Przeczytaj
Przypomnijmy definicję podobieństwa.
Przekształcenie geometryczne, które zachowuje stosunek odległości punktów, nazywamy podobieństwem.
O figurach mających ten sam kształt, a różniących się co najwyżej wielkością mówimy, że są podobnepodobne.
O wielokątach mówimy, że są podobne, jeśli miary ich kątów są odpowiednio równe, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne.
Jeżeli figury i o polach odpowiednio i są podobne w skali , to zachodzi następująca zależność:
Inaczej mówiąc: stosunek pól dwóch figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa.
Trójkąt równoboczny jest podobny do trójkąta równobocznego w skali . Wyznaczymy obwody tych trójkątów i pole trójkąta , jeżeli pole trójkąta jest równe .
Rozwiązanie:
Niech będzie polem trójkąta , a – polem trójkąta .
Korzystając z faktu, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, otrzymujemy zależność:
Niech będzie długością boku trójkąta .
Wówczas:
Zatem obwód trójkąta wynosi:
Do wyznaczenia obwodu trójkąta wykorzystujemy zależność:
Zatem:
.
Obwody czterech czworokątów , , , są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym . Obliczymy obwody i pola tych figur, jeżeli suma ich obwodów wynosi , a pole czworokąta o obwodzie wynosi .
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika zależność:
Ponieważ liczby te są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym , to zachodzi następująca zależność:
Zatem
Zauważmy, że:
.
Dany jest trapez równoramienny o podstawach długości i , gdzie . Wykażemy, że jeśli punkt jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu to .
Rozwiązanie:
Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:
Ponieważ , zatem z własności kątów przy prostych równoległych:
oraz
Dodatkowo z własności kątów wierzchołkowych:
Wobec tego trójkąty i są podobne na podstawie cechy podobieństwa .
Jeżeli i , to:
Czyli .
Zatem:
.
Pole powierzchni Polski wynosi około . Wyznaczymy pole obszaru odpowiadającego polu powierzchni Polski, znajdującego się na mapie wykonanej w skali .
Rozwiązanie:
Niech
– pole obszaru, odpowiadającego polu powierzchni Polski, na mapie wykonanej w skali .
Wobec tego:
Zatem:
Pole obszaru odpowiadającego polu powierzchni Polski na mapie wykonanej w skali wynosi około .
Wiadomo, że suma pól dwóch figur podobnych wynosi . Obliczymy pola tych figur, jeżeli wiadomo, że skala podobieństwa tych figur wynosi .
Rozwiązanie:
Niech i będą polami dwóch figur podobnych.
Do wyznaczenia wartości i rozwiązujemy układ równań:
Układ równań przekształcamy do postaci:
Wobec tego:
Zatem:
Pola tych figur wynoszą odpowiednio i .
Trapez prostokątny o podstawach długości i oraz krótszym ramieniu równym podzielono odcinkiem równoległym do podstaw na dwa trapezy podobne. Wyznaczymy pola tych trapezów, jeżeli pole trapezu przed podziałem wynosi .
Rozwiązanie:
Narysujmy trapez prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.
Ponieważ trapezy i są podobne, zatem zachodzi następująca zależność:
Wobec tego , czyli .
Skala podobieństwa trapezów i wynosi:
Jeżeli oraz są odpowiednio polami trapezów i , to:
Obliczamy pole trapezu :
Ponieważ , zatem:
Wobec tego pola trapezów i wynoszą:
Uwaga - spróbuj pola trapezów z powyższego przykładu wyznaczyć, bez obliczania długości boku a.
Dany jest równoległobok , którego boki mają długości i , gdzie , a kąt między tymi bokami ma miarę . Równoległobok o polu równym jest podobny do równoległoboku . Obliczymy obwód równoległoboku .
Rozwiązanie:
Narysujmy równoległoboki i , które są podobne oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.
Niech będzie polem równoległoboku . Zatem:
Niech () będzie skalą podobieństwa równoległoboku do równoległoboku .
Wtedy .
, czyli
Wobec tego długości boków równoległoboku wynoszą:
Zatem obwód równoległoboku wynosi:
Słownik
figury, dla których istnieje podobieństwo, przekształcające jedną figurę na drugą