Zapoznaj się z apletem, a następnie rozwiąż polecenia 2 i 3.
R1Sj5J8xtTaig
Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Slajd pierwszy, zaznaczono wszystkie przekątne bryły, A G, B H, C E, D F. Wszystkie mają długość i przecinają się w punkcie P. Slajd drugi, poprowadzono dwie przekątne B H i A H, przecinające się w punkcie P. Obie przekątne tworzą kąt alfa. Krawędź podstawy ma długość cztery natomiast krawędź boczna ma długość sześć. Slajd trzeci, rysunek z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A B G H. Obie te przekątne leżą w płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A B G H i wyznaczają prostokąt. Slajd czwarty, rysunek z poprzedniego slajdu. Obliczamy długość przekątnej graniastosłupa. . Slajd piąty, rysunek z poprzedniego slajdu, W trójkącie równoramiennym P G H o bokach pierwiastek z siedemnastu, pierwiastek z siedemnastu, cztery, zapisujemy twierdzenie cosinusów, a następnie wyznaczamy wartość cos alfa. Slajd szósty, rysunek z poprzedniego slajdu, , , , . Slajd siódmy, ilustracja ze slajdu drugiego, z tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać przybliżoną wartość kąta alfa. Najbardziej zbliżona wartość do naszego cosinusa to , a więc alfa równa się pięćdziesiąt osiem stopni. Slajd ósmy, ilustracja z pierwszego slajdu, W związku z tym, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat, taki sam kąt występuje pomiędzy każdą parą przekątnych wychodzących z sąsiednich wierzchołków, a więc B H i C E, C E i D F, D F i A G. Slajd dziewiąty, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono kąt beta pomiędzy przekątnymi E C i A G. Drugim przypadkiem jest kąt beta pomiędzy przekątnymi wychodzącymi z przeciwległych wierzchołków podstawy, na przykład A G i C E. Slajd dziesiątym, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A E G C. Obie przekątne leżą na płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A E G C i są przekątnymi prostokąta A E G C. Jednym z jego wymiarów jest długość przekątnej podstawy A C, czyli cztery pierwiastki z dwóch. Slajd jedenasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, z wcześniejszych obliczeń wiemy, że długość przekątnej graniastosłupa d jest równa dwa pierwiastki z siedemnastu. Wykorzystamy twierdzenie cosinusów w trójkącie P G E. Slajd dwunasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, , , , . Slajd trzynasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy wartość najbliższą obliczonej i odczytujemy miarę kąta beta. Beta równa się osiemdziesiąt siedem stopni. Slajd czternasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, taki sam kąt występuje pomiędzy drugą parą przekątnych B H i D F.
Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Slajd pierwszy, zaznaczono wszystkie przekątne bryły, A G, B H, C E, D F. Wszystkie mają długość i przecinają się w punkcie P. Slajd drugi, poprowadzono dwie przekątne B H i A H, przecinające się w punkcie P. Obie przekątne tworzą kąt alfa. Krawędź podstawy ma długość cztery natomiast krawędź boczna ma długość sześć. Slajd trzeci, rysunek z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A B G H. Obie te przekątne leżą w płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A B G H i wyznaczają prostokąt. Slajd czwarty, rysunek z poprzedniego slajdu. Obliczamy długość przekątnej graniastosłupa. . Slajd piąty, rysunek z poprzedniego slajdu, W trójkącie równoramiennym P G H o bokach pierwiastek z siedemnastu, pierwiastek z siedemnastu, cztery, zapisujemy twierdzenie cosinusów, a następnie wyznaczamy wartość cos alfa. Slajd szósty, rysunek z poprzedniego slajdu, , , , . Slajd siódmy, ilustracja ze slajdu drugiego, z tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać przybliżoną wartość kąta alfa. Najbardziej zbliżona wartość do naszego cosinusa to , a więc alfa równa się pięćdziesiąt osiem stopni. Slajd ósmy, ilustracja z pierwszego slajdu, W związku z tym, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat, taki sam kąt występuje pomiędzy każdą parą przekątnych wychodzących z sąsiednich wierzchołków, a więc B H i C E, C E i D F, D F i A G. Slajd dziewiąty, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono kąt beta pomiędzy przekątnymi E C i A G. Drugim przypadkiem jest kąt beta pomiędzy przekątnymi wychodzącymi z przeciwległych wierzchołków podstawy, na przykład A G i C E. Slajd dziesiątym, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A E G C. Obie przekątne leżą na płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A E G C i są przekątnymi prostokąta A E G C. Jednym z jego wymiarów jest długość przekątnej podstawy A C, czyli cztery pierwiastki z dwóch. Slajd jedenasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, z wcześniejszych obliczeń wiemy, że długość przekątnej graniastosłupa d jest równa dwa pierwiastki z siedemnastu. Wykorzystamy twierdzenie cosinusów w trójkącie P G E. Slajd dwunasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, , , , . Slajd trzynasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy wartość najbliższą obliczonej i odczytujemy miarę kąta beta. Beta równa się osiemdziesiąt siedem stopni. Slajd czternasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, taki sam kąt występuje pomiędzy drugą parą przekątnych B H i D F.
Oblicz cosinus kąta pomiędzy przekątnymi i graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że w podstawie jest kwadrat o polu , a suma długości wszystkich krawędzi wynosi .
R13XxwJ16f2Bw
Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D.
Pole podstawy wynosi , a więc krawędź podstawy ma długość . Ze wzoru na sumę długości wszystkich krawędzi w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wiemy, że , a więc długość krawędzi bocznej to .
RFigkllPFLVTY
Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną B H oraz przekątną A B. Obie przekątne przecinają się w punkcie P i tworzą kąt alfa. Odcinek A B ma długość sześć, natomiast odcinek G C ma długość osiem.
Przekątne i są przekątnymi prostokąta , więc są równej długości i przecinają się w połowie
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie otrzymujemy równanie:
Odp.: .
Polecenie 3
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne i przecinają się pod kątem takim, że . Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi . Oblicz długość krawędzi podstawy.
RyGNd9yFu4o6Q
Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D.
RwoXHmMEtGvSx
Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną B H oraz przekątną A B. Obie przekątne przecinają się w punkcie P i tworzą kąt beta. Odcinek A B ma długość sześć, natomiast odcinek G C ma długość osiem. Na ilustracji zaznaczono również przekątną A C oraz E G o długości a pierwiastków z dwóch.
Przez oznaczmy długość odcinka i równego mu . Wtedy z tw. cosinusów w trójkącie otrzymujemy:
Długość jest połową przekątnej graniastosłupa, a więc , zatem:
Wartości i są długościami, a więc są liczbami dodatnimi, zatem .
Wstawiając tę zależność do wzoru na sumę długości krawędzi otrzymujemy:
Odp. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi .