Przeczytaj

W tym materiale skupimy się na obliczaniu objętości ostrosłupa trójkątnego.

Ostrosłup trójkątny, to taki ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt. Ściany boczne ostrosłupa są trójkątami o wspólnym wierzchołku zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.
Ostrosłup trójkątny jest inaczej nazywany czworościanem.

Wśród ostrosłupów trójkątnych możemy wyróżnić ostrosłupy:

proste,
pochyłe.

Ostrosłup trójkątnyostrosłup prawidłowy trójkątnyOstrosłup trójkątny nazywamy ostrosłupemostrosłup prawidłowyostrosłupem prostym, jeśli spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Ostrosłup prosty ma wszystkie krawędzie boczne równej długości.

Ostrosłup trójkątny pochyły nie spełnia opisanej powyżej własności.

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z podstawą kąty równej miary, to spodek wysokości jest jednakowo oddalony od wierzchołków podstawy jest, więc środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Jeśli wszystkie ściany boczne tworzą z podstawą kąty równej miary, to spodek wysokościspodek wysokości bryłyspodek wysokości jest jednakowo oddalony od krawędzi podstawy. Jest więc środkiem okręgu wpisanego w podstawę.

Objętość ostrosłupa wyraża się za pomocą wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

gdzie:
$P_{p}$ – oznacza pole podstawy ostrosłupa,
$H$ – wysokość bryły.

Dla czworościanu foremnegoczworościan foremnyczworościanu foremnego o krawędzi $a$ :

Objętość:

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Zależność objętości ostrosłupa trójkątnego od objętości graniastosłupa

Zapoznaj się z poniższym apletem. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa trójkątnego względem objętości graniastosłupa (sześcianu). Przesuwając punkt $A$ lub $B$ zmieniasz długość krawędzi podstawy, gdy przesuniesz punkt $G$ zmieniasz wysokość ostrosłupa oraz graniastosłupa. Czy zauważasz związek miedzy objętościami tych brył?

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu. Na podstawie opisanych przykładów przeanalizuj jak zmienia się objętość ostrosłupa trójkątnego względem objętości graniastosłupa (sześcianu). Czy zauważasz związek miedzy objętościami tych brył?

RooXxLsGSNyEM

Ważne!

Pamiętaj, że objętość ostrosłupa jest jedną trzecią objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy oraz wysokości.

Przykład 1

Obliczymy objętość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych długości 8, a krawędzie boczne są równe i tworzą z podstawą kąt o mierze $60 °$ .

Rozwiązanie

Zasadniczym elementem zadania jest ustalenie, gdzie znajduje się spodek wysokości ostrosłupa.

Wiemy, że ostrosłup ma krawędzie boczne równej długości, więc spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.

W tym przypadku jest to środek przeciwprostokątnej, bo podstawą jest trójkąt prostokątny.

Wykonujemy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R1RNiMNHewfWc

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Podstawę ostrosłupa stanowi trójkąt z kątem prostym przy wierzchołku C. Krawędzie boczne oznaczono literą d. Z wierzchołka D opuszczono wysokość, której spodek znajduje się w punkcie S, na krawędzi AB podstawy. Kąty DAB, ABD, oraz DCS oznaczono alfa.

Wiemy, że $|A C| = |B C| = 8$ są długościami ramion trójkąta prostokątnego w podstawie, więc $|A B| = 8 \sqrt{2}$ .

Oznaczamy $|A D| = |B D| = |C D| = d$ , bo z treści zadania wynika, że w ostrosłupie prostym krawędzie boczne są równej długości, miara kąta $α = 60 °$ .

Wysokość ostrosłupa to odcinek $D S$ , oznaczamy $|D S| = H$ .

Krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ , stad wniosek, że trójkąt $A B D$ jest równoboczny i $d = |A D| = |B D| = |A B| = 8 \sqrt{2}$ .

Wysokość ostrosłupa jest wysokością ściany bocznej $A B D$ , zatem:

$H = \frac{d \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{6}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 8^{2} = 32$

Mamy już pole podstawy, możemy obliczyć objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 4 \sqrt{6} = \frac{128 \sqrt{6}}{3}$

$V = \frac{128 \sqrt{6}}{3}$ .

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt $A B C$ , a krawędź $A D$ jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa $A B C D$ , jeśli wiadomo, że $|B C| = 6$ , $|B D| = |C D| = 13$ i pole jednej ściany bocznej prostopadłej do podstawy wynosi $30$ . Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Rozwiązanie

Wykonujemy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R7fj3fT57gy1n

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD z wierzchołkiem D oraz obok przedstawiono jego podstawę ABC. Krawędź AD oznaczono H, natomiast długość krawędzi BD oraz CD wynosi trzynaście. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ściany bocznej ostrosłupa, której spodek leży w punkcie E na krawędzi BC. Odległość punktu E od wierzchołka B i od wierzchołka C jest równa trzy. Linią przerywaną połączono wierzchołek A podstawy z punktem E. Odcinek AE stanowi wysokość podstawy ostrosłupa.

