Rozpatrujemy wszystkie $9$–cyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej $6$.
Ile jest wśród nich takich liczb, które w zapisie dziesiętnym mają wyłącznie cyfry parzyste?

Rozwiązanie

Rozpatrzmy równanie
$2\left(x_1+1\right)+2x_2+2x_3+2x_4+2x_5+2x_6+2x_7+2x_8+2x_9=6$,
w którym każda z liczb $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$ jest nieujemną liczbą całkowitą.
Wówczas:

• liczba $2\left(x_1+1\right)$ spełnia warunek $2\le 2\left(x_1+1\right)\le 6$,

• każda z liczb $x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$ spełnia warunek $0\le 2x_i\le 4$, gdzie $i=2,3,4,5,6,7,8,9$.

Wtedy liczba, której kolejnymi cyframi są $2\left(x_1+1\right),2x_2,2x_3,2x_4,2x_5,2x_6,2x_7,2x_8,2x_9$ jest $9$–cyfrowa i spełnia warunki zadania.
Oznacza to, że każdej rozpatrywanej liczbie, w której zapisie występują jedynie cyfry parzyste można wzajemnie jednoznacznie przypisać $9$–elementowy ciąg $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9\right)$ liczb nieujemnych.
Równanie, które spełniają te liczby
$2\left(x_1+1\right)+2x_2+2x_3+2x_4+2x_5+2x_6+2x_7+2x_8+2x_9=6$
przekształcamy jak poniżej
$\left(x_1+1\right)+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=3$.

Stąd otrzymujemy, że wszystkich rozpatrywanych liczb jest tyle, ile jest rozwiązań równania
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=2$
w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$.

Każde poszczególne rozwiązanie powyższego równania, a więc jednocześnie: każdą liczbę $9$–cyfrową o cyfrach parzystych i sumie cyfr równej $6$, możemy przedstawić jako rozmieszczenie $2$ nierozróżnialnych obiektów w $9$ ponumerowanych pudełkach.
Takie rozmieszczenie zilustrujemy graficznie, używając przegródek '$|$' do pokazania zawartości kolejnych pudełek, w których rozmieszczamy dwa obiekty  przedstawione za pomocą symbolu kropki ‘$\bullet$’.

Np. rozwiązanie, w którym
$x_1=0,x_2=0,x_3=1,x_4=0,x_5=1,x_6=0,x_7=0,x_8=0,x_9=0$
(jest to przedstawienie liczby $202020000$) ma następującą ilustrację graficzną
$| | |\bullet | |\bullet | | | | |$, 
natomiast ilustracja
$|\bullet \bullet | | | | | | | | |$
przedstawia rozwiązanie równania, w którym $x_1=2,x_2=0,x_3=0,x_4=0,x_5=0,x_6=0,x_7=0,x_8=0,x_9=0$ (jest to przedstawienie liczby $600000000$).

Zauważmy, że dla jednoznacznego przedstawienia rozdziału $2$ obiektów '$\bullet$' w $9$ ponumerowanych pudełkach można pominąć obie skrajne przegródki. 
Wtedy ilustrację rozwiązania, w którym
$x_1=0,x_2=0,x_3=1,x_4=0,x_5=1,x_6=0,x_7=0,x_8=0,x_9=0$
przedstawimy jako $10$–elementowy ciąg
$\left|\right|\bullet \left|\right|\bullet \left|\right|\left|\right|$,
a $10$–elementowy ciąg
$\bullet \bullet \left|\right|\left|\right|\left|\right|\left|\right|$

przedstawia rozwiązanie równania, w którym
$x_1=2,x_2=0,x_3=0,x_4=0,x_5=0,x_6=0,x_7=0,x_8=0,x_9=0$.

Rozpatrzmy więc dowolny $10$–elementowy ciąg, składający się z $8$ przegródek ($|$) oraz dwóch kropek ($\bullet$).

Przyjmujemy oznaczenia:
$x_1$ to liczba kropek ($\bullet$) ustawionych przed pierwszą (patrząc od lewej) przegródką,
$x_2$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $1$ i przed przegródką numer $2$,
$x_3$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $2$ i przed przegródką numer $3$,
$x_4$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $3$ i przed przegródką numer $4$,
$x_5$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $4$ i przed przegródką numer $5$,
$x_6$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $5$ i przed przegródką numer $6$,
$x_7$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $6$ i przed przegródką numer $7$,
$x_8$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $7$ i przed przegródką numer $8$,
$x_9$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $8$.

Wtedy każdemu rozmieszczeniu $10$ elementów ciągu składającego się z $8$ przegródek i $2$ kropek odpowiada wzajemnie jednoznacznie ciąg $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9\right)$ nieujemnych liczb całkowitych, które spełniają równanie $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9=2$.

Ponieważ wszystkich $10$–elementowych ciągów składającego się z $8$ przegródek i $2$ kropek jest tyle, ile jest $8$–elementowych kombinacji zbioru $10$–elementowego, czyli $\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)=\frac{10·9}{2}=45$, więc dokładnie tyle jest wszystkich $9$–cyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej $6$.

Obliczymy, ile jest wszystkich wyników dziesięciokrotnego rzutu kostką sześcienną, w których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa $15$.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy równanie
$\left(x_1+1\right)+\left(x_2+1\right)+\left(x_3+1\right)+\dots +\left(x_{10}+1\right)=15$,
w którym każda z liczb $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

Po przekształceniu tego równania do postaci
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=5$
stwierdzamy, że każda z liczb $x_1+1,x_2+1,x_3+1,\dots ,x_{10}+1$ może przyjmować wyłącznie wartości ze zbioru $\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$.
Zatem każdemu wynikowi dziesięciokrotnego rzutu kostką spełniającemu warunki zadania można wzajemnie jednoznacznie przypisać $10$–elementowy ciąg $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}\right)$ nieujemnych liczb całkowitych.
Oznacza to, że wszystkich wyników rozpatrywanego rzutu kostką jest tyle, ile jest rozwiązań równania
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=5$
w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}$.

Każde poszczególne rozwiązanie powyższego równania możemy przedstawić jako rozmieszczenie $5$ nierozróżnialnych obiektów w $10$ ponumerowanych pudełkach, co można zilustrować graficznie, używając przegródek '$|$' do pokazania zawartości kolejnych pudełek, w których rozmieszczamy pięć obiektów przedstawionych za pomocą symbolu kropki ‘$\bullet$’.

Rozumując podobnie jak w poprzednim przykładzie zauważamy, że do jednoznacznego przedstawienia rozdziału $5$ obiektów '$\bullet$' w $10$ ponumerowanych pudełkach wystarczy użyć $9$ przegródek. 
Wtedy ilustrację rozwiązania, w którym
$x_1=0,x_2=0,x_3=0,x_4=1,x_5=0,x_6=2,x_7=0,x_8=1,x_9=0,x_{10}=1$ (w ten sposób opisaliśmy $10$–krotny rzut kostką, w którym kolejne uzyskane liczby oczek to $1,1,1,2,1,3,1,2,1,2$) przedstawimy jako $14$–elementowy ciąg
$\left|\right||\bullet ||\bullet \bullet ||\bullet ||\bullet$,
a $14$–elementowy ciąg
$\bullet \bullet \bullet \bullet \left|\right|\left|\right|\bullet \left|\right|\left|\right||$
przedstawia rozwiązanie równania, w którym
$x_1=4,x_2=0,x_3=0,x_4=0,x_5=1,x_6=0,x_7=0,x_8=0,x_9=0,x_{10}=0$ (w ten sposób opisaliśmy $10$–krotny rzut kostką, w którym kolejne uzyskane liczby oczek to $5,1,1,1,2,1,1,1,1,1$).

Rozpatrzmy więc dowolny $14$–elementowy ciąg, składający się z $9$ przegródek ($|$) oraz $5$ elementów ($\bullet$).

Przyjmujemy oznaczenia:
$x_1$ to liczba kropek ($\bullet$) ustawionych przed pierwszą (patrząc od lewej) przegródką,
$x_2$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $1$ i przed przegródką numer $2$,
$x_3$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $2$ i przed przegródką numer $3$,
$x_4$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $3$ i przed przegródką numer $4$,
$x_5$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $4$ i przed przegródką numer $5$,
$x_6$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $5$ i przed przegródką numer $6$,
$x_7$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $6$ i przed przegródką numer $7$,
$x_8$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $7$ i przed przegródką numer $8$,
$x_9$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $8$ i przed przegródką numer $9$,
$x_{10}$ to liczba kropek ustawionych za przegródką numer $9$.

