Przeczytaj

Jeżeli $a \neq 0$ , $b = c = 0$ , to wzór $f (x) = a x^{2} + b x + c$ przyjmuje postać $f (x) = a x^{2}$ . Można również krótko zapisać $y = a x^{2}$ . Zajmiemy się funkcją opsaną tym wzorem, jej wykresem i własnościami.

jednomian stopnia drugiego

Definicja: jednomian stopnia drugiego

Funkcję kwadratową $y = a x^{2}$ , gdzie $x \in ℝ$ oraz $a$ jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera, nazywać będziemy jednomianem stopnia drugiego (jednomianem kwadratowym).

Sporządźmy w prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji $y = x^{2}$ .

W narysowaniu wykresu pomocna będzie tabelka częściowa - im więcej punktów w tabelce, tym dokładniejszy będzie wykres.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$	$3$
$y = x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0, 25$	$0$	$0, 25$	$1$	$4$	$9$

Przy pomocy tabelki wyznaczyliśmy tylko niektóre wartości jednomianu kwadratowegojednomian kwadratowyjednomianu kwadratowego, a więc znaleźliśmy niektóre punkty wykresu. Ponieważ funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej, więc otrzymane punkty tworzą pewną krzywą.

RB6ZVuEPCloqB

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się x kwadrat będący parabolą z ramionami skierowanymi w górę i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik zero. Wykres funkcji ma tylko jedno miejsce zero i przechodzi przez charakterystyczne punkty, nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu.

Krzywa będąca wykresem funkcji $y = x^{2}$ nazywa się paraboląparabolaparabolą. Do jej wykresu należy punkt $O = (0, 0)$ , będący wierzchołkiem paraboli. Wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, zwane ramionami paraboli. Oś $Y$ jest osią symetrii paraboli.

Przekształćmy wykres funkcji $y = x^{2}$ przez symetrię względem osi $X$ i ustalmy wzór funkcji, której wykres otrzymaliśmy.

Rz2OtVZ9OC55H

W symetrii względem osi $X$ obrazem dowolnego punktu $P = (x, y)$ jest taki punkt
$P^{'}$ , że $P^{'} = (x^{'}, y^{'})$ , gdzie $\{\begin{cases} x^{'} = x \\ y^{'} = - y \end{cases}$ , skąd $\{\begin{cases} x = x^{'} \\ y = - y^{'} \end{cases}$ .

Do wzoru funkcji $y = x^{2}$ w miejsce $x$ podstawiamy $x^{'}$ , a w miejsce $y$ podstawiamy $- y^{'}$ i otrzymujemy wzór $- y^{'} = {(x^{'})}^{2}$ czyli $y = - x^{2}$ . Współczynnik $a$ wynosi $(- 1)$ .

Zwróćmy uwagę, że parabola ma ramiona skierowane w dół.

Sporządźmy jeszcze dwa inne wykresy.

a) $y = - 2 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = - 2 x^{2}$	$- 8$	$- 2$	$- 0, 5$	$0$	$- 0, 5$	$- 2$	$- 8$

R5i158VjHQXMC

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus pięciu do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się minus dwa razy x kwadrat. Wykresem funkcji jest parabola z ramionami skierowanymi w dół oraz z wierzchołkiem w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i przechodzi przez charakterystyczne punkty nawias minus jeden średnik minus dwa koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus dwa koniec nawiasu.

b) $y = \frac{1}{2} x^{2}$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$	$8$	$2$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$	$8$

R1UYShMS0sj4E

Otrzymane krzywe to również parabole. Wartość współczynnika $a$ paraboli $y = a x^{2}$ decyduje o tym, czy ramiona tej paraboli skierowane są w górę $(a > 0)$ , czy w dół $(a < 0)$ .

Porównując wykresy funkcji zauważymy, że funkcje postaci $y = a x^{2}$ , gdy $a > 0$ mają wspólne własności.

Własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a > 0

Własność: Własności funkcji

y = a x^{2}

, gdy

a > 0

Wykresem każdej funkcji jest parabola o wierzchołku $W = (0, 0)$ i ramionach skierowanych ku górze.

Zbiorem wartości funkcji jest zbiór $Z W = ⟨0, + \infty)$ .

Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = 0$ .

Osią symetrii wykresu funkcji (paraboli) jest prosta o równaniu $x = 0$ .

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Funkcja jest malejąca w przedziale $(- \infty, 0)$ , a rosnąca w przedziale $(0, + \infty)$ .

Funkcja osiąga wartość najmniejszą równą $0$ , dla argumentu $0$ . Nie przyjmuje wartości największej. Zbiór wartości funkcji jest ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry.