Oznaczymy długość wysokości ostrosłupa przez $H$ , z przystających trójkątów prostokątnych $A B D$ i $A C D$ na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|A B|}^{2} + {|A D|}^{2} = {|B D|}^{2}$

${|A B|}^{2} + H^{2} = 13^{2}$

$|A B| = |A C| = \sqrt{13^{2} - H^{2}} = \sqrt{169 - H^{2}}$

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest równoramienny i oznaczamy długość jego wysokości $|A E| = h$ .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A B E$ mamy:

${|A B|}^{2} = h^{2} + 3^{2}$

$h = \sqrt{{|A B|}^{2} - 9} = \sqrt{169 - H^{2} - 9} = \sqrt{160 - H^{2}}$

Możemy teraz wykorzystać podane pole ściany bocznej ostrosłupa.

$P = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot H = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{169 - H^{2}} \cdot H$

$30 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{169 - H^{2}} \cdot H$

$60 = \sqrt{169 - H^{2}} \cdot H$

Podnosząc obie strony do kwadratu mamy:

$3600 = 169 H^{2} - H^{4}$

$H^{4} - 169 H^{2} + 3600 = 0$

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawmy $H^{2} = t$ , gdzie $t \geq 0$

$t^{2} - 169 t + 3600 = 0$

$∆ = 169^{2} - 4 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$

$\sqrt{∆} = 119$

$t = \frac{169 - 119}{2} = 25$ lub $t = \frac{169 + 119}{2} = 144$

Stąd wyznaczamy $H = 5$ lub $H = 12$ bo $H > 0$ , mamy więc dwa rozwiązania.

Należy teraz obliczyć pole podstawy i objętość ostrosłupa w każdym z przypadków.

Przypadek dla $H = 5$ .
Obliczamy pole podstawy:
$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3 \cdot \sqrt{160 - H^{2}} = 3 \cdot \sqrt{160 - 25} = 3 \sqrt{135} = 9 \sqrt{15}$
Obliczamy objętość ostrosłupa:
$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{15} \cdot 5 = 15 \sqrt{15}$

Przypadek dla $H = 12$ .
Obliczamy pole podstawy:
$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3 \cdot \sqrt{160 - H^{2}} = 3 \cdot \sqrt{160 - 144} = 12$
Obliczamy objętość ostrosłupa:
$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 12 = 48$

Odpowiedź:

$V = 15 \sqrt{15} [j^{3}]$ lub $V = 48 [j^{3}]$ .

Przykład 3

W ostrosłupie trójkątnym wszystkie krawędzie boczne i dwie krawędzie podstawy mają długość $b$ , a kąt nachylenia krawędzi bocznej, przechodzącej przez wierzchołek wspólny równych krawędzi podstawy, do płaszczyzny podstawy ma miarę $α$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Wykonujemy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R14bmXvKzTXZR

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Na boku AC zaznaczono punkt F. Punkt F połączono linią przerywaną z wierzchołkiem podstawy B, oraz z punktem G znajdującym się na krawędzi bocznej BD. Z wierzchołka D poprowadzono wysokość, której spodek znajduje się w punkcie E na odcinku FB. ∠DFC wynosi 90 stopni, natomiast ∠FBD oznaczono alfa. Kolorem czerwonym zacieniowano trójkąt FBD.

Korzystając z trójkąta $D E B$ możemy obliczyć wysokość ostrosłupa

$\frac{|D E|}{|D B|} = \sin α$ to $|D E| = b \cdot \sin α$

Zauważmy, że trójkąty $A F D$ i $A F B$ są przystające.

Zatem $|F D| = |F B|$ i trójkąt $B F D$ jest równoramienny, stąd punkt $G$ jest środkiem odcinka $D B$ .

Z trójkąta $F B G$ mamy:

$\frac{|G B|}{|F B|} = \cos α$ to $|F B| = \frac{b}{2 \cos α}$

Teraz z trójkąta prostokątnego $A B F$ obliczamy długość odcinka $A F$ .

${|A F|}^{2} + {|F B|}^{2} = {|A B|}^{2}$

${|A F|}^{2} = b^{2} - {(\frac{b}{2 \cos α})}^{2} = b^{2} - \frac{b^{2}}{4 \cos^{2} α}$

$|A F| = \sqrt{b^{2} - \frac{b^{2}}{4 \cos^{2} α}} = b \sqrt{\frac{4 \cos^{2} α - 1}{4 \cos^{2} α}} = b \sqrt{\frac{4 \cos^{2} α - \sin^{2} α - \cos^{2} α}{4 \cos^{2} α}}$

$|A F| = \frac{b}{2} \sqrt{3 - {tg}^{2} α}$

Zatem objętość jest równa

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 |A F| \cdot |F B| \cdot |D E|$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{2} \sqrt{3 - {tg}^{2} α} \cdot \frac{b}{2 \cos α} \cdot b \sin α$

$V = \frac{b^{3}}{12} \cdot tg α \cdot \sqrt{3 - {tg}^{2} α}$

Odpowiedź:

$V = \frac{b^{3}}{12} \cdot tg α \cdot \sqrt{3 - {tg}^{2} α} [j^{3}]$ .

Słownik

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie

spodek wysokości bryły

rzut prostokątny wierzchołka bryły na płaszczyznę podstawy

ostrosłup prawidłowy trójkątny

ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

czworościan foremny

ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Zależność objętości ostrosłupa trójkątnego od objętości graniastosłupa

Słownik