Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem, a następnie rozwiąż polecenia 2 i 3.

R1Sj5J8xtTaig
Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Slajd pierwszy, zaznaczono wszystkie przekątne bryły, A G, B H, C E, D F. Wszystkie mają długość d=2a2+h2 i przecinają się w punkcie P. Slajd drugi, poprowadzono dwie przekątne B H i A H, przecinające się w punkcie P. Obie przekątne tworzą kąt alfa. Krawędź podstawy ma długość cztery natomiast krawędź boczna ma długość sześć. Slajd trzeci, rysunek z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A B G H. Obie te przekątne leżą w płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A B G H i wyznaczają prostokąt. Slajd czwarty, rysunek z poprzedniego slajdu. Obliczamy długość przekątnej graniastosłupa. d=42+42+62=68=217. Slajd piąty, rysunek z poprzedniego slajdu, W trójkącie równoramiennym P G H o bokach pierwiastek z siedemnastu, pierwiastek z siedemnastu, cztery, zapisujemy twierdzenie cosinusów, a następnie wyznaczamy wartość cos alfa. Slajd szósty, rysunek z poprzedniego slajdu, 42=172+172-2·172+172·cosα, 16=17+17-2·17·cosα, 34cosα=18, cosα=9170,5294. Slajd siódmy, ilustracja ze slajdu drugiego, z tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać przybliżoną wartość kąta alfa. Najbardziej zbliżona wartość do naszego cosinusa to 0,5294, a więc alfa równa się pięćdziesiąt osiem stopni. Slajd ósmy, ilustracja z pierwszego slajdu, W związku z tym, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat, taki sam kąt występuje pomiędzy każdą parą przekątnych wychodzących z sąsiednich wierzchołków, a więc B H i C E, C E i D F, D F i A G. Slajd dziewiąty, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono kąt beta pomiędzy przekątnymi E C i A G. Drugim przypadkiem jest kąt beta pomiędzy przekątnymi wychodzącymi z przeciwległych wierzchołków podstawy, na przykład A G i C E. Slajd dziesiątym, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A E G C. Obie przekątne leżą na płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A E G C i są przekątnymi prostokąta A E G C. Jednym z jego wymiarów jest długość przekątnej podstawy A C, czyli cztery pierwiastki z dwóch. Slajd jedenasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, z wcześniejszych obliczeń wiemy, że długość przekątnej graniastosłupa d jest równa dwa pierwiastki z siedemnastu. Wykorzystamy twierdzenie cosinusów w trójkącie P G E. Slajd dwunasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, 422=172+172-2·172+172·cosβ, 32=17+17-2·17·cosβ, 34cosβ=2, cosβ=117=0,0588. Slajd trzynasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy wartość najbliższą obliczonej i odczytujemy miarę kąta beta. Beta równa się osiemdziesiąt siedem stopni. Slajd czternasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, taki sam kąt występuje pomiędzy drugą parą przekątnych B H i D F.
Polecenie 2

Oblicz cosinus kąta pomiędzy przekątnymi AGBH graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że w podstawie jest kwadrat o polu 36, a suma długości wszystkich krawędzi wynosi 80.

R13XxwJ16f2Bw
Polecenie 3

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne AGCE przecinają się pod kątem β takim, że cosβ=13. Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi 48. Oblicz długość krawędzi podstawy.

RyGNd9yFu4o6Q