Wzór dwumianowy

Wzór dwumianowy, zwany też wzorem dwumiennym, wzorem Newtona lub dwumianem Newtonadwumian Newtonadwumianem Newtona to nazwa twierdzenia, zgodnie z którym potęgę dwumianu a+bn można rozwinąć w sumę jednomianów, przy których współczynniki liczbowe są odpowiednimi symbolami Newtona. Współczynniki te zwane są współczynnikami dwumianowymi.

Przypomnijmy zatem najpierw, jak wyznaczamy symbol Newtona nk, który pojawi się we wzorze dwumiennym Newtona jako współczynnik przy k–tym wyrazie rozwinięcia dwumianu.

nk=n!k!·n-k! dla 0knn, k

Symbol nk odczytujemy jako n nad k lub n po k.

Dwumian Newtona
Twierdzenie: Dwumian Newtona

Jeśli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i n jest liczbą naturalną dodatnią to:

a+bn=n0an+n1an-1b+n2an-2b2++nn-1abn-1+nnbn
Przykład 1

Zapiszemy rozwinięcie trzeciej potęgi sumy a+b, korzystając z dwumianu Newtona.

a+b3=30a3+31a3-1b1+32a3-2b2+33a3-3b3

Obliczymy kolejne współczynniki liczbowe rozwinięcia.

30=1

31=3

33=1

32=3!2!·3-2!=31=3

Podstawiamy wyznaczone liczby do uzyskanego rozwinięcia.

a+b3=1·a3+3·a2b1+3·a1b2+1·b3=a3+3a2b+3ab2+b3

Przykład 2

Zapiszemy w postaci sumy jednomianów potęgę x2-2y5, korzystając z dwumianu Newtona.

x2-2y5=50x25+51x24·-2y+52x23·-2y2+

+53x22·-2y3+54x21·-2y4+55·-2y5

Obliczamy wartości kolejnych współczynników liczbowych.

50=1

51=5

52=5!2!·5-2!=5·4·33!=606=10

53=5!3!·5-3!=5·42!=202=10

54=5!4!·5-4!=51!=51=5

55=5!5!·5-5!=10!=1

Podstawiamy znalezione liczby do uzyskanego rozwinięcia i wykonujemy potęgowanie.

x2-2y5=1·x10+5·x8·-2y+10x6·4y2+

+10·x4·-8y3+5·x2·16y4+1·-32y5

Wykonujemy mnożenie.

x2-2y5=x10-10·x8y+40x6y2-80x4y3+80x2y4-32y5

Jeśli we wzorze na dwumian Newtonadwumian Newtonadwumian Newtona podstawimy a=1, b=x to otrzymamy wzór na tak zwany szereg Newtona.

Ważne!

Wzór na szereg Newtona

1+xn=n0+n1x+n2x2++nn-1xn-1+nnxn
Przykład 3

Obliczymy sumę współczynników liczbowych w szeregu Newtona.

Podstawiamy do wzoru na szereg Newtona x=1.

1+1n=n0+n1+n2++nn-1+nn

2n=n0+n1+n2++nn-1+nn

Odpowiedź:

Suma współczynników liczbowych rozwinięcia n–tej potęgi sumy 1+x jest równa 2n.

Do wzoru na szereg Newtona podstawiamy teraz x=-1.

0=n0-n1+n2-n3++-1n·nn

Stąd otrzymujemy:

n0+n2+n4+...=n1+n3+n5+

Wnioskujemy więc, że w rozwinięciu potęgi 1+xn suma współczynników potęg o wykładnikach parzystych jest równa sumie współczynników potęg o wykładnikach nieparzystych. Każda z tych sum jest równa 2n-1.

Przykład 4

Jeśli n=6 to

60+62+64+66=61+63+65=25

Jeśli n=7 to

70+72+74+76=71+73+75+77=26

Dwumian Newtona a trójkąt Pascala

Porównując liczby w kolejnych wierszach trójkąta Pascala i kolejne współczynniki liczbowe w szeregu Newtona, zauważamy, że liczby te są równe.

Wartości kolejnych symboli Newtona można zapisać w postaci trójkąta Pascala.

Rs87jozD0P5KM

Kolejnym wierszom trójkąta odpowiadają kolejne wartości n, kolejnym wyrazom w każdym wierszu – kolejne wartości k.

Skrajne wyrazy w każdym wierszu równe są jedności, każdy wyraz (poza skrajnymi) jest sumą dwu wyrazów stojących bezpośrednio nad nim.

Korzystając z trójkątnej tablicy, można więc szybko znaleźć potrzebne współczynniki przy danej potędze dwumianu.

RwsNVqBip30YA
Przykład 5

Określimy współczynnik liczbowy przy 4 wyrazie piątej potęgi sumy x+1.

Z powyższej tabeli odczytujemy, że czwarty współczynnik liczbowy to 53.

Sprawdzamy w trójkącie Pascala, że odpowiada on liczbie 10. Zatem szukany współczynnik jest równy 10.

Wiemy już, że sumy liczb w kolejnych wierszach trójkąta Pascala są równe kolejnym potęgom liczby 2. Własność tę możemy wykorzystać, chcąc szybko obliczyć sumę symboli Newtona występujących w kolejnych potęgach dwumianu.

Na przykład:

20+21+22=22
30+31+32+33=23
40+41+42+43+44=24

Zwróć uwagę, że obliczając sumę symboli Newtona w kolejnych potęgach sumy 1+x, można postąpić dwoma sposobami: skorzystać z własności podanej w Przykładzie 3 lub sumy liczb w wierszach trójkąta Pascala.

Wzór na k–ty wyraz dwumianu Newtona

Jeśli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n jest liczbą naturalną dodatnią, k jest liczbą naturalną taką, że 0kn to, k–ty wyraz rozwinięcia potęgi a+bn wyraża się wzorem:

nk-1·an+1-kbk-1

Korzystając z tego wzoru, można wyznaczyć dowolny wyraz dwumianu Newtona.

Przykład 6

Znajdziemy szósty wyraz w6 rozwinięcia potęgi 3x+28.

Do wzoru nk-1·an+1-kbk-1 podstawiamy: n=8, k=6.

w6=86-1·3x8+1-6·26-1

w6=85·3x3·25

w6=8!5!·3!·27x3·32

w6=8·7·66·864x3=48384x3

Odpowiedź:

Szósty wyraz rozwinięcia potęgi 3x+28 jest równy 48384x3.

Słownik

dwumian Newtona
dwumian Newtona

to twierdzenie: jeśli a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i n jest liczbą naturalną dodatnią to

a+bn=n0an+n1an-1b+n2an-2b2++nn-1abn-1+nnbn