Warto przeczytać

Ruch obrotowy bryły sztywnejbryła sztywnabryły sztywnej może być bardzo prosty w opisie, ale może też być bardzo złożony. Płyta gramofonowa czy płyta CD, to cienki walec, obracający się dookoła osi przechodzącej przez środek masy. Księżyc to też bryła sztywna. Obraca się on dookoła własnej osi, obracając się jednocześnie dookoła Ziemi, i krążąc razem z Ziemią wokół Słońca. Niezależnie jednak od tego, czy opisujemy prosty ruch dookoła jednej osi, czy złożony ruch dookoła kilku osi, podstawowe definicje pozostają takie same. Przyjrzyjmy im się.

Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego stwierdza, że jeżeli do ciała nie są przyłożone żadne momenty siłmoment siłymomenty sił lub przyłożone momenty się równoważą, to ciało to obraca się jednostajnie ruchem obrotowym, nie doznając przyspieszenia kątowego. Oznacza to, że jego prędkość kątowa $\vec{\omega}$ jest stała w czasie.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego stwierdza, że jeżeli do bryły o momencie bezwładnościmoment bezwładnościmomencie bezwładności $I$ przyłożony jest wypadkowy moment siły $\vec{M}$, to bryła to obraca się z przyspieszeniem kątowym $\vec{\varepsilon}$ proporcjonalnym do wartości tego momentu siły i odwrotnie proporcjonalnym do momentu bezwładności, czyli $\vec{\varepsilon}=\frac{\vec{M}}{I}$.

Jednocześnie wiemy z definicji, jakie są relacje pomiędzy przyspieszeniem kątowym, prędkością kątową oraz zmianą kąta:

gdzie $\vec{i}_{\omega}$ jest wersorem określającym kierunek osi obrotu. Przyjmując, że wartość wypadkowego momentu siły oraz momentu bezwładności bryły są stałe, otrzymamy następujące równania ruchu obrotowego jednostajnie przyspieszonego:

Wykresy tych funkcji zaprezentowano na Rys. 1.

R1Rjr4Kew8WbR

Rys. 1. Ilustracja składa się z trzech wykresów. Na każdym wykresie na osi poziomej odłożono czas oznaczony literą małe t. Na osi pionowej pierwszego wykresu odłożono przyspieszenie kątowe oznaczone grecką literą epsilon. Wykres zależności przyspieszenia kątowego od czasu jest poziomą linią prostą, która przecina oś pionową w punkcie leżącym powyżej osi poziomej o współrzędnej oznaczonej grecką literą epsilon z indeksem dolnym zero. Zapisano równanie: grecka litera epsilon równa się wielkie M dzielone przez wielkie i. Na osi pionowej drugiego wykresu odłożono prędkość kątową oznaczoną grecką literą omega. Wykres zależności prędkości kątowej od czasu jest ukośną linią prostą skierowana w górę i w prawo, która przecina oś pionową w punkcie o współrzędnej oznaczonej grecką literą omega z indeksem dolnym zero. Zapisano równanie: grecka litera omega równa się omega z indeksem dolnym zero plus epsilon z indeksem dolnym zero razy małe t. Na osi pionowej trzeciego wykresu odłożono kąt obrotu oznaczony grecką literą alfa. Wykres zależności kąta obrotu od czasu jest parabolą, która zaczyna się w punkcie na osi pionowej leżącym powyżej osi poziomej i oznaczonym grecką literą alfa z indeksem dolnym zero. Minimum paraboli leży na prawo od osi pionowej. Zapisano równanie: grecka litera alfa równa się alfa z indeksem dolnym zero plus omega z indeksem dolnym zero razy małe t plus epsilon z indeksem dolnym zero razy małe t do kwadratu dzielone przez dwa.

Opisując ruch obrotowy bryły sztywnej stosuje się pojęcie częstotliwości obrotów. Ta wielkość odpowiada na pytanie, ile pełnych obrotów wykonuje ciało w jednostce czasu. Związek między częstotliwością, a prędkością kątową jest następujący:

Przykładowo – Ziemia obraca się dookoła własnej osi z częstotliwością jednego obrotu na dobę. Jaka jest jej prędkość kątowa?$\omega =2\pi f=\frac{1\cdot 2\pi }{24\cdot 60\cdot 60s}\approx 0,0000116\frac{\mathrm{\text{rad}}}{s}=11,6{10}^{-6}\frac{\mathrm{\text{rad}}}{s}=11,6\frac{\mathrm{\text{µrad}}}{s}$.

We wspomnianym filmie „Interstellar” słyszymy w dialogu, że stacja kosmiczna, do której chcą zadokować bohaterowie obraca się z prędkością „68 rpm”. „Rpm” to angielski skrót od „round per minute”, czyli liczba obrotów na minutę. Dzieląc 68 obrotów na minutę przez 60 otrzymamy liczbę obrotów na sekundę (około 1,1(3)), a mnożąc przez kąt pełny otrzymamy wynik w radianach na sekundę:

Przyjmując, że kabina pilotów znajduje się w odległości 3 metrów od osi obrotu statku, możemy obliczyć, z jaką prędkością liniową się poruszali

oraz jakiego doznawali przeciążenia (w przeliczeniu na g, czyli przyspieszenie ziemskie, równe $9,81\frac{m}{s^2}$):

To bardzo duża wartość, która tłumaczy utratę przytomności przez jedną z osób na pokładzie. Ale jak właściwie wprawiono statek w ruch obrotowy? W przestrzeni kosmicznej promy kosmiczne, sondy czy satelity, wyposażone są w silniki manewrowe, tworzące System Sterowania Reakcyjnego, będący częścią Orbitalnego Systemu Manewrowego. Składa się on z serii silników o małej mocy, rozmieszczonych w różnych częściach statku, których dysze skierowane są pod różnymi kątami. W efekcie włączenie określonego silnika powoduje powstanie momentu siły, umożliwiającego wykonanie manewru. Włączenie silników powodujących wzajemnie znoszące się momenty sił nie powoduje obrotu, ale przemieszczenie statku. Również kombinezony astronautów przeznaczone do „kosmicznego spaceru” wyposażone są w analogiczny system, pozwalający obrócić się lub przemieścić w przestrzeni kosmicznej.

R1LdN12NvO6ab

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia mały fragment sondy kosmicznej, do której przymocowany jest System Sterowania Reakcyjnego. Jest to element o kształcie zbliżonym do prostopadłościanu, z którego czterech ścian wychodzą w różnych kierunkach cztery dysze.

Słowniczek