Przeczytaj

Utrwalimy wiadomości dotyczące kątów między prostymi a płaszczyznamikąt między prostą a płaszczyznąkątów między prostymi a płaszczyznami w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym.

Pojęcia wstępne

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym możemy wyróżnić następujące kąty między prostymi a płaszczyznami.

Kąty nachylenia przekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy

RokuNtg3L19Cz

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej a, oraz wysokości równej h. W graniastosłupie zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. Przyprostokątne pierwszego trójkąta stanowi krawędź graniastosłupa oznaczona h, oraz dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa oznaczona małą literą d z indeksem dolnym jeden. Przeciwprostokątna stanowi dłuższą przekątną graniastosłupa, oznaczoną wielką literą D z indeksem jeden. Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy oznaczono alfa. Przyprostokątne drugiego trójkąta stanowi krawędź graniastosłupa oznaczona h, oraz krótsza przekątna podstawy graniastosłupa oznaczona małą literą d z indeksem dolnym dwa. Przeciwprostokątna stanowi krótszą przekątną graniastosłupa, oznaczoną wielką literą D z indeksem dwa. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy oznaczono beta.

$α$ – kąt nachylenia $D_{1}$ - dłuższej przekątnej graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy

Kąt $α$ otrzymujemy, rzutując przekątną $D_{1}$ pod kątem prostym na płaszczyznę podstawy. Otrzymujemy dłuższą przekątną podstawy $d_{1}$ , Powstaje wyróżniony na różowo trójkąt prostokątny.

$β$ – kąt nachylenia $D_{2}$ – krótszej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy

Kąt $β$ otrzymujemy, rzutując przekątną $D_{2}$ pod kątem prostym na płaszczyznę podstawy. Otrzymujemy krótszą przekątną podstawy $d_{2}$ . Powstaje wyróżniony na zielono trójkąt prostokątny.

Zastanowimy się, co wiemy o kątach $α$ i $β$ .

Kąty $α$ i $β$ są kątami ostrymi oraz $β > α$ . Z tego, że wysokość graniastosłupa można przedstawić na dwa sposoby w zależności od kąta $α$ i $β$ (gdzie $h = d_{1} \cdot tg α = 2 a \cdot tg α$ , $h = d_{2} \cdot tg β = a \sqrt{3} \cdot tg β$ ) wynika, że $tg β = \frac{2 \sqrt{3}}{3} tg α$ .

Możemy też wyznaczyć długości przekątnych graniastosłupa uzależnione od krawędzi podstawy i kąta, jaki tworzy przekątna z płaszczyzną podstawy, które wyrażają się wzorami:

$D_{1} = \sqrt{4 a^{2} + h^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + (2 a \cdot tg α)^{2}} = 2 a \sqrt{1 + {tg}^{2} α}$ ,

$D_{2} = \sqrt{3 a^{2} + h^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + {(a \sqrt{3} \cdot tg β)}^{2}} = a \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 + t g^{2} β}$ ,

gdzie oczywiście kąty $α$ i $β$ spełniają warunek: $tg β = \frac{2 \sqrt{3}}{3} tg α$ .

Kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny ściany bocznej

RyVS5XBQMeN4D

$γ$ – kąt nachylenia $D_{1}$ dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do ściany bocznej.

Kąt $γ$ otrzymujemy rzutującrzutowanierzutując pod kątem prostym przekątną $D_{1}$ na płaszczyznę ściany bocznej. Otrzymujemy odcinek $x$ , który jest przekątną ściany bocznej. Powstaje wyróżniony na różowo trójkąt prostokątny.

Przykład 1

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny, którego ścianami bocznymi są kwadraty. Wyznacz sumę sinusów kątów nachylenia jego przekątnych do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

R1PYUby6a4tmm

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej a, oraz wysokości równej h. Zapisano równanie h=a. W graniastosłupie zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. Przyprostokątne pierwszego trójkąta stanowi krawędź graniastosłupa oznaczona h, oraz dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa oznaczona małą literą d z indeksem dolnym jeden. Przeciwprostokątna stanowi dłuższą przekątną graniastosłupa, oznaczoną wielką literą D z indeksem jeden. Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy oznaczono alfa. Przyprostokątne drugiego trójkąta stanowi krawędź graniastosłupa oznaczona h, oraz krótsza przekątna podstawy graniastosłupa oznaczona małą literą d z indeksem dolnym dwa. Przeciwprostokątna stanowi krótszą przekątną graniastosłupa, oznaczoną wielką literą D z indeksem dwa. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy oznaczono beta.

