Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RmmoF9wpuNfuj1

Ćwiczenie 1

R1HZooGAtKTN51

Ćwiczenie 2

Rdf7TcYKfuR5U1

Ćwiczenie 3

Rz2zYMxFFJSZA2

Ćwiczenie 4

RjlDvaQhQIBgc2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary: nierówność i jej rozwiązanie. kosinus nawias, dwa x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. sinus trzy x, większy niż, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. sinus nawias, dwa x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, większy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. sinus dwa x, mniejszy niż, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. tangens nawias, dwa x, plus, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, większy równy, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite. tangens nawias, dwa x, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, k PI zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 2. nawias, minus, początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 3. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa k PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 4. nawias ostry, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 5. nawias, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, k PI, przecinek, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite., 6. nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, plus, początek ułamka, k PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, gdzie k, należy do, liczby całkowite.

RAP575jjY4bUF2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rozwiąż nierówność: $\frac{1 - 4 \sin^{2} x}{\cos 2 x + \cos x} \leq 2$ .

Założenia: $\cos 2 x + \cos x \neq 0$ .

$\frac{1 - 4 (1 - \cos^{2} x)}{2 \cos^{2} x - 1 + \cos x} \leq 2$

Podstawmy $y = \cos x$ .

$\frac{1 - 4 (1 - y^{2})}{2 y^{2} - 1 + y} \leq 2$

$\frac{y + \frac{1}{2}}{(y + 1) (y - \frac{1}{2})} \geq 0$

$- 1 < y \leq - \frac{1}{2}$ lub $y > \frac{1}{2}$

$- 1 < \cos x \leq - \frac{1}{2}$ lub $\cos x > \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $⟨ \frac{2 π}{3} + 2 k π, π + 2 k π) \cup (π + 2 k π, \frac{4 π}{3} + 2 k π ⟩ \cup (- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ćwiczenie 8

Załóżmy, że $0 < α_{1} < α_{2} < \dots < α_{n} < \frac{π}{2}$ . Wykaż, że

$tg α_{1} < \frac{\sin α_{1} + \sin α_{2} + \dots + \sin α_{n}}{\cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n}} < tg α_{n}$ .

Ponieważ $0 < α_{1} < α_{2} < \dots < α_{n} < \frac{π}{2}$ , to z monotoniczności funkcji sinus i cosinus wynikają nierówności:

$0 < \sin α_{1} < \sin α_{2} < \dots < \sin α_{n} < 1$

$1 > \cos α_{1} > \cos α_{2} > \dots > \cos α_{n} > 0$

Zatem możemy dokonać szacowań:

$n \sin α_{1} < \sin α_{1} + \sin α_{2} + \dots + \sin α_{n} < n \sin α_{n}$

$n \cos α_{n} < \cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n} < n \cos α_{1}$

$\frac{1}{n \cos α_{1}} < \frac{1}{\cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n}} < \frac{1}{n \cos α_{n}}$

Mnożąc stronami nierówności, otrzymujemy tezę.

Animacja

Dla nauczyciela