Funkcja jest parzysta.

Funkcja nie jest różnowartościowa.

Ostatnią własność spróbujemy udowodnić.

Dowód

Funkcja $y = a x^{2}$ nie jest różnowartościowa na zbiorze liczb rzeczywistych

Na początku przypomnijmy definicję funkcji różnowartościowej na zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcja $f : ℝ \to ℝ$ jest różnowartościowa jeżeli dla wszystkich $x_{1}, x_{2} \in ℝ$ prawdziwa jest implikacja:

$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$

Aby wykazać, że funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze $ℝ$ , wystarczy wskazać dwa różne argumenty, dla których odpowiadające im wartości funkcji są równe.

Weźmy na przykład $x_{1} = 1$ i $x_{2} = - 1$ . Jak widzimy $x_{1} \neq x_{2}$ .

Obliczymy teraz $f (x_{1})$ oraz $f (x_{2})$ .

Zauważmy, że

$f (x_{1}) = f (1) = a \cdot 1^{2} = a$ ,

$f (x_{2}) = f (- 1) = a \cdot {(- 1)}^{2} = a$ .

Otrzymaliśmy, że dla różnych argumentów wartości funkcji są równe, więc funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze $ℝ$ .

Analogicznie można opisać własności funkcji $y = a x^{2}$ , gdy $a < 0$ .

Przykład 1

Sprawdźmy, czy punkty $A = (- 4, 64)$ oraz $B = (\frac{1}{4}, 1)$ należą do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

$A = (- 4, 64)$

$y = 4 x^{2}$

$y = 4 \cdot {(- 4)}^{2}$

$y = 4 \cdot 16$

$y = 64$

Punkt $A$ należy do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

$B = (\frac{1}{4}, 1)$

$y = 4 x^{2}$

$y = 4 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2}$

$y = 4 \cdot \frac{1}{16}$

$y = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \neq 1$

Punkt $B$ nie należy do paraboli opisanej równaniem $y = 4 x^{2}$ .

Przykład 2

Wyznaczmy współczynnik $a$ , tak aby punkt o współrzędnych $(2, - 8)$ należał do paraboli $y = a x^{2}$ .

$y = a x^{2}$

$- 8 = a \cdot 2^{2}$

$- 8 = 4 a$

$a = - 2$

Przykład 3

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicujmy wykresy funkcji.

a) $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , $y = x^{2}$ , $y = 2 x^{2}$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

$x$	$- 6$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$6$
$y = \frac{1}{3} x^{2}$	$12$	$3$	$\frac{1}{3}$	$0$	$\frac{1}{3}$	$3$	$12$

$y = x^{2}$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

$y = 2 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$2$
$y = 2 x^{2}$	$8$	$2$	$0, 5$	$0$	$0, 5$	$2$	$8$

Rjs0RXrbbfuNs

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres trzech funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się dwa x kwadrat, druga o równaniu y równa się x kwadrat oraz trzecia o równaniu y równa się jedna trzecia x kwadrat. Wszystkie parabole mają ramiona skierowane w górę i wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu. Druga parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu. Trzecia ostatnia parabola przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy koniec nawiasu, nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu.

b) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2}$ , $y = - 3 x^{2}$

$y = - \frac{1}{2} x^{2}$

$x$	$- 4$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = - \frac{1}{2} x^{2}$	$- 8$	$- 2$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 8$

$y = - x^{2}$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = - x^{2}$	$- 9$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$	$- 9$

$y = - 3 x^{2}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = - 3 x^{2}$	$- 12$	$- 3$	$0$	$- 3$	$- 12$

R1Wu0kCvsimz2

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do dwóch . Na rysunku zaznaczono także wykres trzech funkcji kwadratowych, pierwsza o równaniu y równa się minus trzy x kwadrat, druga o równaniu y równa się minus x kwadrat oraz trzecia o równaniu y równa się minus jedna druga x kwadrat. Wszystkie parabole mają ramiona skierowane w dół i wierzchołek w tym samym punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty nawias minus jeden średnik minus trzy koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik minus trzy koniec nawiasu. Druga parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus cztery koniec nawiasu, nawias minus jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus cztery koniec nawiasu. Trzecia ostatnia parabola przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, nawias dwa średnik minus dwa koniec nawiasu.

Wniosek

Im większa jest wartość bezwzględna współczynnika $a$ , to tym bliżej osi $Y$ znajdują się ramiona paraboli.

