Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Już wiesz
  • Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej.

  • Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Definicja: Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

R1ZH1vlAu2YuN

Do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu tg.

Wzór funkcji możemy zapisać słownie:

tgα=długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kątadługość przyprostokątnej leżącej przy kącie

Zapisując wzór za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:

tgα=ab
tgβ=ba
Ważne!

Z przyjętych oznaczeń wynika, że β=90°-α, więc tg90°-α=ba.

Ciekawostka

Odwrotność funkcji tangens możemy przedstawić jako funkcję cotangens, co zapisujemy w skrócie:

ctgα=1tgα

W wielu krajach do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu tan. Stąd w wielu programach komputerowych, aby wyznaczyć tangens danego kąta musimy użyć właśnie tego skrótu.

Przykład 1

Obliczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1Lu6iwdiWm9i

Oznaczmy długość brakującej przyprostokątnej jako x.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że x2+42=102.

Z równania wynika, że x2=84, zatem x=221 lub x=-221.

Ponieważ x>0, więc x=221.

Z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

tgα=2214=212,

tgβ=4221=22121.

Wyznaczymy wartości tangensów niektórych kątów ostrych. Wykorzystamy do tego trójkąty charakterystyczne.

RrrLJwRBioODR

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

tg30°=aa3=13=33
tg45°=aa=1
tg60°=a3a=3
Przykład 2

Wyznaczymy wartość wyrażenia tg30°+tg45°tg60°.

Po podstawieniu mamy

tg30°+tg45°tg60°=33+13=1+33.

Przykład 3

Wiadomo, że suma tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymtangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 3. Obliczymy iloczyn sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R12PvvkaHhw5v

Z rysunku mamy, że tgα=ab oraz tgβ=ba.

Wiadomo, że tgα+tgβ=3.

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

ab+ba=3.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że:

a2+b2ab=3.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że a2+b2=c2, więc mamy zależność c2ab=3.

Równanie możemy zapisać w postaci abc2=13.

Zatem ac·bc=13.

Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że sinα·sinβ=13.

Przykład 4

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości 4, jeżeli wiadomo, że tangens jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od tangensa drugiego kąta ostrego.

R15bfrpZ0pc42

Z warunków zadania wynika, że tgα=2tgβ oraz c=4.

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że tgα=ab oraz tgβ=ba.

Po podstawieniu do zależności tgα=2tgβ mamy, że:

ab=2·ba, czyli a2=2b2.

Zatem a=2b lub a=-2b.

Ponieważ a>0b>0, więc a=2b.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że 2b2+b2=42, więc 3b2=16.

Zatem b2=163, czyli b=433 lub b=-433.

Ponieważ b>0, więc b=433.

Czyli a=2·433=463.

Zatem przyprostokątne mają długości a=463 oraz b=433.

Ważne!

Funkcja tangens jest funkcją rosnącą dla α0,90°.

Słownik

tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie