Przeczytaj

Procent składany to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym.

Zatem kapitalizacja odsetek to powiększanie kapitału poprzez dopisanie odsetek, które zostały wygenerowane przez ten kapitał, czyli przekształcenie odsetek w kapitał. Czas, po którym następuje dopisanie odsetek do kapitału, nazywamy okresem kapitalizacji.

Łatwo zauważyć, że kapitał złożony na procent składanyprocent składanyprocent składany zwiększa się o wiele szybciej niż na procent prosty. Oczywiście im częstsza kapitalizacja, tym kapitał wzrasta szybciej. W modelu kapitalizacji ciągłej, odstęp między kapitalizacjami maleje do zera.

Wykorzystanie zasady oprocentowania składanego nie wymaga obliczania wartości kapitału i odsetek w poszczególnych okresach kapitalizacji. Podobnie jak w przypadku procentu prostego, możemy skorzystać z prostego wzoru. Przy czym w obliczeniach nie będziemy uwzględniać podatku od odsetek.

Ważne!

Wzór na procent składany

Oznaczmy:
$K_{0}$ – kapitał początkowy,
$K$ – kapitał końcowy,
$n$ – liczba lat depozytu,
$m$ – liczba kapitalizacji w roku,
$\frac{p}{100}$ – roczna stopa procentowa.

Jeśli kapitalizacja odbywa się raz w roku, to:

K = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

Jeśli kapitalizacja odbywa się $m$ razy w roku, to:

K = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{m \cdot 100})}^{n \cdot m}

Zastosowanie wzoru na procent składany prześledzimy na przykładach.

W przypadku uzyskania ułamka dziesiętnego nieskończonego, będziemy podawać kwotę z dokładnością do części setnych.

Przykład 1

Klient wpłacił do banku $8000 zł$ na dwuletnią lokatę z oprocentowaniem rocznym w wysokości $5 %$ . Odsetki dopisywane są do kapitału po upływie każdego roku.

Obliczymy, jaka będzie wartość oszczędności na koniec okresu oszczędzania.

Rozwiązanie:

Dane:

$K_{0} = 8000 zł$

$n = 2$

$\frac{p}{100} = \frac{5}{100}$

Szukane:

$K = ?$

Korzystamy ze wzoru na procent składanyprocent składanyprocent składany.

$K = 8000 \cdot {(1 + \frac{5}{100})}^{2}$

$K = 8000 \cdot {(1,05)}^{2}$

$K = 8000 \cdot 1,1025 = 8820$

Odpowiedź:

Kwota oszczędności na koniec okresu oszczędzania będzie równa $8820 zł$ .

Przykład 2

Kwotę w wysokości $15000 zł$ wpłacono na czteroletnią lokatę z rocznym oprocentowaniem $2 %$ i coroczną kapitalizacją odsetek.

Obliczymy kwotę odsetek, jaką bank dopisze na koniec okresu oszczędzania.

Rozwiązanie:

Dane:

$K_{0} = 15000 zł$

$n = 4$

$\frac{p}{100} = \frac{2}{100}$

Szukane:

$K = ?$

Kwota odsetek $= ?$

Korzystamy ze wzoru na procent składany.

$K = 15000 \cdot {(1 + \frac{2}{100})}^{4}$

$K = 15000 \cdot {(1,02)}^{4}$

$K = 16236,481 . . . \approx 16236,48$

Obliczamy kwotę odsetek, jako różnicę między kwotą końcową, a wpłaconą.

$16236,48 - 15000 = 1236,48$

Odpowiedź:

Uzyskana kwota odsetek jest równa $1236,48 zł$ .

Pokażemy teraz, jak obliczyć kapitał końcowy, gdy odsetki kapitalizowane są co pół roku, korzystając z tego samego wzoru, co w poprzednich przykładach.

Przykład 3

Kwotę $12000 zł$ wpłacono na $2$ lata na procent składany, z rocznym oprocentowaniem lokat $4 %$ . Odsetki kapitalizowane są co pół roku.

Obliczymy wartość kapitału po zakończeniu lokaty.

Rozwiązanie:

$K_{0} = 12000 zł$

Kapitalizacja odsetek odbywa się co pól roku, więc w ciągu $2$ lat dobędzie się czterokrotnie.

$n = 4$

Oprocentowanie w skali roku wynosi $4 %$ , zatem półroczne będzie równe $2 %$ .

$\frac{p}{100} = \frac{2}{100}$

Stąd:

$K = 12000 \cdot {(1 + \frac{2}{100})}^{4}$

$K = 12000 \cdot {(1,02)}^{4}$

$K = 12000 \cdot 1,0824321 . . . \approx 12989,19$

Odpowiedź:

Kwota oszczędności na koniec okresu oszczędzania będzie równa o $12989,19 zł$ .

Przykład 4

Obliczymy, jaki dochód przyniesie po dwóch latach lokata $20000 zł$ , która jest oprocentowana w stosunku rocznym w wysokości $8 %$ , a odsetki są kapitalizowane co kwartał.

Rozwiązanie:

$K_{0} = 20000 zł$

$n = 2$

$m = 4$

$\frac{p}{100} = \frac{8}{100}$

Powyższe dane podstawiamy do wzoru:

$K = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{m \cdot 100})}^{n \cdot m}$

$K = 20000 \cdot {(1 + \frac{8}{4 \cdot 100})}^{4 \cdot 2}$

Obliczamy:

$K = 20000 \cdot {(1 + \frac{8}{400})}^{8}$

$K = 20000 \cdot {(1,02)}^{8}$

$K \approx 23433,18 zł$

Obliczamy, jaki dochód przyniesie lokata.

$K - K_{0} = 23433,18 - 20000 = 3433,18$

Odpowiedź:

Lokata przyniesie dochód w wysokości $3433,18 zł$ .

Od odsetek dopisywanych do kapitału złożonego na lokatę, pobierany jest podatek. W praktyce na procent składanyprocent składanyprocent składany stosowany jest więc nieco inny wzór niż ten, który do tej pory wykorzystywaliśmy.

Jeśli potrącony jest $r -$ procentowy podatek od odsetek to procent składany obliczamy ze wzoru:

K = K_{0} \cdot {[1 + \frac{p}{m \cdot 100} \cdot (1 - \frac{r}{100})]}^{n \cdot m}

Przykład 5

Beata założyła w banku roczną lokatę (na procent składany) w wysokości $4800 zł$ .

Oprocentowanie roczne tej lokaty jest stałe i wynosi $6 %$ .

Kapitalizacja odsetek odbywa się co kwartał.

Bank pobiera od każdych naliczonych odsetek $18 %$ podatku od dochodów kapitałowych, oblicz, jaką kwotą będzie dysponować Beata po roku.

Rozwiązanie:

$K_{0} = 4800 zł$

$n = 1$

$m = 4$

$\frac{p}{100} = \frac{6}{100}$

$\frac{r}{100} = \frac{18}{100}$

Korzystamy ze wzoru, w którym uwzględniony jest podatek od odsetek.

$K = 4800 \cdot {[1 + \frac{6}{4 \cdot 100} \cdot (1 - \frac{18}{100})]}^{1 \cdot 4}$

$K = 4800 \cdot {[1 + 0,015 \cdot (0,82)]}^{1 \cdot 4}$

$K = 4800 \cdot {(1,0123)}^{4}$

$K \approx 5040,55 zł$

Odpowiedź:

Po roku Beata będzie dysponować kwotą równą $5040,55 zł$ .

Słownik

procent składany

to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym

Wprowadzenie

Animacja

Słownik