Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z animacją. Zwróć szczególną uwagę na ostatni przykład pokazany w animacji. Następnie wykonaj polecenie 2.

RwYXbqQM2oEZE

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej różnych typów nierówności trygonometrycznych.

Polecenie 2

Załóżmy, że $α, β \in (0, \frac{π}{4})$ , $γ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ oraz $α + β + γ = 0$ . Udowodnij, że $tg α + tg β + tg γ < 0$ .

Na początek wykorzystamy związek między kątami $γ = - α - β$ :

$tg α + tg β + tg γ = tg α + tg β + tg (- α - β) = tg α + tg β - tg (α + β)$ .

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

$tg α + tg β - tg (α + β) = tg α + tg β - \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} =$

$= (tg α + tg β) (1 - \frac{1}{1 - tg α tg β}) = (tg α + tg β) \frac{- tg α tg β}{1 - tg α tg β}$ .

Ponieważ $α, β \in (0, \frac{π}{4})$ , więc $0 < tg α < 1$ i $0 < tg β < 1$ .

Zatem

$tg α + tg β > 0$ ,

$- tg α tg β < 0$

$1 - tg α tg β > 0$ .

Stąd $(tg α + tg β) \frac{- tg α tg β}{1 - tg α tg β} < 0$ , co kończy dowód.

Przeczytaj