Przeczytaj

Spójrzmy na poniższy rysunek.

R1KrGIaexgwnc

Ilustracja przedstawia kwadrat, który podzielono na dwa mniejsze kwadraty i dwa prostokąty w następujący sposób: do prawego boku kwadratu o boku a przylega prostokąt o długości boków a oraz b. Do dolnego boku kwadratu o długości boku a również przylega prostokąt o długości boków a oraz b. Do dolnego boku prostokąta znajdującego się obok kwadratu o boku a oraz do prawego boku prostokąta znajdującego się pod kwadratem o boku a przylega kwadrat o boku b.

Pole dużego kwadratu (o zielonych bokach) jest równe:

P = {(a + b)}^{2}

Jednocześnie jest ono równe sumie pól dwóch kwadratów (o bokach $a$ oraz $b$ ) i dwóch prostokątów (o wymiarach $a \times b$ ), więc:

P = a^{2} + 2 a b + b^{2}

A zatem zachodzi równość:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Powyższa równość jest prawdziwa także wtedy, gdy zamiast $b$ podstawimy $- b$ , co prowadzi do twierdzenia, które warto znać na pamięć.

o kwadracie sumy (różnicy) dwóch wyrażeń

Twierdzenie: o kwadracie sumy (różnicy) dwóch wyrażeń

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwe są wzory:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Uwaga!
Pierwszy ze wzorów nazywa się wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy, a drugi - wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicykwadrat różnicy.

Przykład 1

${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

${(2 - y)}^{2} = 4 - 4 y + y^{2}$

Przykład 2

Geometryczna interpretacja wzoru: ${(x + 3)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ przedstawiona jest na rysunku poniżej.

RHehoKYAPDQ5m

Ilustracja przedstawia kwadrat, który podzielono na dwa mniejsze kwadraty i dwa prostokąty w następujący sposób: do prawego boku kwadratu o powierzchni x2 a przylega prostokąt o powierzchni 3x. Do dolnego boku kwadratu o powierzchni x2 również przylega prostokąt o powierzchni 3x. Do dolnego boku prostokąta znajdującego się obok kwadratu o boku a oraz do prawego boku prostokąta znajdującego się pod kwadratem o boku a przylega kwadrat o powierzchni dziewięć.

Przykład 3

Aby obliczyć w pamięci $102^{2}$ , podstawiamy do wzoru na kwadrat sumykwadrat sumy $a = 100$ i $b = 2$ .

Wtedy:

$102^{2} = {(100 + 2)}^{2} = 10000 + 400 + 4 = 10404$ .

Zajmiemy się teraz trzecim ze wzorów skróconego mnożenia.

o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Twierdzenie: o różnicy kwadratów dwóch wyrażeń

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ zachodzi wzór:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Dowód

Wystarczy zauważyć, że:

(a + b) (a - b) = a (a - b) + b (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2} = a^{2} - b^{2}

Uwaga!
Wyprowadzony wzór nazywa się wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Wzór ten ma także odpowiednią interpretację geometryczną.
Aby ją poznać, obliczymy na dwa sposoby pole $P$ zielonej figury prezentowanej na rysunku poniżej.

RnE6uVdtbhxQK

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a, w którego prawym dolnym rogu wycięto narożnik w kształcie kwadratu o boku b.

Zielona figura powstaje z dużego kwadratu o boku $a$ przez odcięcie małego kwadratu o boku $b$ , więc:

P = a^{2} - b^{2}

Zieloną figurę można też rozciąć na dwa prostokąty, z których da się złożyć prostokąt o bokach $a + b$ oraz $a - b$ .
Dzielimy ją wzdłuż linii przerywanej, jak na poniższym rysunku.

Rp06eraVpESF3

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a, w którego prawym dolnym rogu wycięto narożnik w kształcie kwadratu o boku b. Pionowy bok kwadratu o boku b wydłużono linią przerywaną, która podzieliła poziomy bok kwadratu na dwa odcinki: a-b oraz b. Kwadrat o boku b wycięty z narożnika większego kwadratu, dzieli również pionowy bok kwadratu na odcinki: b oraz a-b.

Jeżeli teraz dwa zielone prostokąty, otrzymane w wyniku proponowanego cięcia:
mniejszy prostokąt, o wymiarach $b \times (a - b)$ ,
oraz większy prostokąt, o wymiarach $a \times (a - b)$
skleimy bokiem o długości $a - b$ , to otrzymamy zielony prostokąt o wymiarach $(a + b) \times (a - b)$ :

RnKDnyhDGaj1v

A zatem prawdziwa jest także równość:

P = (a + b) (a - b)

W ten sposób powyższe twierdzenie udowodniliśmy także geometrycznie.

