Rozwiąż nierówność: 1 − 4 sin 2 x cos 2 x + cos x ≤ 2 .
Założenia: cos2x+cosx≠0.
1 − 4 ( 1 − cos 2 x ) 2 cos 2 x − 1 + cos x ≤ 2
Podstawmy y=cosx.
1-41-y22y2-1+y≤2
y+12(y+1)y-12≥0
-1<y≤-12 lub y>12
-1<cosx≤-12 lub cosx>12
Odpowiedź: ⟨2π3+2kπ,π+2kπ)∪(π+2kπ,4π3+2kπ⟩∪(-π3+2kπ,π3+2kπ), gdzie k∈ℤ.
Załóżmy, że 0<α1<α2<⋯<αn<π2. Wykaż, że
tg α 1 < sin α 1 + sin α 2 + ⋯ + sin α n cos α 1 + cos α 2 + ⋯ + cos α n < tg α n .
Ponieważ 0<α1<α2<⋯<αn<π2, to z monotoniczności funkcji sinus i cosinus wynikają nierówności:
0<sinα1<sinα2<⋯<sinαn<1
1>cosα1>cosα2>⋯>cosαn>0
Zatem możemy dokonać szacowań:
nsinα1<sinα1+sinα2+⋯+sinαn<nsinαn
ncosαn<cosα1+cosα2+⋯+cosαn<ncosα1
1ncosα1<1cosα1+cosα2+⋯+cosαn<1ncosαn
Mnożąc stronami nierówności, otrzymujemy tezę.