Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f\left(x\right)=a_{1}x+b_1$ oraz $g\left(x\right)=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe, gdy zachodzi warunek:

Na rysunku przedstawiono proste, będące wykresami funkcji liniowych, które są prostopadłe. Wyznaczymy wzory tych funkcji.

R1Hk2tJIIajem

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X od minus trzech do siedmiu i pionową Y od minus trzech do sześciu . Zaznaczono dwie proste przecinające się w pierwszej ćwiartce pod kątem prostym.

Rozwiązanie:

Do prostej, będącej wykresem funkcji liniowej $f$ należą punkty o współrzędnych $\left(0,3\right)$ oraz $\left(5,2\right)$.

Jeżeli $f\left(x\right)=ax+b$, to do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}3=a·0+b\\ 2=a·5+b\end{array}\right.$.

Wobec tego $a=-\frac{1}{5}$ oraz $b=3$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{5}x+3$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są prostopadłe, zatem funkcję $g$ zapisujemy wzorem $g\left(x\right)=5x+b$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem tej funkcji przecina oś rzędnych w punkcie $\left(0,-2\right)$, zatem $b=-2$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=5x-2$.

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_1\left(x\right)=\frac{3}{5}x-2$, $f_2\left(x\right)=\frac{1}{3}x+1$, $f_3\left(x\right)=\frac{2}{9}x-3$, $f_4\left(x\right)=-4,5x+1$, $f_5\left(x\right)=-3x+1$, $f_6\left(x\right)=-\frac{5}{3}x+2$.

Wypiszemy pary funkcji liniowych, których wykresy są prostymi prostopadłymi.

Rozwiązanie:

Funkcje liniowe, których wykresy są prostymi prostopadłymi: $f_1$ i $f_6$, $f_2$ i $f_5$, $f_3$ i $f_4$.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $g$, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=-3x-1$, a do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$.

Rozwiązanie:

Określimy  funkcję $g$ wzorem $g\left(x\right)=ax+b$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $g$ jest prostopadła do prostej, będącej wykresem funkcji $f$, to $a=\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji $g$ zapisujemy w postaci $g\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$-3=\frac{1}{3}·1+b$, wobec tego $b=-\frac{10}{3}$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$.

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji określonych wzorami $f\left(x\right)=-2x+4$ oraz $g\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}m+3\right)x-1$ są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste, będące wykresami funkcji liniowych to proste prostopadłeproste prostopadłeproste prostopadłe, gdy współczynniki $a$ w ich wzorach są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi:

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2}m+3=\frac{1}{2}$, wobec tego $m=-5$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$, $g$, $h$, $k$ na poniższym rysunku przecięły się w punktach $A$, $B$, $C$ i $D$ i utworzyły prostokąt $ABCD$.

R1E5bJfuhDDsq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X od minus pięciu do pięciu i pionową Y od minus pięciu do sześciu . Zaznaczono cztery proste przecinające się pod kątem prostym. Punkt A utworzony został z przecięcia prostej f i h w trzeciej ćwiartce. Punkt B utworzony został z przecięcia prostej g i h w czwartej ćwiartce. Punkt C powstał z przecięcia prostej g i k w pierwszej ćwiartce. Punkt D powstał z przecięcia prostej k i f w drugiej ćwiartce. Proste k i h oraz f i g są równoległe względem siebie.

Wyznaczymy wzory tych funkcji.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Niech $f\left(x\right)=ax+b$.

Z wykresu tej funkcji możemy odczytać, że należą do niego punkty o współrzędnych $\left(-1,-3\right)$ oraz $\left(0,-6\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}-6=a·0+b\\ -3=a·\left(-1\right)+b\end{array}\right.$.

Zatem $a=-3$ oraz $b=-6$.

Funkcja $f$ wyraża się wzorem $f\left(x\right)=-3x-6$.

Wyznaczymy wzór funkcji $h$.

Niech $h\left(x\right)=ax+b$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $h$ są prostopadłe, zatem $a=\frac{1}{3}$.

Wobec tego $h\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$.

Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(3,-1\right)$, zatem do wyznaczenia $b$ rozwiązujemy równanie:

$-1=\frac{1}{3}·3+b$, wobec tego $b=-2$.

Funkcja $h$ wyraża się wzorem $h\left(x\right)=\frac{1}{3}x-2$.

Wyznaczymy wzór funkcji $g$.

Niech $g\left(x\right)=ax+b$.

Proste, będące wykresami funkcji $g$ i $h$ są prostopadłe, zatem $a=-3$.

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $g\left(x\right)=-3x+b$.

Ponieważ do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(2,-3\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$-3=-3·2+b$, wobec tego $b=3$.

Funkcja $g$ wyraża się wzorem $g\left(x\right)=-3x+3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $k$.

Niech $k\left(x\right)=ax+b$.

Proste, będące wykresami funkcji $g$ i $k$ są prostopadłe, zatem $a=\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $k\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$.

Ponieważ do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(3,3\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$3=\frac{1}{3}·3+b$, wobec tego $b=2$.

Funkcja $k$ wyraża się wzorem $k\left(x\right)=\frac{1}{3}x+2$.

Wykażemy, że jeśli proste, będące wykresami funkcji liniowych $f$ i $g$ określonych wzorami $f\left(x\right)=ax$ oraz $g\left(x\right)=-ax$ są prostymi prostopadłymi, to $a=1$ lub $a=-1$.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste, które są wykresami funkcji liniowych, są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi.

Zauważmy, że współczynniki liniowe prostych będących wykresami funkcji liniowych $f$ i $g$ wynoszą odpowiednio: $a$ oraz $-a$.

Z warunku prostopadłości tych prostych układamy i rozwiązujemy równanie:

$a·(-a)=-1$

$a^2=1$

Zatem $a=1$ lub $a=-1$.

wykresy funkcji liniowych, określonych wzorami, w których współczynniki kierunkowe  są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi