Slajd pierwszy przedstawia zadanie pierwsze o treści: oblicz w pamięci ${497}^2$. Slajd drugi przedstawia początek rozwiązania: Obliczamy korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy, który brzmi następująco: ${\left(a-b\right)}^2$. Slajd trzeci przedstawia kontynuację rozwiązania zadania pierwszego: ${497}^2={\left(500-3\right)}^2=250000-3000+9=247009$. Slajd czwarty przedstawia odpowiedź na zadanie pierwsze, brzmi ona: ${497}^2=247009$. Slajd piąty przedstawia zadanie drugie o treści: Uprość wyrażenie: ${\left(x+3\right)}^2-{\left(x-3\right)}^2$. Slajd szósty przedstawia początek rozwiązania zadania drugiego: ${\left(x+3\right)}^2-{\left(x-3\right)}^2=$, na slajdzie tym znajduje się przypomnienie dwóch następujących wzorów skróconego mnożenia: ${\left(a+b\right)}^2$ oraz ${\left(a-b\right)}^2$. Slajd siódmy przedstawia kontynuację zadania drugiego: ${\left(x+3\right)}^2-{\left(x-3\right)}^2=x^2+6x+9-\left(x^2-6x+9\right)=12x$. Slajd ósmy zawiera odpowiedź na zadanie drugie, która jest następująca: ${\left(x+3\right)}^2-{\left(x-3\right)}^2=12x$. Slajd dziewiąty zawiera treść zadania trzeciego: Wykaż, że różnica ${1333}^2-{333}^2$ dzieli się przez dwa tysiące. Slajd dziesiąty zawiera początek rozwiązania zadania trzeciego, mamy: ${1333}^2-{333}^2=\left(1333-333\right)\left(1333+333\right)=$. Slajd jedenasty zawiera kontynuację zadania trzeciego: ${1333}^2-{333}^2=\left(1333-333\right)\left(1333+333\right)=1000\cdot 1666$. Slajd dwunasty zawiera odpowiedź do zadania trzeciego: Rozważana liczba jest iloczynem liczby parzystej oraz liczby 1000, zatem dzieli się przez dwa tysiące. Slajd jedenasty przedstawia treść zadania czwartego: Rozpatrzymy liczbę a, w której zapisie dziesiętnym pierwsza cyfra to 4, kolejne n minus jeden cyfr to zera, dalej jest cyfra 1, potem cyfra dwa, dalej n zer i ostatnią cyfrą jest 9, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą. Slajd dwunasty przedstawia początek rozwiązania zadania czwartego: wykażemy, że liczba $\sqrt{a}$ jest liczbą całkowitą i zapiszemy liczbę a w postaci sumy. Slajd trzynasty przedstawia następujące obliczenia: a równa się 4 n minus jeden zer 1 2 n zer 9 równa się 4 n minus jeden zer 0 0 n zer 0 dodać 1 2 n zer dodać dziewięć, równa się 4 n minus jeden plus dwa plus n plus 1 zer dodać, 1 2 n plus jeden zer dodać dziewięć równa się 4 dwa n plus dwa zer dodać 1 2 n plus 1 zer dodać dziewięć równa się 4 razy $4\cdot {10}^{2n+2}+12\cdot {10}^{n+1}+9$. Slajd czternasty przedstawia kontynuację zadania czwartego, gdzie widnieje następujący zapis: $a=2^2\cdot {\left({10}^{n+1}\right)}^2+2\cdot 2\cdot {10}^{n+1}\cdot 3+3^2=$ Slajd piętnasty zawiera kontynuację tego zapisu: $={\left(2\cdot {10}^{n+1}\right)}^2+2\cdot 2\cdot {10}^{n+1}\cdot 3+3^2=$. Slajd szesnasty zawiera wynik tych rozważań, który jest następujący: $={\left(2\cdot {10}^{n+1}+3\right)}^2$. Slajd siedemnasty przedstawia wynik spierwiastkowania liczby a: $\sqrt{a}=\sqrt{{\left(2\cdot {10}^{n+1}+3\right)}^2}=2\cdot {10}^{n+1}+3$. Slajd osiemnasty: liczba $2\cdot {10}^{n+1}+3$ jest całkowita, dowód został więc zakończony. Slajd dziewiętnasty: zauważmy, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n w rozwinięciu dziesiętnym liczby $\sqrt{a}$ pierwszą cyfrą jest 2 po niej jest n zer a po zerach jest jeszcze liczba trzy. Slajd dwudziesty przedstawia zadanie piąte o treści: znajdziemy rozkład liczby $x=3^{16}-2^{20}$ na czynniki pierwsze. Slajd dwudziesty pierwszy przedstawia początek rozwiązania zadania piątego: $3^{16}=3^{8\cdot 2}={\left(3^8\right)}^2$ oraz $2^{20}=2^{10\cdot 2}={\left(2^{10}\right)}^2$. Slajd dwudziesty drugi zawiera kontynuację zadania piątego, gdzie korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów możemy zapisać $x=3^{16}-2^{20}={\left(3^8\right)}^2-{\left(2^{10}\right)}^2=\left(3^8-2^{10}\right)\cdot \left(3^8+2^{10}\right)$. Slajd dwudziesty trzeci zawiera kontynuację zadania piątego, zauważmy, że $3^8=3^{4\cdot 2}={\left(3^4\right)}^2$ oraz $2^{10}=2^{5\cdot 2}={\left(2^5\right)}^2$. Zatem $3^8-2^{10}={\left(3^4\right)}^2-{\left(2^5\right)}^2=\left(3^4-2^5\right)\cdot \left(3^4+2^5\right)=\left(81-32\right)\cdot \left(81+32\right)=49\cdot 113=7^2\cdot 113$. Slajd dwudziesty czwarty zawiera kontynuację przykładu piątego: liczba 7 jest jak wiemy liczbą pierwszą, sprawdzamy czy liczba 113 ma dzielnik pierwszy d większy od 1 i mniejszy od 113, wystarczy w tym celu sprawdzić wszystkie liczby d mniejsze od 11, $d\le \sqrt{113}<\sqrt{121}=11$. Slajd dwudziesty piaty przedstawia kontynuację zadania piątego, znajdują się tu następujące obliczenia: $113=2\cdot 56+1$, $113=3\cdot 37+2$, $113=5\cdot 22+3$, $113=7\cdot 16+1$. 113 nie dzieli się przez żadną z takich liczb d, to znaczy, ze d nie jest równe ani 2 ani 3 ani 5 ani siedem, oznacza to, że 113 jest liczbą pierwszą. Slajd dwudziesty szósty zawiera kontynuację zadania piątego, pozostaje rozłożyć na czynniki pierwsze sumę $\left(3^8+2^{10}\right)$. Mamy zatem: $3^8+2^{10}=3^8+2^2\cdot 2^8=3^8+4\cdot 2^8=3^8+4\cdot 2^8={\left(3^2\right)}^4+4\cdot {\left(2^2\right)}^4$. Slajd dwudziesty siódmy również zawiera kontynuację zadania piątego, pokażemy na nim jak wykorzystać wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicę kwadratów do zapisania wyrażenia $a^4+4b^4$ w postaci niestałych czynników. Slajd dwudziesty ósmy również zawiera kontynuację zadania piątego: Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy: $a^4+4b^4={\left(a^2\right)}^2+{\left(2b^2\right)}^2={\left(a^2\right)}^2+{\left(2b^2\right)}^2+2\cdot a^2\cdot 2b^2-2\cdot a^2\cdot 2b^2=$ Slajd dwudziesty dziewiąty również zawiera kontynuację zadania piątego, teraz wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $=\left({\left(a^2\right)}^2+2\cdot a^2\cdot 2b^2+{\left(2b^2\right)}^2\right)-4a^2{b}^2=a\left({}^2+2b^2\right)-{\left(2ab\right)}^2=\left(a^2+2b^2-2ab\right)\left(a^2+2b^2+2ab\right)$. Slajd trzydziesty zawiera kontynuację zadania piątego, znajduje się tu równość zwana tożsamością Sophie Germain, która prezentuje się następująco: $a^4+4b^4=\left(a^2+2b^2-2ab\right)\left(a^2+2b^2+2ab\right)$. Slajd trzydziesty pierwszy zawiera kontynuację zadania piątego, jeżeli przyjmiemy, że $a=3^2$ oraz $b=2^2$ to dostaniemy wówczas: ${\left(3^2\right)}^4+4\cdot {\left(2^2\right)}^4=\left({\left(3^2\right)}^2+2\cdot {\left(2^2\right)}^2-2\cdot 3^2\cdot 2^2\right)\left({\left(3^2\right)}^2+2\cdot {\left(2^2\right)}^2+2\cdot 3^2\cdot 2^2\right)=\left(81+32-72\right)\left(81+32+72\right)=41\cdot 185=41\cdot 5\cdot 37$ Slajd trzydziesty drugi zawiera kontynuację zadania piątego, znajduje się tam zapis: $3^8+2^{10}=5\cdot 37\cdot 41$ Slajd trzydziesty trzeci zawiera kontynuację zadania piątego, jest tu przypomnienie naszego równania w całości, wiedząc, że $3^8+2^{10}=5\cdot 37\cdot 41$, nasze równanie ma postać: $x=3^{16}-2^{20}={\left(3^8\right)}^2-{\left(2^{10}\right)}^2=\left(3^8-2^{10}\right)\cdot \left(3^8+2^{10}\right)$. Slajd trzydziesty czwarty zawiera odpowiedź na zadanie piąte: ponieważ 41, 5 oraz 37 to liczby pierwsze, więc liczba x ma następujący rozkład na liczby pierwsze: $x=5\cdot 7^2\cdot 37\cdot 41\cdot 113$ Slajd trzydziesty piąty zawiera zadanie szóste o treści: Wyznaczymy wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których suma $n^2+2n+10$ jest kwadratem liczby naturalnej. Zrobimy to na dwa sposoby. Slajd trzydziesty szósty przedstawia sposób pierwszy rozwiązania zadania szóstego: załóżmy, ze istnieje dodatnia liczba całkowita n dla, której zachodzi zależność $n^2+2n+10=k^2$, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Slajd trzydziesty siódmy zawiera kontynuację zadania szóstego, tutaj przekształcimy równość do postaci $n^2+2n+1+9=k^2$. Slajd trzydziesty ósmy zawiera kontynuację zadania szóstego, teraz korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, dokładnie ze wzoru ${\left(a+b\right)}^2$i otrzymujemy ${\left(n+1\right)}^2+9=k^2$. Slajd trzydziesty ósmy zawiera kontynuację zadania szóstego, znajduje się tu zapis: $k^2-(n+1{)}^2=9$. Slajd trzydziesty dziewiąty zawiera kontynuację zadania szóstego, tutaj korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy: $\left(k+n+1\right)\left(k-n-1\right)=9$, liczba całkowita 9 została w ten sposób zapisana jako iloczyn dwóch różnych liczb całkowitych: k plus n plus jeden oraz k minus n minus jeden. Slajd czterdziesty zawiera kontynuację zadania szóstego, ponieważ liczbę 9 można zapisać tylko na jeden sposób w postaci dwóch różnych liczb całkowitych: 1 i 9, otrzymujemy układ równań: $\left\{\begin{array}{l}k+n+1=9\\ k-n-1=1\end{array}\right.$ Slajd czterdziesty pierwszy zawiera kontynuację zadania szóstego, rozwiązanie układu z poprzedniego slajdu jest następujące: $k+k=1+9=10$, zatem $2k=10$ czyli k równa się pięć. Slajd czterdziesty drugi zawiera kontynuację zadania szóstego, wiedząc, że k równa się pięć możemy obliczyć: $5+n+1=9$, czyli $n=9-5-1=3$, zatem n równa się trzy. Slajd czterdziesty trzeci zawiera odpowiedź do zadania szóstego uzyskaną sposobem pierwszym, jest ona następująca: Suma $n^2+2n+10=k^2$ jest kwadratem liczby naturalnej wtedy i tylko tedy, gdy n równa się trzy. W tym wypadku równanie $n^2+2n+10=k^2$ po podstawieniu n równego 3 wygląda następująco $3^2+2\cdot 3+10=9+6+10=25=5^2$ Slajd czterdziesty czwarty zawiera drugi sposób rozwiązania zadania szóstego: rozpatrujemy sumę $n^2+2n+10$. Slajd czterdziesty piąty zawiera drugi sposób rozwiązania zadania szóstego: w pierwszym sposobie pokazaliśmy, że zachodzi zależność $n^2+2n+10={\left(n+1\right)}^2+9$. Slajd czterdziesty szósty zawiera kontynuację zadania szóstego: ponieważ $n^2+2n+10={\left(n+1\right)}^2+9>{\left(n+1\right)}^2$, więc dla każdej liczby całkowitej n zachodzi zależność $n^2+2n+10>{\left(n+1\right)}^2$ Slajd czterdziesty siódmy zawiera kontynuację zadania szóstego, rozpatrzymy tutaj kwadraty dwóch kolejnych liczb całkowitych ${\left(n+2\right)}^2=n^2+4n+4$ oraz ${\left(n+3\right)}^2=n^2+6n+9$, zauważmy, że dla n większego lub równego 1 prawdziwe są nierówności: $6n=2n+4n\ge 2n+4$ Slajd czterdziesty ósmy zawiera kontynuację zadania szóstego, zachodzi tutaj nierówność ${\left(n+3\right)}^2=n^2+6n+9\ge n^2+2n+4+9=n^2+2n+10+3>n^2+2n+10$ Slajd czterdziesty dziewiąty zawiera kontynuację zadania szóstego, tutaj możemy zauważyć, że suma $n^2+2n+10$ spełnia podwójną nierówność ${\left(n+1\right)}^2<n^2+2n+10<{\left(n+3\right)}^2$, oznacza to, że $n^2+2n+10$ jest kwadratem liczby naturalnej wtedy i tylko wtedy, gdy $n^2+2n+10$ równa się ${\left(n+2\right)}^2$. Slajd pięćdziesiąty zawiera kontynuację zadania szóstego, znajdują się tu następujące obliczenia: $n^2+2n+10={\left(n+2\right)}^2$, czyli $n^2+2n+10=n^2+4n+4$, zatem $2n=6$, ostatecznie n równa się trzy. Slajd pięćdziesiąty pierwszy zawiera odpowiedź do zadania szóstego uzyskaną sposobem drugim, jest ona następująca: Suma $n^2+2n+10=k^2$ jest kwadratem liczby naturalnej wtedy i tylko tedy, gdy n równa się trzy. Slajd pięćdziesiąty pierwszy zawiera treść zadania siódmego, jest ona następująca: Obliczymy pole S czerwonego prostokąta znajdującego się na rysunku, wiedząc, że każdy z sześciu pomarańczowych prostokątów ma pole $P=18$, natomiast każdy z dwóch niebieskich kwadratów ma pole $M=16$. Na rysunku znajdują się dwa niebieskie kwadraty, wokół których ułożono prostokąty, tak że tworzą one ramy dla kwadratów, jeden z prostokątów będący ramą jest wspólny dla obu kwadratów. Pomarańczowe prostokąty mają jeden z boków dłuższy o szerokość tych prostokątów od boku kwadratu . Prostokąt znajdujący się pod pierwszym kwadratem zaznaczono kolorem czerwonym, jego długość jest taka sama jak długość boku kwadratu, a szerokość taka sama jak szerokość pozostałych prostokątów. Slajd pięćdziesiąty drugi przedstawia dokładniejszy opis rysunku do zadania siódmego. Pola niebieskich kwadratów podpisano $M=16$, pole każdego pomarańczowego prostokąta, czyli trzech pionowo ustawionych prostokątów i trzech poziomo ustawionych prostokątów podpisano $P=18$, poziomy czerwony prostokąt znajdujący się pod pierwszym niebieskim