Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

R1ZH1vlAu2YuN

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, która jest jednocześnie bokiem $CB$, o pionowej przyprostokątnej $b$, która jest bokiem $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $c$, która jest bokiem $BA$. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku $C$ znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku $B$ znajduje się kąt $\beta$, a przy wierzchołku $A$ znajduje się kąt $\alpha$.

Do oznaczenia funkcji tangens używa się skrótu tg.

Wzór funkcji możemy zapisać słownie:

Zapisując wzór za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:

Obliczymy wartości tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.

R1Lu6iwdiWm9i

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny $CBA$ o podstawie $CB$, która ma długość $4$, o pionowej przyprostokątnej $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $BA$, która ma długość $10$. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku $C$ znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku $B$ znajduje się kąt $\alpha$, a przy wierzchołku $A$ znajduje się kąt $\beta$.

Oznaczmy długość brakującej przyprostokątnej jako $x$.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że $x^2+4^2={10}^2$.

Z równania wynika, że $x^2=84$, zatem $x=2\sqrt{21}$ lub $x=-2\sqrt{21}$.

Ponieważ $x>0$, więc $x=2\sqrt{21}$.

Z definicji funkcji tangens otrzymujemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{21}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{2}$,

$\mathrm{tg}\beta =\frac{4}{2\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$.

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\frac{\mathrm{tg}30°+\mathrm{tg}45°}{\mathrm{tg}60°}$.

Po podstawieniu mamy

$\frac{\mathrm{tg}30°+\mathrm{tg}45°}{\mathrm{tg}60°}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}+1}}{\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}}{3}$.

Wiadomo, że suma tangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnymtangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnymtangensów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi $3$. Obliczymy iloczyn sinusów tych kątów.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R12PvvkaHhw5v

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, która jest jednocześnie bokiem $CB$, o pionowej przyprostokątnej $b$, która jest bokiem $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $c$, która jest bokiem $BA$. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku $C$ znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku $B$ znajduje się kąt $\beta$, a przy wierzchołku $A$ znajduje się kąt $\alpha$.

Z rysunku mamy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$ oraz $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$.

Wiadomo, że $\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta =3$.

Stosując oznaczenia z rysunku, otrzymujemy równanie:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3$.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy, że:

$\frac{a^2+b^2}{ab}=3$.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $a^2+b^2=c^2$, więc mamy zależność $\frac{c^2}{ab}=3$.

Równanie możemy zapisać w postaci $\frac{ab}{c^2}=\frac{1}{3}$.

Zatem $\frac{a}{c}·\frac{b}{c}=\frac{1}{3}$.

Z definicji funkcji sinus otrzymujemy, że $\sin \alpha ·\sin \beta =\frac{1}{3}$.

Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $4$, jeżeli wiadomo, że tangens jednego kąta ostrego jest dwa razy większy od tangensa drugiego kąta ostrego.

R15bfrpZ0pc42

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $a$, która jest jednocześnie bokiem $CB$, o pionowej przyprostokątnej $b$, która jest bokiem $AC$ oraz o przeciwprostokątnej $BA$ o długości $4$. Na ilustracji zaznaczono kąty wewnętrze trójkąta. Przy wierzchołku $C$ znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku $B$ znajduje się kąt $\beta$, a przy wierzchołku $A$ znajduje się kąt $\alpha$.

Z warunków zadania wynika, że $\mathrm{tg}\alpha =2\mathrm{tg}\beta$ oraz $c=4$.

Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$ oraz $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$.

Po podstawieniu do zależności $\mathrm{tg}\alpha =2\mathrm{tg}\beta$ mamy, że:

$\frac{a}{b}=2·\frac{b}{a}$, czyli $a^2=2b^2$.

Zatem $a=\sqrt{2}b$ lub $a=-\sqrt{2}b$.

Ponieważ $a>0$ i $b>0$, więc $a=\sqrt{2}b$.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ${\left(\sqrt{2}b\right)}^2+b^2=4^2$, więc $3b^2=16$.

Zatem $b^2=\frac{16}{3}$, czyli $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ lub $b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Ponieważ $b>0$, więc $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Czyli $a=\sqrt{2}·\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$.

Zatem przyprostokątne mają długości $a=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ oraz $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie