Odległość między punktami A i B leżącymi na jednej prostej to długość odcinka AB, czyli długość najkrótszej krzywej (drogi) od punktu A do punktu B.

Odległością dwóch liczb na osi liczbowej jest odległość punktów odpowiadających tym liczbom.

Oczywiście odległość d(A;B) punktu A od punktu B spełnia następujące warunki:

  • Dla dowolnego punktu A: d(A;A)=0, czyli odległość dowolnego punktu od siebie samego jest równa zeru (tzw. identyczność nierozróżnialnych ).

  • Dla dowolnych punktów A i B: d(A;B)=d(B;A), czyli odległość punktu A od punktu B jest taka sama jak odległość punktu B od punktu A (tzw. symetria ).

  • Dla dowolnych punktów A, B, C: d(A;B)+d(B;C)d(A;C), czyli suma odległości punktów AB oraz punktów BC jest nie mniejsza niż odległość punktów AC (tzw. nierówność trójkąta).

Rozważmy teraz punkty A, B na osi liczbowej. Mogą one być położone względem zera na różne sposoby.

  • Jeden z punktów ma współrzędną równą zeru.

  • Oba punkty mają współrzędne dodatnie.

  • Punkty mają współrzędne o różnych znakach.

  • Oba punkty mają współrzędne ujemne.

Przeanalizuj poniższe przykłady:

R1XVIZzHZGmZC
RgTmJgYlQk8wj
R1dMtQukeobn7
R11f7DNvmZMRT
RdODB3KcnO5Ps

Zwróć uwagę, że niezależnie od położenia punktów na osi liczbowej względem zera, odległość między nimi można obliczyć jako wartość bezwzględną różnicy ich współrzędnych.

Zatem dla punktów na osi A=xA,B=xB odległość tych punktów jest równa d(A;B)=xA-xB

W aplecie możesz zmieniać położenie punktów A i B na osi liczbowej. Obserwuj jak zmienia się wartość odległości między punktami.

RPZaqQjszRX7D
Aplet przedstawia poziomą oś liczbową, oznaczoną jako X. Znajdują się na niej liczby z zakresu od minus 10 do jedenaście. Na osi wybieramy ułożenie punktów A oraz B. Pod osią zapisane są współrzędne wybranych punktów A i B z dokładnością co do części setnych. Zapisana jest również odległość punktów od siebie, jest ona liczona ze wzoru: dA;B równa się początek modułu współrzędna punktu A minus współrzędna punktu B koniec modułu. Przykład jeden. A = -5,31 oraz B = 7,69. Odległość pomiędzy punktami jest równa dA;B = -5,31 - 7,69 = -13 = 13. Przykład dwa. A = 0 oraz B = -10. Odległość wynosi: dA;B = 0 - -10 = 10 = 10. Przykład trzy. A = -2,7 oraz B = -8,4. Odległość pomiędzy punktami wynosi: dA;B = -2,7 - -8,4 = 5,7 = 5,7.
Przykład 1

Obliczymy odległość między punktamiodległość między dwoma punktamiodległość między punktami na osi A=(-12)B=(-17). Odległość ta jest równa d(A;B)=|-12-(-17)|=|-12+17|=|5|=5.

Przykład 2

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru m tak, aby odległość między punktami A=m2, B=5m była równa 6.

Aby wyznaczyć wartości parametru m spełniające warunki zadania wystarczy rozwiązać równanie m2-5m=6 wynikające z powyższego wzoru.

Opuszczając wartość bezwzględną otrzymujemy alternatywę równań:

m2-5m=6 lub m2-5m=-6

m2-5m-6=0 lub m2-5m+6=0

(m-6)(m+1)=0 lub (m-3)(m-2)=0

m=6 lub m=-1 lub m=3 lub m=2

Odp. Odległość między punktami A=m2, B=(5 m) jest równa 6 dla m-1,2,3,6.

Słownik

odległość między dwoma punktami
odległość między dwoma punktami

odległość między punktami A i B leżącymi na jednej prostej to długość odcinka
AB, czyli długość najkrótszej krzywej (drogi) od punktu A do punktu B