Przeczytaj

Przykład 1

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $p$ , dla których rozwiązaniem równania $2 p^{2} x + 4 = p + x$ z niewiadomą $x$ będzie liczba $4$ .

W tym celu podstawimy do równania w miejsce $x$ liczbę $4$ .

2 p^{2} \cdot 4 + 4 = p + 4

8 p^{2} + 4 = p + 4

8 p^{2} - p = 0

p \cdot (8 p - 1) = 0

$p = 0$ lub $8 p - 1 = 0$

$p = 0$ lub $p = \frac{1}{8}$

Aby rozwiązaniem równania $2 p^{2} x + 4 = p + x$ z niewiadomą $x$ była liczba $4$ , to $p \in \{0, \frac{1}{8}\}$ .

Przykład 2

Dla jakich wartości parametru $a$ równanie liniowerównanie liniowerównanie liniowe $2 \cdot (x - 3) = a \cdot (x - 3)$ jest tożsamościowe?

2 x - 6 = a x - 3 a

2 x - a x = 6 - 3 a

x \cdot (2 - a) = 3 \cdot (2 - a)

Zastanówmy się teraz, dla jakiego parametru $a$ otrzymamy równanie tożsamościowe postaci $0 \cdot x = 0$ .

Będzie ono zachodziło dla $2 - a = 0$ , czyli dla $a = 2$ .

Jeżeli zatem w miejsce $a$ podstawimy liczbę $2$ otrzymamy $0 \cdot x = 3 \cdot 0$ , czyli $0 \cdot x = 0$ .

Zatem aby równanie było tożsamościowe $a = 2$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $a \cdot (x + 1) = 2 x + 1$ z niewiadomą $x$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

a x + a = 2 x + 1

a x - 2 x = 1 - a

x \cdot (a - 2) = 1 - a

Abyśmy mogli podzielić obie strony równania przez wyrażenie znajdujące się przy $x$ należy najpierw założyć, że $a \neq 2$ .

Wówczas otrzymamy rozwiązanie

x = \frac{1 - a}{a - 2}

Jeżeli $a = 2$ wówczas równanie ma postać $x \cdot 0 = 1 - 2$ , czyli $0 = - 1$ .

Ponieważ otrzymaliśmy zdanie fałszywe, równanie nie posiada rozwiązania, czyli jest sprzeczne.

Przykład 4

Ustalimy, dla jakich wartości parametru $p$ rozwiązaniem równania $3 x - \sqrt{2} p = 4 \cdot (x + 2) - 2 - p$ jest liczba mniejsza od $(- 4)$ .

Najpierw zapiszemy równanie w prostszej postaci.

$3 x - \sqrt{2} p = 4 \cdot (x + 2) - 2 - p$

$3 x - \sqrt{2} p = 4 x + 8 - 2 - p$

$3 x - \sqrt{2} p = 4 x + 6 - p$

$3 x - 4 x = \sqrt{2} p - p + 6$

$- x = \sqrt{2} p - p + 6$

$x = p - \sqrt{2} p - 6$

Aby rozwiązaniem równania była liczba mniejsza od $(- 4)$ musi zachodzić warunek:

$p - \sqrt{2} p - 6 < - 4$

$p - \sqrt{2} p < 2$

Wyciągamy $p$ przed nawias.

$p \cdot (1 - \sqrt{2}) < 2$

Podzielimy obie strony nierówności przez $(1 - \sqrt{2})$ . Jest to wyrażenie ujemne, więc zmienimy znak nierówności na przeciwny.

$p > \frac{2}{1 - \sqrt{2}}$

Zajmiemy się teraz usunięciem niewymierności z mianownika ułamka.

$p > \frac{2}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$

$p > \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{1 - 2}$

$p > - 2 \cdot (1 + \sqrt{2})$

Rozwiązaniem równania jest liczba mniejsza od $(- 4)$ , gdy $p \in (- 2 \cdot (1 + \sqrt{2}), \infty)$ .

Przykład 5

Ustalimy liczbę rozwiązań równania $2 - |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 2$ w zależności od parametru $p$ .

$2 - |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 2$

$- |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 2 - 2$

$- |3 x - 7| = \sqrt{3} p - 4$

$|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$

Wiemy, że wartość bezwzględna jest zawsze liczba nieujemną. Zatem jeżeli prawa strona równania $|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$ będzie liczbą ujemną, to równanie będzie sprzeczne.

$4 - \sqrt{3} p < 0$

$- \sqrt{3} p < - 4$

$\sqrt{3} p > 4$

$p > \frac{4}{\sqrt{3}}$

$p > \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Jeżeli prawa strona równania $|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$ będzie liczbą równą $0$ , to równanie będzie miało jedno rozwiązanie.

$4 - \sqrt{3} p = 0$

$p = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Jeżeli prawa strona równania $|3 x - 7| = 4 - \sqrt{3} p$ będzie liczbą dodatnią, to równanie będzie miało dwa rozwiązania.

$4 - \sqrt{3} p > 0$

$p < \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Dla $p > \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ równanie jest sprzeczne, dla $p = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ równanie ma jedno rozwiązanie, a dla $p < \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ rozwiązaniem równania są dwie liczby.

Słownik

równanie liniowe

równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze

Wprowadzenie

Animacja

Słownik