Przeczytaj

W poniższym materiale pokażemy całą kolekcję nierówności trygonometrycznych, do rozwiązania których będziemy wykorzystywać wszystkie poznane dotychczas wzory i metody.

Przypomnijmy najpierw najbardziej typowe strategie rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

Zawsze na początku piszemy, co jest dziedziną nierówności, czyli jaki jest zbiór elementów, dla których nierówność ma sens.
Każdą nierówność staramy się sprowadzić do postaci: $\sin x > a$ , $\cos x > a$ lub $tg x > a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Bardzo wygodną postacią nierówności, która ułatwia rozwiązanie, jest taka postać, w której po jednej stronie nierówności znajduje się iloczyn wyrażeń trygonometrycznych, a po drugiej liczba $0$ .
Częstym motywem dla bardziej złożonych nierówności jest wprowadzenie podstawienia, które sprowadza nierówność trygonometryczną do postaci nierówności kwadratowej, wielomianowej lub wymiernej.
W bardziej złożonych zadaniach musimy skorzystać z poznanych wzorów na: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych.

Przykład 1

Wiadomo, że $\cos 2 x \leq - \frac{7}{8}$ i $\cos x \leq - \frac{1}{4}$ . Obliczymy $\sin \frac{x}{2}$ .

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta zapisujemy jedną z naszych nierówności w innej postaci:

$2 \cos^{2} x - 1 \leq - \frac{7}{8}$ .

Robimy podstawienie: $y = \cos x$ .

Zapisujemy nierówności z nową zmienną:

$2 y^{2} - 1 \leq - \frac{7}{8}$ oraz $y \leq - \frac{1}{4}$ .

Nierówność $2 y^{2} - 1 \leq - \frac{7}{8}$ zapisujemy jako: $2 y^{2} \leq \frac{1}{8}$ .

Stąd dostajemy $- \frac{1}{4} \leq y \leq \frac{1}{4}$ .

Zatem mamy koniunkcję dwóch nierówności:

$y \geq - \frac{1}{4}$ i $y \leq - \frac{1}{4}$ , co oznacza, że:

$y = - \frac{1}{4}$ .

Korzystamy ponownie ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy:

$\sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - y}{2} = \frac{10}{16}$ .

Zatem dostajemy odpowiedź:

$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ lub $\sin \frac{x}{2} = - \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartości liczbowe, które może przyjmować $tg x$ , jeżeli zachodzi nierówność: $tg x > \frac{9 - 3 \cos 2 x}{3 \sin 2 x - 2}$ .

Rozwiązanie

Zakładamy, że: $3 \sin 2 x - 2 \neq 0, \cos x \neq 0$ .

Zapiszemy wzory na cosinus i sinus podwojonego kąta za pomocą funkcji tangens:

$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos^{2} x + \sin^{2} x} = \frac{1 - {tg}^{2} x}{1 + {tg}^{2} x}$ ,

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^{2} x + \sin^{2} x} = \frac{2 tg x}{1 + {tg}^{2} x}$ .

Podstawiamy: $t = tg x$ .

Wówczas nierówność z zadania przyjmuje postać:

$t > \frac{9 - 3 \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{3 \frac{2 t}{1 + t^{2}} - 2}$ .

Przekształcamy kolejno do postaci nierówności wielomianowej:

$t > \frac{6 t^{2} + 3}{- t^{2} + 3 t - 1}$ ,

$t + \frac{6 t^{2} + 3}{t^{2} - 3 t + 1} > 0$ ,

$\frac{(t + 3) (t^{2} + 1)}{t^{2} - 3 t + 1} > 0$ ,

$(t + 3) (t^{2} + 1) (t^{2} - 3 t + 1) > 0$ ,

$(t + 3) (t - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) (t - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}) > 0$ .

Wówczas nierówność jest równoważna alternatywie warunków:

$- 3 < t < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ lub $t > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Stąd otrzymujemy warunki na $tg x$ :

$- 3 < tg x < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ lub $tg x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\sin 2 x - \cos x + \sqrt{2} \sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątawzoru na sinus podwojonego kąta zapisujemy naszą nierówność w innej postaci:

$2 \sin x \cos x - \cos x + \sqrt{2} \sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę:

$2 \sin x \cos x - \cos x + \sqrt{2} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ .

Zauważmy, że mamy parzystą liczbę składników a pewne wspólne czynniki występują w parach. Wyłączamy zatem wspólne czynniki przed nawias:

$2 \cos x (\sin x - \frac{1}{2}) + \sqrt{2} (\sin x - \frac{1}{2}) > 0$ .

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy postać iloczynową nierówności:

$(2 \cos x + \sqrt{2}) (\sin x - \frac{1}{2}) > 0$ .

Stąd otrzymujemy alternatywę warunków:

( $\sin x > \frac{1}{2}$ i $\cos x > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ) lub ( $\sin x < \frac{1}{2}$ i $\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ).

Pierwszy warunek $\sin x > \frac{1}{2}$ i $\cos x > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest równoważny warunkowi $\sin x > \frac{1}{2}$ , czyli $x \in (\frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{6} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Drugi warunek $\sin x < \frac{1}{2}$ i $\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest równoważny warunkowi $\cos x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , czyli $x \in (\frac{3 π}{4} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwzględniając alternatywę powyższych warunków otrzymujemy odpowiedź: $x \in (\frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 4

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność $\cos (\sin x) > \sin (\cos x)$ .

Rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę nierówności:

$\cos (\sin x) - \sin (\cos x) > 0$ .

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\sin (\frac{π}{2} - \sin x) - \sin (\cos x) > 0$ .

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów i zapisujemy nierówność w postaci:

$2 \sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} \cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówwzoru na sinus sumy argumentów i w innej postaci zapisujemy wyrażenie $\sin x + \cos x$ :

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x) =$

$= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin x + \sin \frac{π}{4} \cos x) = \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} + x)$ .

Stąd otrzymujemy szacowanie:

$- \sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ .

Ponieważ $\sqrt{2} < \frac{π}{2}$ , otrzymujemy nierówności: $0 < \frac{π}{2} - \sin x - \cos x < π$ .

Funkcja sinus w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ przyjmuje wartości dodatnie, zatem $\sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} > 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy argumentówsinus różnicy argumentówwzoru na sinus różnicy argumentów i w innej postaci zapisujemy wyrażenie $\sin x - \cos x$ :

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x) =$

$= \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} \sin x - \sin \frac{π}{4} \cos x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Stąd otrzymujemy szacowanie:

$- \sqrt{2} \leq \sin x - \cos x \leq \sqrt{2}$ .

Ponieważ $\sqrt{2} < \frac{π}{2}$ , więc $0 < \frac{π}{2} - \sin x + \cos x < π$ , czyli

$0 < \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} < \frac{π}{2}$ .

Funkcja cosinus w przedziale $(0, \frac{π}{2})$ przyjmuje wartości dodatnie, zatem $\cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ .

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą nierówności $\cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ i $\sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} > 0$ , zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność:

$2 \sin \frac{\frac{π}{2} - \sin x - \cos x}{2} \cos \frac{\frac{π}{2} - \sin x + \cos x}{2} > 0$ .

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność: $\cos (\sin x) > \sin (\cos x)$ .

Słownik

sinus sumy argumentów

$\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

sinus różnicy argumentów

$\sin (x - y) = \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

sinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

wzory na sumę oraz różnicę sinusów

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cdot \cos \frac{x + y}{2}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik