Przeczytaj

Figury o równych polach

Jednym z trzech wielkich geometrycznych problemów w matematyce starożytnej Grecji była tzn. kwadratura koła. Problem ten polegał na skonstruowaniu przy użyciu jedynie cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła. Wówczas nie potrafiono tej konstrukcji wykonać, ale postawiono ważne pytanie, czy taką konstrukcję w ogóle da się wykonać jedynie przy pomocy cyrkla i linijki. Upłynęło ponad dwa tysiące lat zanim matematycy udowodnili, że taka konstrukcja jest niewykonalna. Od tego czasu stwierdzenie „kwadratura koła” oznacza, że mamy do czynienia z problemem nierozwiązywalnym.

Figury równoważne

Definicja: Figury równoważne

Figury o równych polach nazywamy figurami równoważnymi.

Przykładem figur równoważnych są trójkąty o wspólnej podstawie i jednakowych wysokościach.

Na rysunku ( $A B ∥ D F$ )

RXRi6yu5xBzAB

Na ilustracji przedstawiono dwie proste równoległe. Na jednej prostej zaznaczono kolejno punkty A, oraz B. Na drugiej prostej D, E, C, F. Zaznaczono trójkąty ABC, ABD, ABE, ABF o wspólnej podstawie AB. Z punktów D, E, C, F stanowiących wierzchołki trójkątów, opuszczono wysokości.

są to trójkąty $A B C$ , $A B D$ , $A B E$ i $A B F$ . Wszystkie te trójkąty mają wspólną podstawę $A B$ i równe wysokości opuszczone na tę podstawę.

Posługując się tym nazewnictwem, moglibyśmy powiedzieć, że problem kwadratury koła polega na skonstruowaniu, jedynie za pomocą cyrkla i linijki, kwadratu równoważnemu danemu kołu.

Przejdziemy teraz do twierdzenia Pitagorasa.

Pitagorasa

Twierdzenie: Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Przy oznaczeniach standardowych, jak na rysunku

R1aXcsC0lOCW0

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC. Przyprostokątną BC oznaczono małą literą a. Przyprostokątną AC oznaczono małą literą b, natomiast przeciwprostokątną AB oznaczono literą c.

tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Równość ta oznacza geometrycznie, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ilustrację tej sytuacji przedstawia kolejny rysunek.

RdMjIKLBeUHFV

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Obecnie znanych jest wiele dowodów tego twierdzenia, których większość opiera się na jego sensie geometrycznym.

Zaprezentujemy dwa dowody, z który pierwszy oparty jest na trójkątach podobnych, a drugi na wspomnianym sensie geometrycznym twierdzenia.

Dowód

Dowód 1

Poprowadźmy wysokość $C D$ trójkąta $A B C$ i oznaczmy długości odcinków $A D$ i $B D$ literami $x$ i $y$ , jak na rysunku.

R1069wNILlN0P

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC z kątem prostym przy wierzchołku C. Przyprostokątną BC oznaczono małą literą a. Przyprostokątną AC oznaczono małą literą b, natomiast przeciwprostokątną AB oznaczono literą c. Z wierzchołka C opuszczono wysokość do punktu D, leżącego na przeciwprostokątnej.

Trójkąty $A C D$ i $A B C$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $A$ , więc dwa pozostałe kąty ostre tych trójkątów są równe. To oznacza, na mocy cechy $k k k$ , że te trójkąty są podobne. Tak samo trójkąty $C B D$ i $A B C$ są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $B$ , więc te trójkąty także są podobne.

Z tych podobieństw wynikają równości

\frac{|A D|}{|A C|} = \frac{|A C|}{|A B|}

oraz

\frac{|B D|}{|B C|} = \frac{|B C|}{|A B|}

czyli

\frac{x}{b} = \frac{b}{c}

oraz

\frac{y}{a} = \frac{a}{c}

Stąd otrzymujemy

x = \frac{b^{2}}{c}

oraz

y = \frac{a^{2}}{c}

Ponieważ $x + y = c$ , więc $\frac{b^{2}}{c} + \frac{a^{2}}{c} = c$ . Stąd, po pomnożeniu obu stron tej równości przez $c$ , otrzymujemy

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , co właśnie należało udowodnić.

Dowód 2

Dowód, który teraz zaprezentujemy, pochodzi od Euklidesa. Wykażemy, że suma pól kwadratów $B D E C$ i $C F G A$ jest równa polu kwadratu $A H I B$ .

RMtSogkWx2MBT

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC z kątem prostym przy wierzchołku C. Na przeciwprostokątnej AB zbudowano kwadrat ABHI. Na przyprostokątnej AC zbudowano trójkąt ACFG. Na przyprostokątnej BC zbudowano trójkąt BCDE.

