Przeczytaj
Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.
Do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu tg.
Wzór funkcji możemy zapisać słownie:
Zapisując wzór za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:
Z przyjętych oznaczeń wynika, że , więc .
Odwrotność funkcji tangens możemy przedstawić jako funkcję cotangens, co zapisujemy w skrócie:
W wielu krajach do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu . Stąd w wielu programach komputerowych, aby wyznaczyć tangens danego kąta musimy użyć właśnie tego skrótu.
Obliczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.
Oznaczmy długość brakującej przyprostokątnej jako .
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że .
Z równania wynika, że , zatem lub .
Ponieważ , więc .
Z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:
,
.
Wyznaczymy wartości tangensów niektórych kątów ostrych. Wykorzystamy do tego trójkąty charakterystyczne.
Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:
Wyznaczymy wartość wyrażenia .
Po podstawieniu mamy
.
Wiadomo, że suma tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymtangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi . Obliczymy iloczyn sinusów tych kątów.
Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.
Z rysunku mamy, że oraz .
Wiadomo, że .
Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:
.
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że:
.
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że , więc mamy zależność .
Równanie możemy zapisać w postaci .
Zatem .
Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że .
Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości , jeżeli wiadomo, że tangens jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od tangensa drugiego kąta ostrego.
Z warunków zadania wynika, że oraz .
Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że oraz .
Po podstawieniu do zależności mamy, że:
, czyli .
Zatem lub .
Ponieważ i , więc .
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że , więc .
Zatem , czyli lub .
Ponieważ , więc .
Czyli .
Zatem przyprostokątne mają długości oraz .
Funkcja tangens jest funkcją rosnącą dla .
Słownik
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie