Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RmmoF9wpuNfuj1

Ćwiczenie 1

R1HZooGAtKTN51

Ćwiczenie 2

Rdf7TcYKfuR5U1

Ćwiczenie 3

Rz2zYMxFFJSZA2

Ćwiczenie 4

RjlDvaQhQIBgc2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary: nierówność i jej rozwiązanie.

\cos (2 x + \frac{π}{6}) < - \frac{\sqrt{3}}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 2.

(- \frac{2 π}{3} + k π, \frac{π}{6} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 3.

(\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3})

, gdzie

k \in ℤ

., 4.

⟨ - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

., 5.

(\frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 6.

(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

\sin 3 x > \frac{\sqrt{2}}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 2.

(- \frac{2 π}{3} + k π, \frac{π}{6} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 3.

(\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3})

, gdzie

k \in ℤ

., 4.

⟨ - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

., 5.

(\frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 6.

(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

\sin (2 x + \frac{π}{3}) > - \frac{1}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 2.

(- \frac{2 π}{3} + k π, \frac{π}{6} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 3.

(\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3})

, gdzie

k \in ℤ

., 4.

⟨ - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

., 5.

(\frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 6.

(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

\sin 2 x < \frac{\sqrt{3}}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 2.

(- \frac{2 π}{3} + k π, \frac{π}{6} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 3.

(\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3})

, gdzie

k \in ℤ

., 4.

⟨ - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

., 5.

(\frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 6.

(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

tg (2 x + \frac{π}{3}) \geq 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 2.

(- \frac{2 π}{3} + k π, \frac{π}{6} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 3.

(\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3})

, gdzie

k \in ℤ

., 4.

⟨ - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

., 5.

(\frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 6.

(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

tg (2 x - \frac{π}{6}) < - \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- \frac{π}{4} + k π, \frac{5 π}{12} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 2.

(- \frac{2 π}{3} + k π, \frac{π}{6} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 3.

(\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3})

, gdzie

k \in ℤ

., 4.

⟨ - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

., 5.

(\frac{π}{3} + k π, \frac{π}{2} + k π)

, gdzie

k \in ℤ

., 6.

(- \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2})

, gdzie

k \in ℤ

RAP575jjY4bUF2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Rozwiąż nierówność: $\frac{1 - 4 \sin^{2} x}{\cos 2 x + \cos x} \leq 2$ .

Założenia: $\cos 2 x + \cos x \neq 0$ .

$\frac{1 - 4 (1 - \cos^{2} x)}{2 \cos^{2} x - 1 + \cos x} \leq 2$

Podstawmy $y = \cos x$ .

$\frac{1 - 4 (1 - y^{2})}{2 y^{2} - 1 + y} \leq 2$

$\frac{y + \frac{1}{2}}{(y + 1) (y - \frac{1}{2})} \geq 0$

$- 1 < y \leq - \frac{1}{2}$ lub $y > \frac{1}{2}$

$- 1 < \cos x \leq - \frac{1}{2}$ lub $\cos x > \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $⟨ \frac{2 π}{3} + 2 k π, π + 2 k π) \cup (π + 2 k π, \frac{4 π}{3} + 2 k π ⟩ \cup (- \frac{π}{3} + 2 k π, \frac{π}{3} + 2 k π)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ćwiczenie 8

Załóżmy, że $0 < α_{1} < α_{2} < \dots < α_{n} < \frac{π}{2}$ . Wykaż, że

$tg α_{1} < \frac{\sin α_{1} + \sin α_{2} + \dots + \sin α_{n}}{\cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n}} < tg α_{n}$ .

Ponieważ $0 < α_{1} < α_{2} < \dots < α_{n} < \frac{π}{2}$ , to z monotoniczności funkcji sinus i cosinus wynikają nierówności:

$0 < \sin α_{1} < \sin α_{2} < \dots < \sin α_{n} < 1$

$1 > \cos α_{1} > \cos α_{2} > \dots > \cos α_{n} > 0$

Zatem możemy dokonać szacowań:

$n \sin α_{1} < \sin α_{1} + \sin α_{2} + \dots + \sin α_{n} < n \sin α_{n}$

$n \cos α_{n} < \cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n} < n \cos α_{1}$

$\frac{1}{n \cos α_{1}} < \frac{1}{\cos α_{1} + \cos α_{2} + \dots + \cos α_{n}} < \frac{1}{n \cos α_{n}}$

Mnożąc stronami nierówności, otrzymujemy tezę.

Animacja

Dla nauczyciela