Niech $a > 0$ będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa.

Przekątne tego graniastosłupa wynoszą:

$D_{1} = \sqrt{4 a^{2} + h^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{5}$

$D_{2} = \sqrt{3 a^{2} + h^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + a^{2}} = 2 a$

Wyznaczymy sumę sinusów kątów nachylenia jego przekątnych do płaszczyzny podstawy:

$\sin α + \sin β = \frac{a}{a \sqrt{5}} + \frac{a}{2 a} = \frac{5 + 2 \sqrt{5}}{10}$

Odpowiedź: Szukana suma wynosi $\frac{5 + 2 \sqrt{5}}{10}$ .

Przykład 2

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $a$ . Przekątne sąsiednich ścian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka są prostopadłe. Oblicz sumę cosinusów kątów nachylenia jego przekątnych do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

RypDCJfww1KJL

W zadaniu mamy daną krawędź podstawy $a$ .

Wyróżniony na rysunku trójkąt jest prostokątny i równoramienny, stąd $d_{2} = x \sqrt{2}$ oraz wiemy, że $d_{2} = a \sqrt{3}$ .

Możemy wyznaczyć długość odcinka $x$ oraz długość wysokości graniastosłupa $h$ :

$x \sqrt{2} = a \sqrt{3}$

$x = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

$h^{2} = {(\frac{a \sqrt{6}}{2})}^{2} - a^{2}$

$h = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Poszukujemy w zadaniu sumy cosinusów kątów nachylenia przekątnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy:

Wcześniej wyliczymy długości przekątnych:

R11J3aKnV4M47

$D_{1} = \sqrt{4 \cdot a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{4 \cdot a^{2} + \frac{1}{2} a^{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

$D_{2} = \sqrt{3 \cdot a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{3 \cdot a^{2} + \frac{1}{2} a^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2}$

Zgodnie z umieszczonym rysunkiem szukana suma cosinusów wynosi:

$\cos α + \cos β = \frac{d_{1}}{D_{1}} + \frac{d_{2}}{D_{2}} = \frac{2 a}{\frac{3 a \sqrt{2}}{2}} + \frac{a \sqrt{3}}{\frac{a \sqrt{14}}{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{42}}{7} = \frac{14 \sqrt{2} + 3 \sqrt{42}}{21}$

Odpowiedź: Szukana suma cosinusów wynosi $\frac{14 \sqrt{2} + 3 \sqrt{42}}{21}$ .

Przykład 3

Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60 °$ . Przekątna ściany bocznej ma długość $4 \sqrt{10}$ . Oblicz sumę długości krawędzi tego graniastosłupa, długości jego przekątnych oraz sumę kwadratów tangensów kątów nachylenia jego przekątnych do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

RKuXSB3efH1pR

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej a, oraz wysokości równej h. W podstawie graniastosłupa, linią przerywaną zaznaczono sześć trójkątów równobocznych. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne stanowią krawędź boczna oznaczona jako h, oraz krótsza przekątna podstawy oznaczona małą literą d z indeksem dolnym dwa. Przeciwprostokątną stanowi krótsza przekątna graniastosłupa oznaczona wielką literą D z indeksem dwa. Krótsza przekątna podstawy pokrywa się z dwoma wysokościami trójkątów równobocznych o krawędzi a, wykreślonych w podstawie. Kąt znajdujący się naprzeciw przyprostokątnej h wynosi sześćdziesiąt stopni. Zaznaczono przekątną x ściany bocznej. Wszystkie trzy przekątne wychodzą z jednego wierzchołka.

Na rysunku zaznaczono podany kąt $60 °$ .