Wtedy każdemu rozmieszczeniu $14$ elementów ciągu składającego się z $9$ przegródek i $5$ kropek odpowiada wzajemnie jednoznacznie ciąg $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}\right)$ nieujemnych liczb całkowitych, które spełniają równanie $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=5$.

Ponieważ wszystkich $14$–elementowych ciągów składających się z $9$ przegródek i $5$ kropek jest tyle, ile jest $9$-elementowych kombinacji zbioru $9+5=14$-elementowegoliczba wszystkich $k$–elementowych kombinacji zbioru $n$-elementowego$9$-elementowych kombinacji zbioru $9+5=14$-elementowego, czyli $\left(\begin{array}{c}14\\ 9\end{array}\right)=\frac{14·13·12·11·10}{5!}=2002$, więc dokładnie tyle jest wszystkich wyników dziesięciokrotnego rzutu kostką sześcienną, w których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa $15$.

Liczba wszystkich rozwiązań równania

w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,\dots ,x_n$, gdzie $n$ oraz $k$ to ustalone dodatnie liczby całkowite, jest równa

a) Obliczymy, ile jest wszystkich $20$–cyfrowych liczb naturalnych o wszystkich cyfrach nieparzystych, których suma cyfr jest równa $28$.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy równanie
$\left(2x_1+1\right)+\left(2x_2+1\right)+\dots +\left(2x_{20}+1\right)=28$, w którym każda z liczb $x_1,x_2,\dots ,x_{20}$ jest nieujemną liczbą całkowitą.
Przekształcamy to równanie do postaci
$2x_1+2x_2+\dots +2x_{20}=8$,
skąd otrzymujemy
$x_1+x_2+\dots +x_{20}=4$. 
Oznacza to, że $0\le x_i\le 4$ dla $i=1,2,\dots ,20$, a więc każda z liczb $2x_1+1,2x_2+1,\dots ,2x_{20}+1$ jest dodatnią liczbą naturalną, która jest nieparzysta i nie jest większa od $9$.
Wynika stąd, że ogółem $20$–cyfrowych liczb naturalnych o wszystkich cyfrach nieparzystych i sumie cyfr równej $28$ jest dokładnie tyle, ile jest rozwiązań równania
$x_1+x_2+\dots +x_{20}=4$
w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,\dots ,x_{20}$.

Ponieważ wszystkich rozwiązań powyższego równania jest $\left(\begin{array}{c}4+20-1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}23\\ 4\end{array}\right)=\frac{23·22·21·20}{4!}=8855$, 
więc ogółem $20$–cyfrowych liczb naturalnych o wszystkich cyfrach nieparzystych i sumie cyfr równej $28$ jest $8855$.

b) Obliczymy, ile jest wszystkich $50$–cyfrowych liczb naturalnych o wszystkich cyfrach nieparzystych i sumie cyfr równej $123$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, zatem suma cyfr liczby $50$–cyfrowej której wszystkie cyfry są nieparzyste da się zapisać jako suma $25$ liczb parzystych – aby to zauważyć wystarczy np. łączyć kolejne cyfry w pary.
Oznacza to, że suma cyfr dowolnej liczby $50$–cyfrowej o wszystkich cyfrach nieparzystych jest parzysta, a więc nie może być równa $123$. Zatem nie ma liczb, które spełniałyby podane w zadaniu warunki.

Obliczymy, ile jest rozwiązań równania
$a+b+c=15$
w liczbach całkowitych $a,b,c$ spełniających warunki $a\ge -2,b\ge 3,c\ge 8$.

Rozwiązanie

Podstawmy $a=x_1-2$, $b=x_2+3$, $c=x_3+8$ i rozpatrzmy równanie
$\left(x_1-2\right)+\left(x_2+3\right)+\left(x_3+8\right)=15$, 
w którym każda z liczb $x_1,x_2,x_3$ jest nieujemną liczbą całkowitą.
Przekształcamy to równanie do postaci
$x_1+x_2+x_3=6$. 
Ponieważ wszystkich rozwiązań powyższego równania w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3$ jest $\left(\begin{array}{c}6+3-1\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\end{array}\right)=\frac{8·7}{2}=28$, 
więc wszystkich rozwiązań równania
$a+b+c=15$
w liczbach całkowitych $a,b,c$ spełniających warunki $a\ge -2,b\ge 3,c\ge 8$ jest także $28$.

a) W pudełku znajduje się $5$ kartek ponumerowanych od $1$ do $5$. Z tego pudełka losujemy $8$ razy po jednej kartce, przy czym po każdym losowaniu wrzucamy wylosowaną kartkę z powrotem do pudełka.
Obliczymy, ile jest wszystkich wyników losowania, w których suma wszystkich liczb na wylosowanych z tego pudełka kartkach nie przekracza $12$.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy nierówność
$\left(x_1+1\right)+\left(x_2+1\right)+\dots +\left(x_8+1\right)\le 12$, 
w której każda z liczb $x_1,x_2,\dots ,x_8$ jest nieujemną liczbą całkowitą.
Po przekształceniu tej nierówności do postaci
$x_1+x_2+\dots +x_8\le 4$
stwierdzamy, że każda z liczb $x_i$, gdzie $i=1,2,\dots ,8$, spełnia warunek $1\le x_i+1\le 5$.
Zatem każdemu spełniającemu warunki zadania wynikowi ośmiokrotnego losowania kartek z rozpatrywanego pudełka można wzajemnie jednoznacznie przypisać ośmioelementowy ciąg $\left(x_1,x_2,\dots ,x_8\right)$ liczb nieujemnych spełniających powyższą nierówność.

Ponadto liczba $4-\left(x_1+x_2+\dots +x_8\right)$ także jest nieujemna - oznaczmy ją przez $x_9$.
Wtedy $x_9=4-\left(x_1+x_2+\dots +x_8\right)$, skąd otrzymujemy równanie
$x_1+x_2+\dots +x_8+x_9=4$
w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,\dots ,x_9$, gdzie $1\le x_i+1\le 5$ dla $i=1,2,\dots ,8$.
Ponieważ wszystkich rozwiązań tego równania jest $\left(\begin{array}{c}4+9-1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)=\frac{12·11·10·9}{4!}=495$, więc ogółem jest $495$ wyników losowania kartek z rozpatrywanego pudełka, w których suma wszystkich liczb na wylosowanych kartkach nie przekracza $12$.

b) Obliczymy, ile jest wszystkich takich wyników ośmiokrotnego rzutu kostką sześcienna do gry, których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa co najmniej $44$.

Rozwiązanie

Wynik ośmiokrotnego rzutu kostką sześcienną zapiszemy jako ośmioelementowy ciąg $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\right)$, gdzie $x_i$ to liczba oczek otrzymanych w $i$-tym rzucie, dla $i=1,2,\dots ,8$.
Zatem warunki zadania są spełnione, gdy
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\ge 44$.

Zauważmy, że każdemu $x_i\in \left\{1,2,3,4,5,6\right\}$, opisującemu liczbę oczek otrzymanych w wybranym spośród $8$ rozpatrywanych rzutów kostką, można wzajemnie jednoznacznie przyporządkować inną liczbę oczek takiego rzutu, określoną wzorem $7-x_i$.
Na podstawie reguły równolicznościreguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy więc, że wyników $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\right)$ ośmiokrotnego rzutu kostką sześcienną, dla których spełniony jest warunek
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\ge 44$
jest tyle samo, co wyników
$\left(7-x_1,7-x_2,7-x_3,7-x_4,7-x_5,7-x_6,7-x_7,7-x_8\right)$
ośmiokrotnego rzutu kostką sześcienną, dla których spełniony jest warunek
$7-x_1+7-x_2+7-x_3+7-x_4+7-x_5+7-x_6+7-x_7+7-x_8\ge 44$.

Przekształcając powyższą nierówność otrzymujemy
$8·7-\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\right)\ge 44$
skąd
$\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\right)\le 56-44=12$.

