RQ0ZxqQh4pfMI

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną B H o długości piętnaście oraz przekątną A H o długości cztery x. Odcinek A B ma długość trzy x, natomiast odcinek G C będący wysokością bryły ma długość h. Zaznaczono także kąt alfa pomiędzy przekątną bryły B H a odcinkiem A B.

Tangens kąta $\alpha$ to stosunek długości przyprostokątnej $AH$ na przeciw kąta do przyprostokątnej $AB$ przy kącie, zatem możemy je oznaczyć odpowiednio przez $4x$ i $3x$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABH$ otrzymujemy:

${\left(4x\right)}^2+{\left(3x\right)}^2={15}^2$

$x=3$.

Długość krawędzi podstawy wynosi $3x=9$, a długość przekątnej ściany bocznej to $4x=12$. Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $AEH$ mamy:

$9^2+h^2={12}^2$

$h=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$

Długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa wynosi $3\sqrt{7}$.

$\sin \alpha =\frac{\left|HP\right|}{\left|HC\right|}$

R1EBOKGAkwNHz

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną C H, przekątną A H oraz przekątną podstawy A C. Na rysunku zaznaczono również kąt alfa pomiędzy przekątną H C a przekątną A C. Powstał trójkąt równoramienny A C H. Z wierzchołka H upuszczono wysokość trójkąta H P, gdzie punkt P znajduje się na środku odcinaka A C. Zaznaczono również długości poszczególnych odcinków, odcinek A B ma długość dwa x oraz odcinek C G ma długość x.

Przez $x$ oznaczmy długość krawędzi bocznej graniastosłupa. Wtedy długość krawędzi wynosi $2x$ i z tw. Pitagorasa w trójkącie $CGH$ możemy wyznaczyć długość odcinka $HC$:

$x^2+{\left(2x\right)}^2={\left|HC\right|}^2$

$\left|HC\right|=\sqrt{5}x$

Przekątna podstawy ma długość $2x\sqrt{2}$, a więc $\left|CP\right|=\frac{\left|AC\right|}{2}=x\sqrt{2}$.

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie $PCH$ otrzymujemy:

${\left(x\sqrt{2}\right)}^2+{\left|HP\right|}^2={\left(\sqrt{5}x\right)}^2$

stąd

$\left|HP\right|=x\sqrt{3}$

A więc

$\sin \alpha =\frac{x\sqrt{3}}{x\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. Trójkąty $ADH$ oraz $CDH$ to trójkąty o kątach $30°$, $60°$, $90°$ (połowa trójkąta równobocznego), a więc $\left|DH\right|=a\sqrt{3}$, $\left|AH\right|=\left|CH\right|=2a$.

R1KTlY7ufNg0d

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną C H o długości dwa a, przekątną A H o długości dwa a oraz przekątną podstawy A C o długości a pierwiastków z dwóch. Na rysunku zaznaczono również kąt alfa pomiędzy przekątną H C a przekątną podstawy A H. Powstał trójkąt równoramienny A C H. W trójkącie zaznaczono również dwa kąty sześćdziesięciu stopni, pierwszy przy wierzchołku A oraz drugi przy wierzchołku C. A Zaznaczono również długości poszczególnych odcinków, odcinek A B ma długość a oraz odcinek G C ma długość a pierwiastków z trzech.

Przekątna kwadratowej podstawy ma długość $a\sqrt{2}$.

Zapisując twierdzenie cosinusów dla trójkąta $ACH$ otrzymujemy:

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2={\left(2a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2-2\cdot 2a\cdot 2a\cdot \cos \alpha$

$2a^2=4a^2+4a^2-8a^2\cos \alpha$

$8a^2\cos \alpha =6a^2$

$\cos \alpha =\frac{6a^2}{8a^2}=\frac{3}{4}$

Cosinus kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $\frac{3}{4}$.