Przekątna ściany bocznej jest równa $x = 4 \sqrt{10}$ , powstaje układ równań:

$\{\begin{cases} tg 60 ° = \frac{h}{a \sqrt{3}} \\ {(4 \sqrt{10})}^{2} = a^{2} + h^{2} \end{cases}$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$\{\begin{cases} h = 3 a \\ 160 = a^{2} + {(3 a)}^{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} h = 3 a \\ 160 = 10 a^{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} h = 12 \\ a = 4 \end{cases}$

suma długości krawędzi tego graniastosłupa wynosi: $S_{k} = 12 \cdot 4 + 6 \cdot 12 = 120$
przekątna bryły: $D_{1} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 12^{2}} = 4 \sqrt{13}$ , $D_{2} = \sqrt{3 \cdot 4^{2} + 12^{2}} = 8 \sqrt{3}$
tangens nachylenia dłuższej przekątnej do płaszczyzny podstawy $tg α = \frac{h}{2 a} = \frac{12}{8} = 1, 5$

Wyznaczymy sumę kwadratów tangensów kątów nachylenia jego przekątnych do płaszczyzny podstawy:

${tg}^{2} α + {tg}^{2} β = {(1, 5)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 3 + 2, 25 = 5, 25$

Odpowiedź: Szukana suma kwadratów tangensów wynosi $5, 25$ .

Przykład 4

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość $a$ . Płaszczyzna zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, tworzy z krawędzią boczną graniastosłupa kąt $α$ . Oblicz pole i obwód tego przekroju.

Rozwiązanie:

R17uP4REJJcDu

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej a, oraz krawędzi bocznej oznaczonej h. W podstawie graniastosłupa, linią przerywaną zaznaczono sześć trójkątów równobocznych. Z wierzchołka D górnej podstawy wykreślono przekątne x dwóch sąsiednich ścian bocznych. Obie przekątne łączy krótsza przekątna d2 podstawy. Powstał trójkąt równoramienny, z którego wierzchołka opuszczono wysokość y, dzielącą podstawę trójkąta w stosunku jeden do jednego, odpowiednio 12d2 i 12d2. Zaznaczono kąt alfa między wysokością trójkąta y, a krawędzią h graniastosłupa.

W zadaniu mamy daną krawędź podstawy $a$ oraz kąt ostry $α$ – zaznaczony na rysunku.

Aby wyliczyć pole przekroju, którym jest trójkąt równoramienny, musimy znaleźć długość jego podstawy i długość wysokości:

podstawa tego przekroju jest równa $d_{2} = a \sqrt{3}$
wysokość $y$ wyznaczymy za pomocą funkcji trygonometrycznych:

$\sin α = \frac{z}{y} = \frac{a}{2 y}$ , czyli $y = \frac{a}{2 \sin α}$ .

Szukane pole wynosi:

$P_{Δ} = \frac{1}{2} a \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2 \sin α} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4 \sin α}$

Następnie wyznaczymy obwód przekroju. Musimy wyznaczyć długość odcinka $x$ .

$x = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2 \sin α})}^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} a^{2} + \frac{a^{2}}{4 \sin^{2} α}} = \frac{a}{2 \sin α} \sqrt{3 \sin^{2} α + 1}$

Szukany obwód wynosi:

$O b w_{Δ} = a \sqrt{3} + \frac{a}{s i n α} \sqrt{3 \sin^{2} α + 1}$

Odpowiedź: Pole i obwód przekroju wynoszą: $P_{Δ} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4 \sin α}$ , $O b w_{Δ} = a \sqrt{3} + \frac{a}{\sin α} \sqrt{3 \sin^{2} α + 1}$ .

Słownik

przekątna graniastosłupa

każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa

kąt między prostą a płaszczyzną

kąt znajdujący się między tą prostą, a jej rzutem prostokątnymrzut prostokątnyrzutem prostokątnym na płaszczyznę

rzutowanie

przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej na przestrzeń dwuwymiarową; rzutowanie polega na poprowadzeniu prostej przez dany punkt obiektu i znalezieniu punktu wspólnego tej prostej z rzutniąrzutniarzutnią; wyznaczony punkt nazywany jest rzutem, a prosta promieniem rzutującym

rzut prostokątny

rzut równoległy na płaszczyznę, w którym kierunek rzutu jest prostopadły do płaszczyzny rzutów

rzutnia

przestrzeń dwuwymiarowa, na której w wyniku rzutu powstaje odwzorowanie przestrzeni trójwymiarowej, najczęściej jest to płaszczyzna, jednak może nią być również powierzchnia sfery, walca, stożka lub inna

Wprowadzenie

Aplet

Pojęcia wstępne

Kąty nachylenia przekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy

Kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny ściany bocznej

Słownik