}$ ,

suma długości wszystkich krawędzi w graniastosłupie $S = 8 a + 4 h$ .

RH6E15pHIPcbw

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy

RcUbHz8zNoerD

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną B H o długości d oraz przekątną podstawy B D o długości a pierwiastków z dwóch. Odcinek A B ma długość a, natomiast odcinek G C będący wysokością bryły ma długość h. Zaznaczono także kąt alfa pomiędzy przekątną bryły B H a przekątną podstawy B D.

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym $B D H$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

\sin α = \frac{h}{d}

\cos α = \frac{a \sqrt{2}}{d}

tg α = \frac{h}{a \sqrt{2}}

Przykład 1

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego a przekątną podstawy wiedząc, że długość krawędzi podstawy wynosi $5$ , a długość krawędzi bocznej jest równa $5 \sqrt{6}$ .

Rozwiązanie

Przekątna podstawy ma długość $5 \sqrt{2}$ , zatem

$tg α = \frac{5 \sqrt{6}}{5 \sqrt{2}} = \sqrt{3}$

Kąt $α$ jest ostry i $tg α = \sqrt{3}$ , więc $α = 60 °$ .

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną

R1547CnrP1V9I

Kąt ten również można znaleźć w trójkącie prostokątnym $B D H$ i wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych:

\sin α = \frac{a \sqrt{2}}{d}

\cos α = \frac{h}{d}

tg α = \frac{a \sqrt{2}}{h}

Przykład 2

Wiedząc, że kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego a krawędzią boczną jest równy $30 °$ , a iloczyn długości krawędzi podstawy i krawędzi bocznej wynosi $6 \sqrt{6}$ , wyznaczymy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przez $a$ oznaczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa, natomiast przez $h$ długość krawędzi bocznej. Wtedy, korzystając z trygonometrii w trójkącie prostokątnym $B D H$ , otrzymujemy:

$tg 30^{\circ} = \frac{a \sqrt{2}}{h}$

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a \sqrt{2}}{h}$

$h = \frac{3 a \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = a \sqrt{6}$

Zapisując informację dotyczącą iloczynu, mamy:

$6 \sqrt{6} = a \cdot a \sqrt{6}$

$a^{2} = 6$

$a = \sqrt{6}$

Długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa to $h = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$ .

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy

R1FZNr0xEaUwO

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym $A B H$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

\sin α = \frac{|A H|}{d}

\cos α = \frac{a}{d}

tg α = \frac{|A H|}{a}

Przykład 3

Obliczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że jego krawędź boczna ma długość $10$ , a kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy jest równy $60 °$ .

Rozwiązanie

Z tw. Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatw. Pitagorasa w trójkącie $A D H$ wynika, że $a^{2} + 10^{2} = {|A H|}^{2}$ , zatem $|A H| = \sqrt{a^{2} + 100}$ .

R1WLCSVffzum1

Korzystając z funkcji trygonometrycznej w trójkącie $A B H$ otrzymujemy:

$tg 60^{\circ} = \frac{|A H|}{|A B|}$

$\sqrt{3} = \frac{\sqrt{a^{2} + 100}}{a}$

$\sqrt{3} a = \sqrt{a^{2} + 100}$

$3 a^{2} = a^{2} + 100$

$a = 5 \sqrt{2}$

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej

RfYrdm0Oaph6H

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym $A B H$ i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

\sin α = \frac{a}{d}

\cos α = \frac{|A H|}{d}

tg α = \frac{a}{|A H|}

Przykład 4

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym dany jest kąt $α$ pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Wyznaczymy tangens kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej w zależności od kąta $α$ .

Rozwiązanie

RU9k7DlXvvSWx

Przez $a$ oznaczamy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. Wtedy przekątna podstawy ma długość $a \sqrt{2}$ . Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $B D H$ otrzymujemy:

$tg α = \frac{|D H|}{a \sqrt{2}}$

i przekształcając uzależniamy długość krawędzi bocznej graniastosłupa od $a$ i $α$ :

$|D H| = tg α \cdot a \sqrt{2}$

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $A D H$ wyznaczamy długość przekątnej $A H$ :

$a^{2} + {(tg α \cdot a \sqrt{2})}^{2} = {|A H|}^{2}$

$|A H| = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2} {tg}^{2} α} = a \sqrt{1 + 2 {tg}^{2} α}$

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $A B H$ wyznaczamy szukaną wartość:

$tg β = \frac{|A B|}{|A H|} = \frac{a}{a \sqrt{1 + 2 {tg}^{2} α}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 {tg}^{2} α}}$ .

Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka

R1aecJQsozUDl

W przeciwieństwie do wyżej opisanych kątów, kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym nie umieścimy w trójkącie prostokątnym, którego bokami byłyby odcinki leżące na ścianach graniastosłupa. Znajdziemy go natomiast w trójkącie równoramiennym $A C H$ . Trygonometrię w trójkącie dowolnym możemy stosować przy użyciu twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów.

{|A C|}^{2} = {|A H|}^{2} + {|C H|}^{2} - 2 |A H| |C H| \cos α

Oznaczając przez $a$ długość krawędzi podstawy, natomiast przez $h$ długość krawędzi bocznej, otrzymujemy z tw. Pitagorasa $|A H| = |C H| = \sqrt{a^{2} + h^{2}}$ . Podstawiając do tw. cosinusów mamy:

{(a \sqrt{2})}^{2} = {\sqrt{a^{2} + h^{2}}}^{2} + {\sqrt{a^{2} + h^{2}}}^{2} - 2 \sqrt{a^{2} + h^{2}} \sqrt{a^{2} + h^{2}} \cos α

2 a^{2} = a^{2} + h^{2} + a^{2} + h^{2} - 2 (a^{2} + h^{2}) \cos α

2 (a^{2} + h^{2}) \cos α = 2 h^{2}

\cos α = \frac{h^{2}}{a^{2} + h^{2}}

Zauważmy, że $\cos α > 0$ , a więc bez względu na wymiary graniastosłupa, kąt $α$ będzie zawsze kątem ostrym.

Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym dany jest kąt $α$ pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych taki, że $\sin α = \frac{3}{5}$ . Wiedząc, że krawędź boczna graniastosłupa ma długość $4 \sqrt{5}$ , obliczymy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

R107Fedaby2fs

Najpierw, znając $\sin α$ , przy pomocy jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos α$ :

${(\frac{3}{5})}^{2} + \cos^{2} α = 1$

$\cos α = \frac{4}{5}$

Korzystając z tw. cosinusów w trójkącie $A C H$ otrzymujemy:

${|A C|}^{2} = {|A H|}^{2} + {|C H|}^{2} - 2 |A H| |C H| \cos α$

${(a \sqrt{2})}^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x \cdot x \cdot \frac{4}{5}$

$2 a^{2} = \frac{2}{5} x^{2}$

$x = \sqrt{5} a$

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $C G H$ otrzymujemy:

${(4 \sqrt{5})}^{2} + a^{2} = {(\sqrt{5} a)}^{2}$

$80 + a^{2} = 5 a^{2}$

$a^{2} = 20$

$a = 2 \sqrt{5}$

Kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z jednego wierzchołka

R19h9wOkxnGg3

Kąt $α$ pomiędzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej występuje w trójkącie równoramiennym $A C H$ . Możemy więc, podobnie jak przy kącie między przekątnymi sąsiednich boków, korzystać z tw. cosinusów. Jednocześnie kąt $α$ występuje w trójkącie prostokątnym $C H P$ , gdzie $P$ jest punktem przecięcia przekątnych podstawy, który jednocześnie je połowi. Mamy więc do dyspozycji funkcje trygonometryczne:

\sin α = \frac{|H P|}{|H C|}

\cos α = \frac{|P C|}{|H C|}

tg α = \frac{|H P|}{|P C|}

Słownik

graniastosłup prosty

to graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami

twierdzenie Pitagorasa

jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

R1JFjExkrDAl8

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C z zaznaczonym kątem przy wierzchołku A. Zaznaczono również długości poszczególnych odcinków, odcinek A B o długości c, odcinek B C o długości a oraz odcinek A C o długości b.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$

jedynka trygonometryczna

to tożsamość trygonometryczna mówiąca, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa $1$ ; dla dowolnego kąta $α$ zachodzi: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

Wprowadzenie

Aplet

Wzory

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej

Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka

Kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z jednego wierzchołka

Słownik