Miarą łukową kąta $\alpha$ nazywamy stosunek długości łuku $l$ do długości promienia $r$, zatem $\alpha =\frac{l}{r}$.

RmtxswiYy9QUW

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych na którym oś X ograniczona jest od $-4$ do $4$, natomiast oś Y ograniczona jest od $-3$ do <math">3. Narysowano okrąg o promieniu $3$, tak że środek okręgu znajduje się w początku układu współrzędnych oraz wpisano kąt ostry o kącie alfa w okrąg, w taki sposób, że wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnym. Jedno z ramion kąta ostrego idzie równo z dodatnią osią X, natomiast drugie ramię przecina się z kołem mniej więcej w punkcie $\left(2;2\right)$. Łuk, który powstał z przecięcia się okręgu z ramionami kąta oznaczono kolorem zielonym oraz literą $l$.

Miary łukowe podanych kątów wynoszą:

$90°=\frac{\pi }{2}$,

$45°=\frac{\pi }{4}$,

$30°=\frac{\pi }{6}$,

$360°=2\pi$.

Zamienimy kąt o mierze $225°$ na miarę łukową.

Mamy zatem: $225°=\frac{225°}{180°}\pi =\frac{5}{4}\pi$.

Zamienimy kąt o mierze $\frac{7}{8}\pi$ na miarę stopniową.

Wykorzystując wzór na zamianę, otrzymujemy : $\frac{7}{8}\pi =\frac{7}{8}\pi ·\frac{180°}{\pi }=157,5°$.

Przedstawimy kąt $315°$ w radianach.

Układamy proporcję:

$315°-x$

$180°-\pi$

Z proporcji otrzymujemy, że $x=\frac{315°·\pi }{180°}=\frac{7}{4}\pi$.

Miary dwóch kątów w trójkącie wynoszą $\frac{\pi }{12}$ i $\frac{\pi }{15}$. Wyznaczymy miarę trzeciego kąta, wynik podamy w stopniach.

Wiadomo, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi $180°=\pi$.

Zatem trzeci kąt ma miarę $\pi -\left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{15}\right)=\frac{51}{60}\pi$.

Po zamianie miary łukowej na stopniową otrzymujemy:

$\frac{51}{60}\pi =153°$.

Podamy w radianach i stopniach miary kątów w trójkącie prostokątnym $ABC$, jeżeli długość łuku $AD$ wynosi $\frac{4}{9}\pi$, a bok $AB$ ma długość $2$.

R1L0PZJ1dLW7x

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny $ABC$, punkt $A$ znajduje się przy kącie prostym. Poprowadzono łuk okręgu o środku w punkcie $B$ z punktu $A$, aż do przeciwprostokątnej trójkąta. Łuk okręgu przecina przeciwprostokątną trójkąta w punkcie $D$. Obszar trójkąta, który leży poza wyznaczonym łukiem został pomalowany kolorem różowym.

Oznaczmy $\alpha$ jako miarę kąta $ABC$.

Do wyznaczenia miary kąta wykorzystamy wzór na długość łuku $l=\frac{\alpha }{360°}·2\pi r$.

Podstawiamy dane $l=\frac{4}{9}\pi$ oraz $r=2$ i otrzymujemy równanie:

$\frac{4}{9}\pi =\frac{\alpha }{360°}·2\pi ·2$.

Zatem $\alpha =40°$.

Miary kątów w stopniach i radianach w tym trójkącie wynoszą odpowiednio:

$40°=\frac{2}{9}\pi$,

$50°=\frac{5}{18}\pi$,

$90°=\frac{1}{2}\pi$.

stosunek długości łuku do długości promienia

jednostka miary łukowej kąta