Przykład 4

W prostokącie stosunek długości boków jest równy $1 : 3$ . Podajmy wzór funkcji $y = P (x)$ , opisującej pole tego prostokąta, jeżeli $x$ oznacza długość dłuższego boku, wyznaczmy dziedzinę i naszkicujmy wykres.

R1CBMtskIMim4

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach b na a, gdzie b równa się jedna trzecia x, natomiast a równa się x.

Wyznaczmy wzór funkcji. Przyjmujemy, że $a = x$ , oraz $b = \frac{1}{3} x$ .

Pole prostokąta wyraża się wzorem $P = a b$ , więc otrzymujemy wzór funkcji

$y = P (x)$

$y = x \cdot \frac{1}{3} x$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(0, + \infty)$ .

Sporządźmy tabelkę częściową dla tej funkcji.

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{3}$	$3$	$12$

$I$ wykres

Rf8yYvx0TEFia

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do pięciu. Na rysunku zaznaczono wykres funkcji y równa się jedna trzecia x kwadrat w przedziale lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od zero do plus nieskończoności. Parabola ma wierzchołek w punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnego przechodzi przez punkt nawias trzy średnik trzy koniec nawiasu.

Zwróćmy uwagę, że w zagadnieniach praktycznych wykorzystujemy tylko fragment paraboli.

Przykład 5

Do studni wrzucono kamień i usłyszano plusk wody po $3$ sekundach. Jaka jest odległość do lustra wody?

Wykorzystujemy wzór $h (t) = \frac{a t^{2}}{2}$ , gdzie $a$ jest wartością przyspieszenia ziemskiego, stąd $a = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ . Wzór funkcji przyjmuje postać $h (t) = \frac{9, 81 t^{2}}{2}$ . Ponieważ czas lotu wyniósł $3$ sekundy otrzymujemy $h (3) = \frac{9, 81 \cdot 3^{2}}{2}$ , a zatem odległość do lustra wody wynosi około $44, 15$ m.

Parabola, to krzywa będąca zbiorem punktów równoodległych od prostej nazywanej kierownicą paraboli i punktu nazywanego ogniskiem paraboli. Ognisko paraboli to punkt, który leży na osi symetrii paraboli, a kierownica to prosta prostopadła do osi symetrii. Należy również zwrócić uwagę na fakt, że parabola jest krzywą, która posiada stały iloraz odległości od ogniska i kierownicy. Iloraz ten nazywamy mimośrodem i oznaczamy:

$ε = \frac{odległość punktu od ogniska}{odległość punktu od kierownicy}$

Wykres trójmianu kwadratowego $y = a x^{2} + b x + c$ jest parabolą o ognisku w punkcie $S = (\frac{- b}{2 a}, \frac{1 - Δ}{4 a})$ i kierownicy o równaniu $y = \frac{- Δ - 1}{4 a}$ .

Parabola ma mimośród równy $1$ .

Ciekawostka

Wyznaczymy współrzędne ogniska paraboli oraz równanie kierownicy dla funkcji wyrażającej się wzorem $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

Rozwiązanie

$Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)$

$Δ = 9 + 16$

$Δ = 25$

$S = (\frac{- b}{2 a}, \frac{1 - Δ}{4 a})$

$S = (\frac{- 3}{2 \cdot 1}, \frac{1 - 25}{4 \cdot 1})$

$S = (- \frac{3}{2}, - \frac{24}{4})$

$S = (- \frac{3}{2}, - 6)$ - ognisko paraboli

$y = \frac{- Δ - 1}{4 a}$

$y = \frac{- 25 - 1}{4 \cdot 1}$

$y = \frac{- 26}{4}$

$y = - \frac{13}{2}$ - równanie kierownicy

Ciekawostka

Promienie równoległe padające na lustro w kształcie paraboli po odbiciu skupiają się w jednym punkcie - ognisku paraboli. Zjawisko to wykorzystuje się na przykład w antenach satelitarnych.

R5N6UJae1VqKZ

Ilustracja przedstawia zwierciadło w kształcie paraboli leżącej na jednym z ramion. Na zwierciadło padają równoległe promienie, które następnie poprzez zakrzywienie zwierciadła odbijają się od niego i koncentrują w jednym punkcie F.

Natomiast w reflektorach wykorzystuje się własność odwrotną – promienie wychodzące z żarówki umieszczonej w ognisku zwierciadła parabolicznego są równoległe.

Słownik

jednomian kwadratowy

funkcja $y = a x^{2}$ , gdzie $x \in ℝ$ , natomiast $a$ jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera

parabola

krzywa będącą wykresem funkcji kwadratowej

Wprowadzenie

Aplet

Słownik