Przeczytaj

Rozwiązując równania można wykorzystać metodę równań równoważnychrównania równoważnerównań równoważnych. Dwa równania nazwiemy równoważnymi, jeśli mają takie same zbiory rozwiązańzbiory rozwiązań. Chcąc rozwiązać równanie, możemy:

do obu stron równania dodać jednomian;
od obu stron równania odjąć jednomian;
obie strony równania pomnożyć przez liczbę różną od zera lub podzielić przez liczbę różną od zera;
uprościć wyrażenia znajdujące się po każdej stronie równania – opuszczając nawiasy, redukując wyrazy podobne.

Wykonując te operacje staramy się doprowadzić równanie do postaci prostszej, aby uzyskanie rozwiązani było łatwiejsze. W przypadku równań w postaci proporcji rozwiązywanie równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych sprowadza się do uproszczenia proporcji.

Równość postaci

Definicja: Równość postaci

Równość postaci $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$ nazywamy proporcją. Wyrazy $a$ i $d$ nazywamy skrajnymi, natomiast wyrazy $b$ i $c$ środkowymi.

W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli:

R1DgFC4tnIm1E

Ilustracja przedstawia twierdzenie matematyczne, które głosi, że jeżeli a podzielone przez b jest równe c podzielone przez d, to a razy d jest równe b razy c.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie

\frac{2 x + 4}{3} = \frac{x - 3}{2}

Jest to równanie zapisane w postaci proporcji. Skorzystamy z własności proporcji mówiącej, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

2 \cdot (2 x + 4) = 3 \cdot (x - 3)

Pozbywamy się nawiasów.

4 x + 8 = 3 x - 9

Od obydwu stron równania odejmujemy $8$ i jednocześnie odejmujemy $3 x$ .

4 x - 3 x = - 9 - 8

x = - 17

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 17)$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie

\frac{x - 3}{3} + 2 = \frac{x + 4}{6} - \frac{2 x - 3}{2}

Obydwie strony równania mnożymy przez wspólny mianownik ułamków (najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ , $3$ i $6$ ). Będzie to liczba $6$ .

\frac{x - 3}{3} + 2 = \frac{x + 4}{6} - \frac{2 x - 3}{2} | \cdot 6

6 \cdot \frac{x - 3}{3} + 6 \cdot 2 = 6 \cdot \frac{x + 4}{6} - 6 \cdot \frac{2 x - 3}{2}

Skracamy wyrażenia.

2 \cdot (x - 3) + 12 = x + 4 - 3 \cdot (2 x - 3)

Wykonujemy mnożenie i pozbywamy się nawiasów.

2 x - 6 + 12 = x + 4 - 6 x + 9

Redukujemy wyrażenia podobne.

2 x + 6 = - 5 x + 13

Od obydwu stron równania odejmujemy $6$ i jednocześnie dodajemy $5 x$ .

2 x + 5 x = 13 - 6

7 x = 7

Dzielimy obie strony równania przez $7$ .

7 x = 7 | : 7

x = 1

Rozwiązaniem równania jest liczba $1$ .

Przykład 3

Dane są dwie liczby naturalne, których stosunek wielkości jest równy $\frac{1}{2}$ . Oblicz szukane liczby, jeżeli wiadomo, że jedna z nich jest o $4$ większa od drugiej.

Najpierw przeprowadzimy krótką analizę zadania.

Jeżeli:

$x$ – pierwsza liczba,

$x + 4$ – druga liczba.

Możemy zapisać równanie opisujące sytuację w zadaniu:

\frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}

Teraz zajmiemy się rozwiązaniem równania zapisanego w postaci proporcji.

2 x = x + 4

2 x - x = 4

x = 4

Rozwiązaniem równania jest liczba $4$ . Jest to pierwsza szukana liczba. Druga liczba to $8$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $\frac{3}{2 + 3 x} = \frac{- 1}{2 x}$ .

Najpierw wyznaczymy dziedzinę równania $x \in ℝ ∖ \{- \frac{2}{3}, 0\}$ .

Uwzględniając dziedzinę równania zapiszemy $x$ .

3 \cdot 2 x = - 1 \cdot (2 + 3 x)

6 x = - 2 - 3 x

6 x + 3 x = - 2

9 x = - 2

x = - \frac{2}{9}

Słownik

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

każda liczba rzeczywista, która spełnia to równanie

równania równoważne

równania, które posiadają ten sam zbiór rozwiązań

Wprowadzenie

Animacja

Słownik