kwadratem podpisano literą S. Slajd pięćdziesiąty trzeci zawiera początek rozwiązania zadania siódmego: oznaczymy tutaj długość boku niebieskiego kwadratu jako a, zatem $M=a^2=16$, zatem $a=\sqrt{16}=4$. Slajd pięćdziesiąty czwarty zawiera początek rozwiązania zadania siódmego: przyjmując takie oznaczenia jak na poprzednim slajdzie zauważmy, że jeden z boków czerwonego prostokąta ma taką samą długość jak bok kwadratu, czyli jest ona równa cztery. Drugi bok tego prostokąta oznaczmy literą b, aby obliczyć pole tego prostokąta potrzebujemy wyznaczyć już tylko długość boku b. Slajd pięćdziesiąty piąty zawiera kontynuację zadania siódmego: pomarańczowe prostokąty mają taką samą szerokość jak prostokąt czerwony, zatem możemy oznaczyć ją literą b. Drugi bok pomarańczowych prostokątów jest równy długości boku kwadratu powiększonej o szerokość tych prostokątów co możemy zapisać jako: $a+b=4+b$, zatem pole tych prostokątów wynosi $P=b\cdot \left(b+4\right)$. Slajd pięćdziesiąty szósty zawiera kontynuację zadania siódmego, liczba b jest dodatnim rozwiązaniem równania $b\cdot \left(b+4\right)=18$, czyli $b^2+4b=18$, zatem $b^2+4b+4=18+4$, więc $b^2+4b+4=22$. Slajd pięćdziesiąty siódmy zawiera kontynuację zadania siódmego, dzięki przekształceniom z poprzedniego slajdu możemy nasze równanie zapisać jako $b^2+2\cdot 2\cdot b+2^2=22$, czyli ${\left(b+2\right)}^2=22$. Slajd pięćdziesiąty ósmy zawiera kontynuację zadania siódmego, wiedząc, że $b+2$ jest liczbą dodatnią, gdyż $b+2=\sqrt{22}$, to możemy zapisać $b=\sqrt{22}-2$. Slajd pięćdziesiąty dziewiąty zawiera odpowiedź do zadania siódmego, jest ona następująca: $P=a\cdot b=4\cdot \left(\sqrt{22}-2\right)=4\sqrt{22}-8$ Slajd sześćdziesiąty przedstawia uogólnienie na podstawie zadania siódmego, reasumujc podbnie można pokazać, że w ogólnym przypadku pole S czerwonego prostokąta zależy od pól M i P zgodnie ze wzorem $S=\frac{\sqrt{4PM+M^2}-M}{2}$. Slajd sześćdziesiąty pokazuje zależność dla takiego rozumowania: bok kwadratu o polu M obliczmy następująco$M=a^2$, czyli $a=\sqrt{M}$, jeden z boków czerwonego prostokąta ma długość $a=\sqrt{M}$, a drugi bok ma długość b. Slajd sześćdziesiąty drugi zawiera kontynuację wyjaśnienia uogólnienia, analogicznie do przykładu siódmego, jeden z boków pomarańczowego trójkąta ma ma długość b, a drugi $b+\sqrt{M}$. Pole tego prostokąta można zapisać jako: $P=b\cdot \left(b+\sqrt{M}\right)$. Slajd sześćdziesiąty trzeci zawiera kontynuację wyjaśnienia uogólnienia wraz z odpowiedzią, pole pomarańczowego prostokąta możemy zapisać jako: $b^2+\sqrt{M}b=P$, dalej zapisujemy $b^2+2\cdot \frac{\sqrt{M}}{2}\cdot b+{\left(\frac{\sqrt{M}}{2}\right)}^2=P+{\left(\frac{\sqrt{M}}{2}\right)}^2$, zatem ${\left(b+\frac{\sqrt{M}}{2}\right)}^2=P+\frac{M}{4}$, czyli $b+\frac{\sqrt{M}}{2}=\sqrt{P+\frac{M}{4}}$, ostatecznie mamy $b=\sqrt{\frac{4P+M}{4}}-\frac{\sqrt{M}}{2}=\frac{\sqrt{4P+M}-\sqrt{M}}{2}$. Odpowiedź brzmi $P=a\cdot b=\sqrt{M}\cdot \frac{\sqrt{4P+M}-\sqrt{M}}{2}=\frac{\sqrt{4PM+M^2}-M}{2}$