Na początek podamy definicję podobieństwa.

Podobieństwo o skali s
Definicja: Podobieństwo o skali s

Podobieństwemskala podobieństwa figurPodobieństwem o skali s>0 nazywamy takie przekształcenie P płaszczyzny na tę samą płaszczyznę (mówimy wówczas o podobieństwie płaszczyzny) lub przestrzeni na tę samą przestrzeń (mówimy wówczas o podobieństwie przestrzeni), w którym

A'B'=s·AB,

gdzie:
AB – są dwoma dowolnymi punktami,
A'B' – obrazami tych punktów w przekształceniu P.

Wtedy definicja figur podobnych mogłaby być sformułowana następująco:

Figury podobne
Definicja: Figury podobne

Figury nazywamy podobnymi wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem drugiej w pewnym podobieństwie. Relację podobieństwa figur oznaczamy symbolem „~”. Zatem fakt, że figura f jest podobna do figury g możemy zapisać krótko

f~g

Skalę s>0 tego podobieństwa nazywamy wtedy skalą podobieństwa figury f do figury g

Przykładami figur podobnych są:

  • dowolne dwa odcinki,

  • dowolne dwa okręgi,

  • dowolne dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków (trójkąty równoboczne, kwadraty, pięciokąty foremne, itd.)

Podana definicja nie daje nam jednak dobrego narzędzia do badania podobieństwa figur. Ponieważ każdy wielokąt można poddać tzn. triangulacji, czyli podzielić ten wielokąt na trójkąty (można to zrobić zawsze tak, żeby wszystkie wierzchołkami tych trójkątów były wierzchołkami tego wielokąta – o tym orzeka twierdzenie o triangulacji wielokąta), więc trójkąty możemy traktować jak „cegiełki”, z których zbudowane są wielokąty. Z tego powodu wystarczy umieć rozstrzygać, czy dane trójkąty są podobne.

Wniosek o tym, że dwa trójkąty są podobne możemy wyciągnąć z każdego z następujących trzech warunków, zwanych cechami podobieństwa trójkątów:

Cecha „bok – bok – bok” podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Cecha „bok – bok – bok” podobieństwa trójkątów

Jeżeli długości trzech boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

RZkzEPDrMI3wY

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli ABDE=BCEF=CAFD, to ABC ~DEF.

Cecha „bok – kąt – bok” podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Cecha „bok – kąt – bok” podobieństwa trójkątów

Jeżeli długości dwóch boków trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta i kąty miedzy tymi bokami w obu trójkątach są równe, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

RiycRNdRrBbdT

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli ABDE=CAFDBAC=EDF, to ABC ~DEF.

Cecha „kąt – kąt – kąt” podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Cecha „kąt – kąt – kąt” podobieństwa trójkątów

Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem kątom drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

R1Ti0P0lmGeN5

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli BAC=EDFABC=DEFBCA=DFE, to ABC ~DEF.

Przykład 1

Rozstrzygnij, czy trójkąt o bokach długości 12, 18, 24 jest podobny do trójkąta o bokach długości 14, 21, 28.

Rozwiązanie

Stosunek długości najkrótszych boków tych trójkątów jest równy 1214=67.

Stosunek długości najdłuższych boków jest równy 2428=67, a stosunek długości pozostałych boków jest równy 1821=67.

Wszystkie trzy stosunki są równe, więc z cechy bbb wynika, że te trójkąty są podobne.

Skala podobieństwa pierwszego z nich do drugiego jest równa 67, natomiast skala podobieństwa drugiego z nich do pierwszego jest równa 76.

Przykład 2

Długości boków trójkąta ABC są równe: 45, 3912. W trójkącie KLM dane są: KL=8, KM=30, cosMKL=0,6. Rozstrzygnij, czy te trójkąty są podobne.

Rozwiązanie

Obliczymy najpierw długość boku LM trójkąta KLM.

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy

LM2=KL2+KM2-2·KL·KM·cosMKL czyli LM2=82+302-2·8·30·0,6=676.

Stąd LM=676=26.

Teraz, mając już długości wszystkich boków obu trójkątów możemy obliczyć stosunki długości odpowiednich boków.

Ponieważ 4530=3926=128=32, więc z cechy bbb wnioskujemy, że trójkąty ABCKLM są podobne.

Przykład 3

Przekątne ACBD trapezu ABCD o podstawach ABCD przecinają się w punkcie S.

RuyJYf1uihm0V

Uzasadnij, że trójkąty ABSCDS są podobne.

Rozwiązanie

Kąty BASDCS są naprzemianległe oraz kąty ABSCDS są naprzemianległe.

Proste ABCD są równoległe, gdyż czworokąt ABCD jest trapezem, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych wynika, że BAS=DCS oraz ABS=CDS.

Kąty ASBCSD są wierzchołkowe, więc ASB=CSD.

R1WSTdJIcRmo3

Zatem z cechy kkk wynika, że trójkąty ABSCDS są podobne.

Przykład 4

Przekątne ACBD trapezu ABCD, którego podstawy ABCD mają długości AB=aCD=b, przecinają się w punkcie S.

R1301JS9DnKvI

Wykaż, że stosunek pola trójkąta ABS do pola trapezu ABCD jest równy aa+b2.

Dowód

Ru6WKT7J1NiPH
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.

Słownik

skala podobieństwa figur
skala podobieństwa figur

jeżeli figura g jest obrazem figury f w podobieństwie o skali s>0, to liczbę s nazywamy skalą podobieństwa tych figur (dokładniej skalą podobieństwa figury g do figury f)