Poprowadźmy najpierw odcinek $C J$ prostopadły do przeciwprostokątnej $A B$ , którego koniec $J$ leży na boku $H I$ kwadratu $A H I B$ .

RIQBjAqW5hJee

Pokażemy, że kwadrat $C B D E$ i prostokąt $B K J I$ to figury równoważne oraz kwadrat $C F G A$ i prostokąt $A H J K$ to figury równoważne. Wystarczy wykazać, że trójkąt $C B D$ – połowa kwadratu $C B D E$ i trójkąt $B J I$ – połowa prostokąta $B K J I$ to figury równoważne.

R1Ukx6g27sD8S

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku C. Na przeciwprostokątnej AB zbudowano kwadrat ABHI. Na przyprostokątnej AC zbudowano mniejszy kwadrat ACFG. Na przyprostokątnej BC zbudowano najmniejszy kwadrat BCDE. Z wierzchołka C, przez punkt K na przeciwprostokątnej AB, do punktu J na boku HI pierwszego kwadratu, poprowadzono odcinek prostopadły do przeciwprostokątnej i jednocześnie do boku H I. Zacieniowano trójkąt DBC, oraz ABD.

Trójkąty $C B D$ i $A B D$ są równoważne, gdyż mają taką samą podstawę $B D$ i równe wysokości opuszczone z wierzchołków $C$ i $A$ na prostą $B D$ .

W kolejnym kroku wykazujemy, że trójkąty $A B D$ i $I B C$ są równoważne.

RTTkxpfiKWm2o

Jest tak dlatego, że te trójkąty są przystające, co z kolei wynika z równości
$|A B| = |I B|$ , $|B D| = |B C|$ ,
$|∢ A B D| = |∢ A B C| + |∢ C B D| = |∢ A B C| + 90 ° =$
$= |∢ A B C| + |∢ A B I| = |∢ I B C|$
i cechy $b k b$ przystawania trójkątów.

Teraz pozostaje już tylko zauważyć, że trójkąty $I B C$ i $B J I$ są równoważne.

RviyYA5OE44aN

To wynika z faktu, że mają one wspólną podstawę $B I$ i równe wysokości opuszczone z wierzchołków $C$ i $J$ na prostą $B I$ .

W ten sam sposób wykazujemy równoważność trójkątów, kolejno: $C G A$ , $B G A$ , $H C A$ i $H J A$ .

To kończy dowód.

Twierdzenie Pitagorasa stosujemy w sytuacji, gdy wiemy, że trójkąt jest prostokątny. Okazuje się też że można wnioskować w drugą stronę. Mówi o tym następujące twierdzenie.

odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma długości kwadratów któryś dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku tego trójkąta, to trójkąt ten jest prostokątny.

Oznaczając $a = |B C|$ , $b = |A C|$ i $c = |A B|$ i zakładając, że $a \leq b \leq c$ , możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , to trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Pokażemy teraz kilka przykładów, w których zastosujemy twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Przykład 1

Obwód trójkąta prostokątnego jest równy $756$ , a przeciwprostokątna tego trójkąta jest o $1$ dłuższa o jednej z przyprostokątnych. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta. Wtedy jedna z przyprostokątnych ma długość równą $x - 1$ , a druga $756 - x - (x - 1)$ , czyli $757 - 2 x$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie

${(x - 1)}^{2} + {(757 - 2 x)}^{2} = x^{2}$ .

Zastosujmy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, a następnie uporządkujmy otrzymane równanie

$x^{2} - 2 x + 1 + 757^{2} - 2 \cdot 757 \cdot 2 x + 4 x^{2} = x^{2}$ ,

$4 x^{2} - 3030 x + 573050 = 0$ ,

$2 x^{2} - 1515 x + 286525 = 0$ .

Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu kwadratowego $2 x^{2} - 1515 x + 286525$ .

$Δ = {(- 1515)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 286525 = 3025$ , więc $\sqrt{Δ} = \sqrt{3025} = 55$ .

$x_{1} = \frac{1515 - 55}{4} = 365$ , $x_{2} = \frac{1515 + 55}{4} = 392 \frac{1}{2}$ .

Gdy $x = 365$ , to $x - 1 = 364$ oraz $757 - 2 x = 757 - 2 \cdot 365 = 27$ , a gdy $x = 392 \frac{1}{2}$ , to $x - 1 = 391 \frac{1}{2}$ oraz $757 - 2 x = 752 - 2 \cdot 392 \frac{1}{2} = - 33$ , co jest niemożliwe.

Odpowiedź:

Przyprostokątne trójkąta mają długości $27$ i $364$ , a przeciwprostokątna ma długość $365$ .

Przykład 2

Wykaż, że jeśli boki trójkąta mają długości $2 x + 1$ , $2 x^{2} + 2 x$ , $2 x^{2} + 2 x + 1$ , gdzie $x$ jest liczbą dodatnią, to trójkąt ten jest prostokątny.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeśli $x > 0$ , to liczby $2 x + 1$ , $2 x^{2} + 2 x$ , $2 x^{2} + 2 x + 1$ są dodatnie, a największą z nich jest $2 x^{2} + 2 x + 1$ . Wystarczy więc sprawdzić, czy suma kwadratów liczb $2 x + 1$ i $2 x^{2} + 2 x$ jest równa kwadratowi liczby $2 x^{2} + 2 x + 1$ . Obliczmy

${(2 x + 1)}^{2} + {(2 x^{2} + 2 x)}^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1 + 4 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} =$

$= 4 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 x + 1$ ,

oraz

${(2 x^{2} + 2 x + 1)}^{2} = 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 + 8 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x = 4 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 x + 1$ .

Zatem dla każdej liczby $x > 0$ prawdziwa jest równość ${(2 x + 1)}^{2} + {(2 x^{2} + 2 x)}^{2} = {(2 x^{2} + 2 x + 1)}^{2}$ . Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy, że trójkąt jest prostokątny.

Przykład 3

Długości boków trójkąta są równe $17$ , $25$ i $28$ . Udowodnij, spodek najkrótszej wysokości tego trójkąta dzieli bok trójkąta na dwie części w stosunku $2 : 5$ .

Rozwiązanie

Ponieważ pole trójkąta to połowa iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na prostą zawierającą ten bok, więc iloczyn długości boku i odpowiadającej mu wysokości jest stały. Wobec tego najkrótsza wysokość trójkąta jest opuszczona na najdłuższy bok. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Rhge9swGdvJvk

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Długość boku AC wynosi siedemnaście. Długość boku BC wynosi dwadzieścia pięć. Długość boku AB wynosi dwadzieścia osiem. Z wierzchołka C, opuszczono wysokość h, do podstawy AB, w punkcie D. Długość odcinka AD oznaczono literą x, natomiast długość odcinka BD oznaczono literą y.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A D C$ i dla trójkąta $B D C$ otrzymujemy

$x^{2} + h^{2} = 17^{2}$ oraz $y^{2} + h^{2} = 25^{2}$ .

Odejmując równania stronami, od drugiego pierwsze, dostajemy

$y^{2} - x^{2} = 25^{2} - 17^{2}$ .

Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy to równanie zapisać w postaci

$(y - x) (y + x) = (25 - 17) (25 + 17)$ ,

$(y - x) (y + x) = 8 \cdot 42$ .

Ponieważ $x + y = 28$ , więc otrzymujemy $(y - x) \cdot 28 = 8 \cdot 42$ , skąd $y - x = 12$ . Dodając stronami równania $x + y = 28$ i $y - x = 12$ , otrzymujemy $2 y = 40$ , więc $y = 20$ . Zatem $x + 20 = 28$ , czyli $x = 8$ .

Stosunek długości odcinka $A D$ do długości odcinka $B D$ jest równy $\frac{x}{y} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .

To kończy dowód.

Ciekawym problemem, związanym z trójkątami prostokątnymi, jest poszukiwanie tzw. trójek pitagorejskich. Trójkami pitagorejskimi nazywamy takie ciągi $(a, b, c)$ liczb całkowitych dodatnich, które są długościami boków trójkąta prostokątnego. Przykładem takiej trójki jest ciąg $(3, 4, 5)$ .

Przykład 4

Wykaż, że w każdej trójce pitagorejskiej co najmniej jedna z liczb jest podzielna przez $5$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $(a, b, c)$ jest trójką pitagorejskątrójka pitagorejskatrójką pitagorejską i że żadna z liczb $a$ , $b$ , $c$ nie jest podzielna przez $5$ . Wtedy każda z tych liczb daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , $2$ , $3$ lub $4$ .

Jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , a więc ma postać $5 k + 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, to jej kwadrat też daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , gdyż ${(5 k + 1)}^{2} = 25 k^{2} + 10 k + 1 = 5 (5 k^{2} + 2 k) + 1$ .

Analogicznie: jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $4$ , a więc ma postać $5 k + 4$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, to jej kwadrat daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$ , gdyż ${(5 k + 4)}^{2} = 25 k^{2} + 40 k + 16 = 5 (5 k^{2} + 8 k + 3) + 1$ .

Tak samo, gdy liczba całkowita przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ lub $3$ , to jej kwadrat przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$ . Rzeczywiście ${(5 k + 2)}^{2} = 25 k^{2} + 20 k + 4 = 5 (5 k^{2} + 4 k) + 4$ oraz ${(5 k + 3)}^{2} = 25 k^{2} + 30 k + 9 = 5 (5 k^{2} + 6 k + 1) + 4$ .

Wynika stąd, że liczba $a^{2} + b^{2}$ albo jest podzielna przez $5$ (gdy reszty z dzielenia przez $5$ liczb $a^{2}$ i $b^{2}$ będą równe $1$ i $4$ ) albo reszta dzielenia tej liczby przez $5$ będzie równa $2$ (gdy reszty z dzielenia przez $5$ liczb $a^{2}$ i $b^{2}$ będą równe $1$ i $1$ ) albo reszta ta będzie równa $3$ (gdy reszty z dzielenia przez $5$ liczb $a^{2}$ i $b^{2}$ będą równe $4$ i $4$ , bo $4 + 4 = 8 = 5 + 3$ ). To jest jednak niemożliwe, gdyż reszta, jaką przy dzieleniu przez $5$ daje liczba $c^{2}$ może być równa $1$ albo $4$ .

Otrzymana sprzeczność oznacza, że założenie o tym, że żadna z liczb $a$ , $b$ , $c$ nie jest podzielna przez $5$ jest nieprawdziwe.

To kończy dowód.

Przykład 5

Mając dany odcinek o długości $1$ , skonstruuj odcinek o długości $\sqrt{41}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $41 = 16 + 25 = 4^{2} + 5^{2}$ . Zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $4$ i $5$ ma przeciwprostokątną długości $\sqrt{41}$ , gdyż $4^{2} + 5^{2} = {(\sqrt{41})}^{2}$ . Ten właśnie fakt wykorzystamy w naszej konstrukcji.

R3zkww7J2EaWv

Na ilustracji przedstawiono prostą k, oraz prostopadłą do niej prostą l. Proste przecinają się w punkcie A. Z punktu A odłożono 4 odcinki długości jeden na prostej l, orz pięć odcinków długości jeden na prostej k. Zaznaczono punkt B na prostej l, stanowiący koniec ostatniego odcinka i punkt C na prostej k. Połączono punkt B i C. Powstał trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 41.

Opis konstrukcji.

Rysujemy prostą $k$ i obieramy na niej punkt $A$ .

Konstruujemy prostą $l$ prostopadłą do prostej $k$ i przechodzącą przez punkt $A$ .

Odkładamy na prostych $l$ i $k$ takie punkty $B$ i $C$ , żeby $|A B| = 4$ , $|A C| = 5$ .

Kreślimy odcinek $B C$ . Jest to odcinek o długości $\sqrt{41}$ .

Przykład 6

Mając dany odcinek o długości $1$ , skonstruuj odcinek o długości $\sqrt{21}$ .

Rozwiązanie

Tym razem liczby $21$ nie można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych, gdyż musiałyby to być kwadraty mniejsze od $21$ , a więc $1$ , $4$ , $9$ lub $16$ .

Ponieważ $21$ jest liczbą nieparzystą, więc jeden z tych kwadratów musiałby być liczbą parzystą, a drugi nieparzystą, ale $4 + 16 = 20 < 21$ , a $9 + 16 = 25 > 21$ . Wobec tego liczby $21$ nie można przedstawić jako sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich. Zauważmy jednak, że $21 = 25 - 4 = 5^{2} - 2^{2}$ .

Zatem trójkąt prostokątny, którego jedna z przyprostokątnych ma długość $2$ , a przeciwprostokątna ma długość $5$ ma drugą przyprostokątną długości $\sqrt{21}$ , gdyż $2^{2} + {(\sqrt{21})}^{2} = 5^{2}$ . W tej konstrukcji także wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa.

R1UCLl40wRLJ6

Opis konstrukcji.

Rysujemy prostą $k$ i obieramy na niej punkt $A$ .

Konstruujemy prostą $l$ prostopadłą do prostej $k$ i przechodzącą przez punkt $A$ .

Odkładamy na prostej $k$ takie punkty $B$ i $C$ leżące po przeciwnych stronach punktu $A$ , żeby $|A B| = 4$ , $|A C| = 1$ .

Zataczamy łuk okręgu o środku $B$ przechodzący przez punkt $C$ , a punkt jego przecięcia z prostą $l$ oznaczamy przez $D$ .

Odcinek $A D$ jest szukanym odcinkiem. Jego długość jest równa $\sqrt{21}$ .

Słownik

trójka pitagorejska

ciąg $(a, b, c)$ liczb całkowitych dodatnich, które są długościami boków trójkąta prostokątnego nazywamy trójką pitagorejską

Wprowadzenie

Animacja

Figury o równych polach

Słownik