Ze wzoru na różnicę kwadratówróżnicę kwadratów możemy korzystać „w obydwie strony”. Stosując go od strony lewej do prawej, pozbywamy się nawiasów w iloczynie sumy i różnicy.

Przykład 4

$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ oraz $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ .

Przykład 5

Wykażemy, że liczba $(\sqrt{11} - 3) (\sqrt{11} + 3)$ jest całkowita.

Ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

$(\sqrt{11} - 3) (\sqrt{11} + 3) = {\sqrt{11}}^{2} - 3^{2} = 11 - 9 = 2$ ,

a więc liczba $(\sqrt{11} - 3) (\sqrt{11} + 3)$ jest całkowita.

Przykład 6

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratówróżnicę kwadratów, pozbędziemy się niewymierności w mianowniku liczby $\frac{6}{\sqrt{11} - 3}$ .

Zauważmy, że przydatny będzie wynik otrzymany w przykładzie $5$ .
Możemy – wykorzystując wzór skróconego mnożenia – rozszerzyć zadany ułamek tak, aby otrzymać w mianowniku liczbę wymierną.

Pomnóżmy licznik i mianownik zadanego ułamka przez $\sqrt{11} + 3$ . Otrzymamy wtedy:

$\frac{6}{\sqrt{11} - 3} = \frac{6 \cdot (\sqrt{11} + 3)}{(\sqrt{11} - 3) \cdot (\sqrt{11} + 3)} = \frac{6 \cdot (\sqrt{11} + 3)}{2} = 3 \cdot (\sqrt{11} + 3)$

Ważne!

Zauważmy, że $3 \cdot (\sqrt{11} + 3) = 3 \sqrt{11} + 9 = \sqrt{9 \cdot 11} + 9 = \sqrt{99} + 9 \in (18, 19)$ ,

a więc bez trudu możemy oszacować sumę $3 \cdot (\sqrt{11} + 3)$ z dokładnością do całości.

Używając prostego kalkulatora sprawdzimy też, że $3 (\sqrt{11} + 3) = \sqrt{99} + 9 = 18.94987437 \dots$ .

Natomiast oszacowanie tej samej liczby, ale zapisanej jako $\frac{6}{\sqrt{11} - 3}$ nie jest już takie wygodne.

Powyższa umiejętność, czyli usuwanie niewymierności z mianownika, okaże się przydatna w wielu zastosowaniach.

Stosowanie wzoru od strony prawej do lewej pozwala przedstawiać różnicę kwadratówróżnicę kwadratów w postaci iloczynu sumy i różnicy.

Przykład 7

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

oraz

$x^{2} - 25 = (x + 5) (x - 5)$ .

Przykład 8

Obliczymy w pamięci różnicę $996^{2} - 4^{2}$ . Otrzymujemy: $996^{2} - 4^{2} = (996 - 4) (996 + 4) = 992 \cdot 1000$ ,

więc różnica ta jest równa $992 000$ .

Przykład 9

Wykażemy, że różnica $245^{2} - 155^{2}$ dzieli się przez $9000$ . Ponieważ: $245^{2} - 155^{2} = (245 - 155) (245 + 155) = 90 \cdot 400 = 9000 \cdot 4$ ,

więc różnica ta jest podzielna przez $9000$ .

Przykład 10

Wykażemy, że każda z liczb:

$a = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - 2 \sqrt{5}$ oraz $b = 7 \sqrt{2} + \frac{84}{5 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{7}} - 5 \sqrt{14} - 6 \sqrt{7}$

jest całkowita.

Liczbę $a$ przekształcimy dwoma sposobami.

$I$ sposób: usuniemy niewymierności występujące w mianownikach ułamków zapisanych w podanych wyrażeniach.

$a = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - 2 \sqrt{5} = \frac{8 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1) \cdot (\sqrt{5} + 1)} - 2 \sqrt{5} = \frac{8 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} - 2 \sqrt{5} =$

$= \frac{8 \cdot (\sqrt{5} + 1)}{4} - 2 \sqrt{5} = 2 (\sqrt{5} + 1) - 2 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} + 2 - 2 \sqrt{5} = 2$ ,

zatem $a$ jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

$I I$ sposób: sprowadzimy wyrażenia do wspólnego mianownika.

