Przesuniemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{3}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[2;0\right]$.

Wzór funkcji po przesunięciu ma postać: $g\left(x\right)=\frac{3}{x-2}$.

R1CGg5Re83swO

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji $g\left(x\right)$, który powstał po przesunięciu wykresu funckji $f\left(x\right)=\frac{3}{x}$ o zadany wektor. Wykres funkcji $f\left(x\right)$ stanowi hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres $g\left(x\right)$ stanowi przesunięcie wykresu $f\left(x\right)$ o wektor $\left[2,0\right]$, czyli dwie jednostki w prawo. Wykres przebiega przez punkt $A$ o współrzędnych $\left(0;1,5\right)$. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową $x=2$.

Wypiszemy  własności funkcji $g$.

• $D_g=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$

• Punkt przecięcia wykresu funkcji $g$ z osią $Y$: $\left(0;-1,5\right)$

• Funkcja $g$ jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;2\right)$, $\left(2;\infty \right)$

• Asymptota: Asymptotaasymptota pionowa $x=2$

• Wykres funkcji $g$ jest symetryczny względem punktu $\left(2;0\right)$

Wyznaczymy wektor o jaki należy przesunąć wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}$, aby otrzymać wykres funkcji:

a) $g\left(x\right)=-\frac{1}{x+4}$

b) $g\left(x\right)=-\frac{1}{x-5}$

Rozwiązanie:

Skoro wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{a}{x-p}$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[p;0\right]$, to:

a) $x-p=x+4$, czyli $p=-4$, $\overrightarrow{v}=\left[-4;0\right]$

b) $x-p=x-5$, czyli $p=5$, $\overrightarrow{v}=\left[5;0\right]$

Wyznaczymy wektor, o jaki został przesunięty wzdłuż osi $X$, wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, jeśli w wyniku przesunięcia powstał wykres  funkcji g, której dziedzina to $D_g=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3\right\}$.

Rozwiązanie:

Jeśli $D_g=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3\right\}$, to wzór funkcji $g$ ma postać $g\left(x\right)=-\frac{3}{x+3}$, czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o wektor $\overrightarrow{v}=\left[-3;0\right]$.

Wyznaczymy wektor, o jaki został przesunięty wzdłuż osi $X$, wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{6}{x}$, jeśli w wyniku przesunięcia powstał wykres  funkcji $g$, która jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;5\right)$, $\left(5;\infty \right)$.

Rozwiązanie:

Jeśli funkcja $g$ jest malejąca w podanych przedziałach, to wzór funkcji $g$ ma postać $g\left(x\right)=\frac{6}{x-5}$, czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o wektor $\overrightarrow{v}=\left[5;0\right]$.

Wyznaczymy wektor o jaki należy przesunąć wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{7}{x+2}$, aby otrzymać wykres funkcji:

a) $g\left(x\right)=\frac{7}{x-2}$

b) $g\left(x\right)=\frac{7}{x+5}$

Rozwiązanie:

Skoro wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{a}{x-p}$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[p;0\right]$, to:

a) $x+2-p=x-2$, czyli $p=4$, $\overrightarrow{v}=\left[4;0\right]$

b) $x+2-p=x+5$, czyli $p=-3$, $\overrightarrow{v}=\left[-3;0\right]$

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera; asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji