Przykład 1

Obliczymy jak daleko od punktu podparcia musiałaby usiąść czteroletnia Julia ważąca 18 kg, aby mogła huśtać się ze słoniem ważącym 4,5 t. Spójrzmy na dane podane na poniższym rysunku.

R1DM9jbKtO8dp
Rozwiązanie

Dźwignia dwustronna pozostaje w równowadze, gdy spełniony jest warunek

RLJFqQgJ8GP0z

Q1·d1=Q2·d2

4,5 t=4500 kg

4500·2=18·x

9000=18·x

x=500

Odpowiedź

Julia musiałaby usiąść 500 m od punktu podparcia.

Zauważmy, że moglibyśmy zapisać dane z zadania w następujący sposób:

R1ElfAbBGlMmX

Mnożąć wierszami otrzymamy

4500·2=18·x

9000=18·x

x=500

Odpowiedź

Julia musiałaby usiąść 500 m od punktu podparcia.

Faktycznie, odległości od punktu podparcia będą odwrotnie proporcjonalne do  ciężarów ciał. Im większa odległość od punktu podparcia, tym mniejszy ciężar.

Proporcjonalność odwrotna
Definicja: Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi x, y, określoną wzorem

x·y=a,

gdzie a jest liczbą różną od zera.

O zmiennych x, y mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Ważne!

Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały. W zastosowaniach praktycznych zakładamy, że wielkosci odwrotnie proporcjonalne sa dodatnie.

Przykład 2

Julia pokonuje pieszo drogę do szkoły z prędkością 4 kmh w ciągu 30 min. Ile czasu zajęłoby Julce pokonanie takiej samej drogi, gdyby jechała na hulajnodze z prędkością 10 kmh?

Rozwiązanie

x – czas (w godzinach) pokonania drogi z domu do szkoły, gdyby Julka jechała hulajnogą.

R1SX1y9JC4ReZ

4·12=10·x, czyli x=15.

Przypomnijmy, że 15 h=1260 h=12 min.

Odpowiedź

Julia pokonałaby drogę do szkoły w ciągu 12 minut, gdyby jechała hulajnogą.

Na podstawie poniższej tabeli przedstawmy, w jaki sposób zmiana wartości prędkości wpływa na zmianę wartości czasu.

Zależność czasu od prędkości

Prędkość kmh

4

10

12

20

2

3

Czas h

0,5

0,2

16

0,1

1

23

Droga km

2

2

2

2

2

2

Przypomnijmy wzór:

s = v t

Zauważmy, że droga s jest wielkością stałą (nie zmienia się), czyli jej wartość jest współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej. Natomiast prędkość V i czas t są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Jeśli jedna wielkość maleje, to druga tyle samo rośnie.

W powyższym przykładzie: jeśli prędkość zwiększymy 2,5 raza, to czas przejazdu skróci się 2,5 raza.

4 kmh·2,5=4 kmh·52=10 kmh.

30 min:2,5=30 min·25=12 min.

Przypomnijmy rodzaje proporcjonalności:

  • proporcjonalność odwrotna.

Przeanalizujmy poniższe zadania z proporcjonalnością prostą i odwrotną, aby utrwalić i zapamiętać różnice między nimi występujące.

  • Cukiernik przygotowuje 2 torty, na które zużywa tuzin jajek. Następnie dostał zamówienie na kolejne 3 torty. Ile łącznie jajek zużyje?

  • Zapas składników na torty dla 80 porcji wystarczy na 6 dni. Na ile dni wystarczy tych zapasów, jeśli liczba porcji wzrośnie o 16 (zakładamy, że porcje tortu pozostają takie same)?

Przykład 3

Cukiernik przygotowuje 2 torty Pavlova, na które  zużywa tuzin jajek. Następnie dostał zamówienie na kolejne 3 tory Pavlova. Ile łącznie jajek zużyje?

R1HaNEgfUMbB1
Rozwiązanie

Tuzin to 12 sztuk.

Rkm7WOpYc7xpj

Ze wzrostem ilości tortów, wzrasta ilość jajek zużytych do wypieków. W danym przykładzie wielkości są wprost proporcjonalnea wprost proporcjonalnewprost proporcjonalne.

Mnożymy „na krzyż”, czyli

2·x=5·12, czyli x=30.

Odpowiedź

Łącznie cukiernik  zużył 30 jaj.

Przykład 4

Zapas składników na torty, z których można wykonać  80 porcji wystarczy na 6 dni. Na ile dni wystarczy tych zapasów, jeśli liczba porcji wzrośnie o 16 (zakładamy, że wielkość  porcji jest  taka sama)?

R7Q1MbyoaaAdL
Rozwiązanie
Rbwk1GVUoWeDC

Ze wzrostem ilości porcji, maleje ilość dni na jakie wystarczy zapasu składników.

Zatem wielkości są odwrotnie proporcjonalne.

Mnożymy „wierszami”, czyli

80·6=96·y, czyli y=5.

Odpowiedź

Na 5 dni wystarczy zapasów składników na torty, z których można wykonać   96 porcji.

Słownik

proporcjonalność prosta
proporcjonalność prosta

proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwiema wielkościami zmiennymi y, x, określoną wzorem

y=a·x,

gdzie a jest liczbą różną od zera, zwaną współczynnikiem proporcjonalności

wprost proporcjonalne
wprost proporcjonalne

jeśli dwie wielkości dodatnie zmieniają się w tym samym stosunku, to mówimy, że te dwie wielkości są wprost proporcjonalne