$a = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - 2 \sqrt{5} = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \frac{8 - 2 \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1} =$

$= \frac{8 - 2 \cdot 5 + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2 \sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2 (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} - 1)} = 2$ ,

czyli $a$ jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

W przypadku liczby $b$ najpierw usuniemy niewymierność z mianownika ułamka $\frac{84}{5 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{7}}$ .

Zauważmy, że

$\frac{84}{5 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{7}} = \frac{84}{\sqrt{25} - \sqrt{18} + \sqrt{7}} = \frac{84 \cdot (\sqrt{25} + (\sqrt{18} - \sqrt{7}))}{(\sqrt{25} - (\sqrt{18} - \sqrt{7})) \cdot (\sqrt{25} + (\sqrt{18} - \sqrt{7}))} =$

$= \frac{84 \cdot (5 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{7})}{{\sqrt{25}}^{2} - {(\sqrt{18} - \sqrt{7})}^{2}} = \frac{84 \cdot (5 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{7})}{25 - ({\sqrt{18}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2})} = \frac{84 \cdot (5 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{7})}{25 - (25 - 6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7})} =$

$= \frac{6 \cdot 14 \cdot (5 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{7})}{25 - 25 + 6 \sqrt{14}} = \frac{6 \cdot {\sqrt{14}}^{2} \cdot (5 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{7})}{6 \sqrt{14}} = \sqrt{14} \cdot (5 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{7}) =$

$= 5 \sqrt{14} + 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{14} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{14} = 5 \sqrt{14} + 6 \sqrt{7} - 7 \sqrt{2}$ .

Oznacza to, że $b = 7 \sqrt{2} + (5 \sqrt{14} + 6 \sqrt{7} - 7 \sqrt{2}) - 5 \sqrt{14} - 6 \sqrt{7} = 0$ , a więc $b$ jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

Przykład 11

Wykażemy, że każda z liczb:

$x = \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}} + \sqrt{17 - 12 \sqrt{2}}$ oraz $y = \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5}$

jest całkowita.

Liczbę $x$ przekształcimy dwoma sposobami.

$I$ sposób. Zauważmy, że $17 - 12 \sqrt{2} = \sqrt{289} - \sqrt{288} > 0$ , a więc $x > 0$ , jako suma dwóch liczb dodatnich.

Obliczymy $x^{2}$ , korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$x^{2} = {(\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}} + \sqrt{17 - 12 \sqrt{2}})}^{2} =$

$= {\sqrt{17 + 12 \sqrt{2}}}^{2} + 2 \cdot \sqrt{17 + 12 \sqrt{2}} \cdot \sqrt{17 - 12 \sqrt{2}} + {\sqrt{17 - 12 \sqrt{2}}}^{2} =$

$= 17 + 12 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{(17 + 12 \sqrt{2}) \cdot (17 - 12 \sqrt{2})} + 17 - 12 \sqrt{2} =$

$= 34 + 2 \cdot \sqrt{17^{2} - {(12 \sqrt{2})}^{2}} = 34 + 2 \cdot \sqrt{289 - 288} = 36$ .

Zatem $x = \sqrt{36} = 6$ , a to jest liczba całkowita. Koniec dowodu.

$I I$ sposób.

Zauważmy, że

$17 \pm 12 \sqrt{2} = 17 \pm 2 \cdot (6 \sqrt{2}) = (3^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}) \pm 2 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{2} = {(3 \pm 2 \sqrt{2})}^{2}$ ,

skąd

$x = \sqrt{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{2}} + \sqrt{{(3 - 2 \sqrt{2})}^{2}} = |3 + 2 \sqrt{2}| + |3 - 2 \sqrt{2}| =$

$= 3 + 2 \sqrt{2} + 3 - 2 \sqrt{2} = 6$ , a więc $x$ jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

W przypadku liczby $y$ skorzystamy z pomysłu przedstawionego powyżej w $II$ sposobie rozwiązania.

Ponieważ $14 - 6 \sqrt{5} = 14 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = (3^{2} + {\sqrt{5}}^{2}) - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = {(3 - \sqrt{5})}^{2}$ oraz $3 - \sqrt{5} > 0$ , więc

$y = \sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt{5} = (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} = 3$ , a to oznacza, że $y$ jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , prawdziwy dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , prawdziwy dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$

wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , prawdziwy dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik