Przeczytaj
Figury o równych polach
Jednym z trzech wielkich geometrycznych problemów w matematyce starożytnej Grecji była tzn. kwadratura koła. Problem ten polegał na skonstruowaniu przy użyciu jedynie cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła. Wówczas nie potrafiono tej konstrukcji wykonać, ale postawiono ważne pytanie, czy taką konstrukcję w ogóle da się wykonać jedynie przy pomocy cyrkla i linijki. Upłynęło ponad dwa tysiące lat zanim matematycy udowodnili, że taka konstrukcja jest niewykonalna. Od tego czasu stwierdzenie „kwadratura koła” oznacza, że mamy do czynienia z problemem nierozwiązywalnym.
Figury o równych polach nazywamy figurami równoważnymi.
Przykładem figur równoważnych są trójkąty o wspólnej podstawie i jednakowych wysokościach.
Na rysunku ()
są to trójkąty , , i . Wszystkie te trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości opuszczone na tę podstawę.
Posługując się tym nazewnictwem, moglibyśmy powiedzieć, że problem kwadratury koła polega na skonstruowaniu, jedynie za pomocą cyrkla i linijki, kwadratu równoważnemu danemu kołu.
Przejdziemy teraz do twierdzenia Pitagorasa.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Przy oznaczeniach standardowych, jak na rysunku
tezę twierdzenia możemy zapisać w postaci
Równość ta oznacza geometrycznie, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ilustrację tej sytuacji przedstawia kolejny rysunek.
Obecnie znanych jest wiele dowodów tego twierdzenia, których większość opiera się na jego sensie geometrycznym.
Zaprezentujemy dwa dowody, z który pierwszy oparty jest na trójkątach podobnych, a drugi na wspomnianym sensie geometrycznym twierdzenia.
Dowód 1
Poprowadźmy wysokość trójkąta i oznaczmy długości odcinków i literami i , jak na rysunku.
Trójkąty i są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku , więc dwa pozostałe kąty ostre tych trójkątów są równe. To oznacza, na mocy cechy , że te trójkąty są podobne. Tak samo trójkąty i są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku , więc te trójkąty także są podobne.
Z tych podobieństw wynikają równości
czyli
Stąd otrzymujemy
Ponieważ , więc . Stąd, po pomnożeniu obu stron tej równości przez , otrzymujemy
, co właśnie należało udowodnić.
Dowód 2
Dowód, który teraz zaprezentujemy, pochodzi od Euklidesa. Wykażemy, że suma pól kwadratów i jest równa polu kwadratu .
Poprowadźmy najpierw odcinek prostopadły do przeciwprostokątnej , którego koniec leży na boku kwadratu .
Pokażemy, że kwadrat i prostokąt to figury równoważne oraz kwadrat i prostokąt to figury równoważne. Wystarczy wykazać, że trójkąt – połowa kwadratu i trójkąt – połowa prostokąta to figury równoważne.
Trójkąty i są równoważne, gdyż mają taką samą podstawę i równe wysokości opuszczone z wierzchołków i na prostą .
W kolejnym kroku wykazujemy, że trójkąty i są równoważne.
Jest tak dlatego, że te trójkąty są przystające, co z kolei wynika z równości
, ,
i cechy przystawania trójkątów.
Teraz pozostaje już tylko zauważyć, że trójkąty i są równoważne.
To wynika z faktu, że mają one wspólną podstawę i równe wysokości opuszczone z wierzchołków i na prostą .
W ten sam sposób wykazujemy równoważność trójkątów, kolejno: , , i .
To kończy dowód.
Twierdzenie Pitagorasa stosujemy w sytuacji, gdy wiemy, że trójkąt jest prostokątny. Okazuje się też że można wnioskować w drugą stronę. Mówi o tym następujące twierdzenie.
Jeżeli suma długości kwadratów któryś dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku tego trójkąta, to trójkąt ten jest prostokątny.
Oznaczając , i i zakładając, że , możemy to twierdzenie zapisać w postaci:
Jeżeli , to trójkąt jest prostokątny.
Pokażemy teraz kilka przykładów, w których zastosujemy twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Obwód trójkąta prostokątnego jest równy , a przeciwprostokątna tego trójkąta jest o dłuższa o jednej z przyprostokątnych. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Rozwiązanie
Niech oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta. Wtedy jedna z przyprostokątnych ma długość równą , a druga , czyli . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie
.
Zastosujmy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, a następnie uporządkujmy otrzymane równanie
,
,
.
Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu kwadratowego .
, więc .
, .
Gdy , to oraz , a gdy , to oraz , co jest niemożliwe.
Odpowiedź:
Przyprostokątne trójkąta mają długości i , a przeciwprostokątna ma długość .
Wykaż, że jeśli boki trójkąta mają długości , , , gdzie jest liczbą dodatnią, to trójkąt ten jest prostokątny.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że jeśli , to liczby , , są dodatnie, a największą z nich jest . Wystarczy więc sprawdzić, czy suma kwadratów liczb i jest równa kwadratowi liczby . Obliczmy
,
oraz
.
Zatem dla każdej liczby prawdziwa jest równość . Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy, że trójkąt jest prostokątny.
Długości boków trójkąta są równe , i . Udowodnij, spodek najkrótszej wysokości tego trójkąta dzieli bok trójkąta na dwie części w stosunku .
Rozwiązanie
Ponieważ pole trójkąta to połowa iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na prostą zawierającą ten bok, więc iloczyn długości boku i odpowiadającej mu wysokości jest stały. Wobec tego najkrótsza wysokość trójkąta jest opuszczona na najdłuższy bok. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta i dla trójkąta otrzymujemy
oraz .
Odejmując równania stronami, od drugiego pierwsze, dostajemy
.
Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów możemy to równanie zapisać w postaci
,
.
Ponieważ , więc otrzymujemy , skąd . Dodając stronami równania i , otrzymujemy , więc . Zatem , czyli .
Stosunek długości odcinka do długości odcinka jest równy .
To kończy dowód.
Ciekawym problemem, związanym z trójkątami prostokątnymi, jest poszukiwanie tzw. trójek pitagorejskich. Trójkami pitagorejskimi nazywamy takie ciągi liczb całkowitych dodatnich, które są długościami boków trójkąta prostokątnego. Przykładem takiej trójki jest ciąg .
Wykaż, że w każdej trójce pitagorejskiej co najmniej jedna z liczb jest podzielna przez .
Rozwiązanie
Przypuśćmy, że jest trójką pitagorejskątrójką pitagorejską i że żadna z liczb , , nie jest podzielna przez . Wtedy każda z tych liczb daje przy dzieleniu przez resztę , , lub .
Jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez resztę , a więc ma postać , gdzie jest liczbą całkowitą, to jej kwadrat też daje przy dzieleniu przez resztę , gdyż .
Analogicznie: jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez resztę , a więc ma postać , gdzie jest liczbą całkowitą, to jej kwadrat daje przy dzieleniu przez resztę , gdyż .
Tak samo, gdy liczba całkowita przy dzieleniu przez daje resztę lub , to jej kwadrat przy dzieleniu przez daje resztę . Rzeczywiście oraz .
Wynika stąd, że liczba albo jest podzielna przez (gdy reszty z dzielenia przez liczb i będą równe i ) albo reszta dzielenia tej liczby przez będzie równa (gdy reszty z dzielenia przez liczb i będą równe i ) albo reszta ta będzie równa (gdy reszty z dzielenia przez liczb i będą równe i , bo ). To jest jednak niemożliwe, gdyż reszta, jaką przy dzieleniu przez daje liczba może być równa albo .
Otrzymana sprzeczność oznacza, że założenie o tym, że żadna z liczb , , nie jest podzielna przez jest nieprawdziwe.
To kończy dowód.
Mając dany odcinek o długości , skonstruuj odcinek o długości .
Rozwiązanie
Zauważmy, że . Zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości i ma przeciwprostokątną długości , gdyż . Ten właśnie fakt wykorzystamy w naszej konstrukcji.
Opis konstrukcji.
Rysujemy prostą i obieramy na niej punkt .
Konstruujemy prostą prostopadłą do prostej i przechodzącą przez punkt .
Odkładamy na prostych i takie punkty i , żeby , .
Kreślimy odcinek . Jest to odcinek o długości .
Mając dany odcinek o długości , skonstruuj odcinek o długości .
Rozwiązanie
Tym razem liczby nie można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych, gdyż musiałyby to być kwadraty mniejsze od , a więc , , lub .
Ponieważ jest liczbą nieparzystą, więc jeden z tych kwadratów musiałby być liczbą parzystą, a drugi nieparzystą, ale , a . Wobec tego liczby nie można przedstawić jako sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich. Zauważmy jednak, że .
Zatem trójkąt prostokątny, którego jedna z przyprostokątnych ma długość , a przeciwprostokątna ma długość ma drugą przyprostokątną długości , gdyż . W tej konstrukcji także wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa.
Opis konstrukcji.
Rysujemy prostą i obieramy na niej punkt .
Konstruujemy prostą prostopadłą do prostej i przechodzącą przez punkt .
Odkładamy na prostej takie punkty i leżące po przeciwnych stronach punktu , żeby , .
Zataczamy łuk okręgu o środku przechodzący przez punkt , a punkt jego przecięcia z prostą oznaczamy przez .
Odcinek jest szukanym odcinkiem. Jego długość jest równa .
Słownik
ciąg liczb całkowitych dodatnich, które są długościami boków trójkąta prostokątnego nazywamy trójką pitagorejską