Oznacza to, że wszystkich takich wyników ośmiokrotnego rzutu kostką, których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa co najmniej $44$ jest tyle samo, co wszystkich takich wyników ośmiokrotnego rzutu kostką, których suma liczb wyrzuconych oczek nie przekracza wartości $12$.

Rozpatrzmy więc nierówność
$\left(x_1+1\right)+\left(x_2+1\right)+\dots +\left(x_8+1\right)\le 12$, 
w której każda z liczb $x_1,x_2,\dots ,x_8$ jest nieujemną liczbą całkowitą.
Po przekształceniu tej nierówności do postaci
$x_1+x_2+\dots +x_8\le 4$
stwierdzamy, że każda z liczb $x_i$, gdzie $i=1,2,\dots ,8$, spełnia warunek $1\le x_i+1\le 5$.
Zatem każdemu wynikowi $8$-krotnego rzutu kostką, w którym suma liczb wyrzuconych oczek nie przekracza wartości $12$ można wzajemnie jednoznacznie przypisać $8$–elementowy ciąg $\left(x_1,x_2,\dots ,x_8\right)$ liczb nieujemnych spełniających powyższą nierówność.
Jak wiemy z rozwiązania w poprzednim podpunkcie wszystkich rozwiązań tej nierówności w nieujemnych liczbach całkowitych jest $495$. Zatem dokładnie tyle jest też wszystkich takich wyników ośmiokrotnego rzutu kostką, których suma liczb wyrzuconych oczek nie przekracza $12$. 
Co za tym idzie, jest $495$ wszystkich takich wyników ośmiokrotnego rzutu kostką, których suma liczb wyrzuconych oczek jest równa co najmniej $44$.

c) Obliczymy, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr jest mniejsza od $10$.

Rozwiązanie

Rozpatrzmy nierówność
$\left(x_1+1\right)+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<10$, 
w której każda z liczb $x_1,x_2,\dots ,x_8$ jest nieujemną liczbą całkowitą.
Jest ona równoważna nierówności
$\left(x_1+1\right)+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\le 9$,
a więc nieujemne liczby całkowite $x_1,x_2,\dots ,x_8$ spełniają nierówność
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\le 8$.
Zatem liczba, której kolejnymi cyframi są $\left(x_1+1\right),x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8$ spełnia warunki zadania.

Ponadto liczba $8-\left(x_1+x_2+\dots +x_8\right)$ również jest nieujemna – oznaczmy ją przez $x_9$.
Wtedy $x_9=8-\left(x_1+x_2+\dots +x_8\right)$, skąd otrzymujemy równanie
$x_1+x_2+\dots +x_8+x_9=8$
w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,\dots ,x_9$, gdzie $0\le x_i\le 8$ dla $i=2,3,\dots ,8$ oraz $1\le x_1+1\le 9$.

Ponieważ wszystkich rozwiązań tego równania jest $\left(\begin{array}{c}8+9-1\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\\ 8\end{array}\right)=\frac{16·15·14·13·12·11·10·9}{8!}=12870$, więc ogółem jest $12870$ liczb naturalnych ośmiocyfrowych, których suma cyfr jest mniejsza od $10$.

Liczba wszystkich rozwiązań nierówności

w nieujemnych liczbach całkowitych $x_1,x_2,\dots ,x_n$, gdzie $n$ oraz $k$ to ustalone dodatnie liczby całkowite, jest równa

każdy $k$–elementowy podzbiór zbioru $n$–elementowego, gdzie $0\le k\le n$, nazywamy $k$–elementową kombinacją tego zbioru $n$–elementowego

liczba wszystkich $k$–elementowych kombinacji zbioru $n$–elementowego, gdzie $0\le k\le n$, jest równa

jeżeli wybór polega na podjęciu jednej z $k$ decyzji , przy czym pierwszą z nich można podjąć na $k_1$ sposobów, drugą na $k_2$ sposobów, $\dots$, $n$ – tą na $k_n$ sposobów, to takiego wyboru można dokonać na $k_1+k_2+\dots +k_n$ sposobów

dwa zbiory $A$ i $B$ są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $B$ oraz każdemu elementowi zbioru $B$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $A$

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_1$ sposobów, druga – na jeden z $k_2$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_3$ sposobów i tak dalej do $n$–tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_n$ sposobów, jest równa