Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Miara łukowa kąta, zgodna z układem SI, jest najczęściej stosowaną miarą kąta w fizyce i większości nauk technicznych.

Już wiesz

Długość łuku w okręgu o promieniu r i kącie rozwarcia α obliczamy ze wzoru l=α360°·2πr.

Miara łukowa kąta
Definicja: Miara łukowa kąta

Miarą łukową kąta α nazywamy stosunek długości łuku l do długości promienia r, zatem α=lr.

RmtxswiYy9QUW
Ważne!

Miara łukowa kątamiara łukowa kątaMiara łukowa kąta nie zależy od długości promienia, ponieważ długość łuku jest proporcjonalna do długości promienia.

Jednostką miary łukowej jest radianradianradian (w skrócie zapisujemy: rad). Oznaczenie rad będziemy pomijać.

Miarę kąta podajemy również w stopniach.

Jeżeli kąt pełny podzielimy na 360 równych części, to otrzymamy miarę kąta jednostkowego w mierze stopniowej, którą nazywamy stopniem, co zapisujemy jako 1°.

Ważne!

Miara stopniowa kąta opiera się na systemie sześćdziesiątkowym (1°=60'), zaś miara łukowa kąta opiera się na systemie dziesiętnym.

Przykład 1

Miary łukowe podanych kątów wynoszą:

90°=π2,

45°=π4,

30°=π6,

360°=2π.

Ważne!

Związek między miarą stopniową, a łukową kąta wyznacza zależność: 180°=π rad.

Jeżeli przez r oznaczymy miarę łukową kąta w radianach, zaś α jako miarę kąta wyznaczoną w stopniach, to:

  • przy zamianie miary stopniowej na łukową zastosujemy wzór: r=α180°·π,

  • przy zamianie miary łukowej na stopniową zastosujemy wzór: α=180°π·r.

Przykład 2

Zamienimy kąt o mierze 225° na miarę łukową.

Mamy zatem: 225°=225°180°π=54π.

Przykład 3

Zamienimy kąt o mierze 78π na miarę stopniową.

Wykorzystując wzór na zamianę, otrzymujemy : 78π=78π·180°π=157,5°.

Ważne!

Miarę łukową możemy zamienić na stopniową i odwrotnie bez użycia wzorów, za pomocą proporcji.

Przykład 4

Przedstawimy kąt 315° w radianach.

Układamy proporcję:

315°-x

180°-π

Z proporcji otrzymujemy, że x=315°·π180°=74π.

Przykład 5

Miary dwóch kątów w trójkącie wynoszą π12π15. Wyznaczymy miarę trzeciego kąta, wynik podamy w stopniach.

Wiadomo, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie wynosi 180°=π.

Zatem trzeci kąt ma miarę π-π12+π15=5160π.

Po zamianie miary łukowej na stopniową otrzymujemy:

5160π=153°.

Przykład 6

Podamy w radianach i stopniach miary kątów w trójkącie prostokątnym ABC, jeżeli długość łuku AD wynosi 49π, a bok AB ma długość 2.

R1L0PZJ1dLW7x

Oznaczmy α jako miarę kąta ABC.

Do wyznaczenia miary kąta wykorzystamy wzór na długość łuku l=α360°·2πr.

Podstawiamy dane l=49π oraz r=2 i otrzymujemy równanie:

49π=α360°·2π·2.

Zatem α=40°.

Miary kątów w stopniach i radianach w tym trójkącie wynoszą odpowiednio:

40°=29π,

50°=518π,

90°=12π.

Słownik

miara łukowa kąta
miara łukowa kąta

stosunek długości łuku do długości promienia

radian
radian

jednostka miary łukowej kąta