Odległość między punktami i leżącymi na jednej prostej to długość odcinka , czyli długość najkrótszej krzywej (drogi) od punktu do punktu .
Odległością dwóch liczb na osi liczbowej jest odległość punktów odpowiadających tym liczbom.
Oczywiście odległość punktu od punktu spełnia następujące warunki:
Dla dowolnego punktu : , czyli odległość dowolnego punktu od siebie samego jest równa zeru (tzw. identyczność nierozróżnialnych ).
Dla dowolnych punktów i : , czyli odległość punktu od punktu jest taka sama jak odległość punktu od punktu (tzw. symetria ).
Dla dowolnych punktów : , czyli suma odległości punktów i oraz punktów i jest nie mniejsza niż odległość punktów i (tzw. nierówność trójkąta).
Rozważmy teraz punkty , na osi liczbowej. Mogą one być położone względem zera na różne sposoby.
Jeden z punktów ma współrzędną równą zeru.
Oba punkty mają współrzędne dodatnie.
Punkty mają współrzędne o różnych znakach.
Oba punkty mają współrzędne ujemne.
Przeanalizuj poniższe przykłady:
R1XVIZzHZGmZC
Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Na osi znajdują się liczby z zakresu od minus 5 do osiem. Na osi zaznaczono dwa punkty: A równa się 0 oraz B równa się sześć. Pomiędzy punktami zaznaczono klamrą odległość, wynosi ona sześć.
RgTmJgYlQk8wj
Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Podziałka osi X ma liczby z zakresu od minus 11 do dwa. Na osi zaznaczono dwa punkty: A równa się 0 oraz B równa się minus sześć. Pomiędzy punktami zaznaczono klamrą odległość, wynosi ona sześć.
R1dMtQukeobn7
Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Oś ma liczby z zakresu od minus 3 do siedem. Zaznaczono trzy punkty: punkt zero, punkt A równa się 3, punkt B równa się osiem. Obliczono odległość pomiędzy punktami A i B: .
R11f7DNvmZMRT
Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Na osi znajdują się liczby z zakresu od minus 6 do siedem. Zaznaczono na niej trzy punkty: punkt zero, A równa się minus 3, B równa się cztery. Obliczono odległość pomiędzy punktami A oraz B: .
RdODB3KcnO5Ps
Ilustracja przedstawia poziomą oś liczbową X. Na podziałce osi znajdują się liczby od minus 10 do trzy. Zaznaczono trzy punkty: punkt zero, punkt A równa się minus 9, punkt B równa się minus cztery. Zaznaczono klamrą odległość pomiędzy A i B, następnie ją obliczono: .
Zwróć uwagę, że niezależnie od położenia punktów na osi liczbowej względem zera, odległość między nimi można obliczyć jako wartość bezwzględną różnicy ich współrzędnych.
Zatem dla punktów na osi odległość tych punktów jest równa
W aplecie możesz zmieniać położenie punktów i na osi liczbowej. Obserwuj jak zmienia się wartość odległości między punktami.
RPZaqQjszRX7D
Aplet przedstawia poziomą oś liczbową, oznaczoną jako X. Znajdują się na niej liczby z zakresu od minus 10 do jedenaście. Na osi wybieramy ułożenie punktów A oraz B. Pod osią zapisane są współrzędne wybranych punktów A i B z dokładnością co do części setnych. Zapisana jest również odległość punktów od siebie, jest ona liczona ze wzoru: równa się początek modułu współrzędna punktu A minus współrzędna punktu B koniec modułu. Przykład jeden. oraz . Odległość pomiędzy punktami jest równa . Przykład dwa. oraz . Odległość wynosi: . Przykład trzy. oraz . Odległość pomiędzy punktami wynosi: .
Aplet przedstawia poziomą oś liczbową, oznaczoną jako X. Znajdują się na niej liczby z zakresu od minus 10 do jedenaście. Na osi wybieramy ułożenie punktów A oraz B. Pod osią zapisane są współrzędne wybranych punktów A i B z dokładnością co do części setnych. Zapisana jest również odległość punktów od siebie, jest ona liczona ze wzoru: równa się początek modułu współrzędna punktu A minus współrzędna punktu B koniec modułu. Przykład jeden. oraz . Odległość pomiędzy punktami jest równa . Przykład dwa. oraz . Odległość wynosi: . Przykład trzy. oraz . Odległość pomiędzy punktami wynosi: .