Przeczytaj
Na początek przypomnienie podstawowych pojęć, których znajomość jest niezbędna do zgłębiania poniższych materiałów.
Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.
Wynik takiego doświadczenia to zdarzenie elementarne. Wszystkie zdarzenia losowezdarzenia losowe danego doświadczenia losowego tworzą przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych), który będziemy oznaczać , a liczbę jego elementów oznaczymy .
Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).
W tym materiale skoncentrujemy się na określaniu możliwych zdarzeń w rzucie kostką do gry (kostkami do gry).
Będziemy przyjmować, że dana kostka jest symetryczna, czyli szansa wypadnięcia każdej ścianki jest taka sama.
Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.
Każde zdarzenie elementarne w tym doświadczeniu można opisać następująco: wypadło oczek, gdzie .
Zatem
i
Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry – żółtą i niebieską. Obliczymy, ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.
Za zdarzenie elementarne przyjmujemy każdą uporządkowaną parę, której elementami są odpowiednio wyniki na żółtej i na niebieskiej kostce.
sposób :
Wykonujemy tabelkę, ilustrującą rzut dwiema kostkami.
Na podstawie tabelki ustalamy, że jest zdarzeń elementarnych.
sposób :
Zauważmy, że na pierwszej kostce może wypaść , , , , lub oczek (jest zatem różnych możliwości), podobnie na drugiej kostce.
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest więc
Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry.
Znajdziemy odpowiednie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniom:
– suma liczb wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą,
– iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równy ,
– liczba oczek, która wypadła za pierwszym razem jest większa od liczby oczek, która wypadła za drugim razem.
Sporządzamy pomocniczą tabelkę. W pola tabelki wpisujemy możliwe do otrzymania sumy liczb oczek w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry i zaznaczamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu – suma liczb wyrzuconych oczek jest liczbą pierwszą.
Odczytujemy z tabelki: .
Sporządzamy kolejną tabelkę, w której pola tym razem wpisujemy możliwe do uzyskania iloczyny liczb oczek w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Zaznaczamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu – iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest co najmniej równy .
Odczytujemy z tabelki: .
Sporządzamy ponownie tabelkę, w pola której wpisujemy wszystkie możliwe układy liczb, jakie mogą zajść w dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Zaznaczamy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu – liczba oczek, która wypadła za pierwszym razem jest większa od liczby oczek, która wypadła za drugim razem.
Z tabelki odczytujemy: .
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.
Wypiszemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu: – w każdym rzucie wypadła liczba oczek, będąca drugą potęgą liczby naturalnej.
Skorzystamy z interpretacji graficznej doświadczenia, zaznaczając na „drzewku” tylko odpowiednie krawędzie. Zauważmy przy tym, że potęgami liczb naturalnych są w tym przypadku tylko liczby oczek równe i .
Schemat rzutów kostką:
Możliwości w rzucie pierwszym: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Możliwości w rzucie drugim: 1, 4;
mamy więc następujące możliwości po rzucie drugim:1 1,
1 4,
4 1,
4 4;
Możliwości w rzucie trzecim: 1, 4; mamy więc następujące możliwości:
1 1 1,
1 1 4,
1 4 1,
1 4 4,
4 1 1,
4 1 4,
4 4 1,
4 4 4
Odczytujemy z „drzewka”:
Jeżeli piszemy o rzucie kilkoma sześciennymi kostkami do gry, to zakładamy, że kostki te są rozróżnialne.
Zatem doświadczenia: krotny rzut kostką i rzut kostkami, interpretujemy i opisujemy tak samo. Czyli identyczne są zbiory zdarzeń elementarnych takich doświadczeń.
Zauważmy, że w jednoczesnym rzucie sześciennymi kostkami do gry (lub w rzutach kostką) liczba zdarzeń elementarnych jest równa .
Rzucamy pięć razy sześcienną kostką do gry. Obliczymy, ile jest
zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu losowym,
zdarzeń sprzyjających zdarzeniom:
– pięć razy otrzymamy liczbę oczek równą ,
– tylko w pierwszym i trzecim rzucie otrzymamy liczbę oczek równą ,
– czterokrotnie wyrzucimy liczbę oczek równą .
Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć liczbę zdarzeń elementarnych, korzystamy ze wzoru na wariację z powtórzeniami.
Jest tylko jedna możliwość, żeby za każdym razem otrzymać liczbę oczek równą .
Zdarzeniu sprzyja tyle zdarzeń elementarnych, ile można utworzyć trzyelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru pięcioelementowego (za drugim, czwartym i piątym razem może wypaść liczba oczek różna od ).
Zbiór zdarzeń sprzyjających czterokrotnemu wyrzuceniu liczby oczek równej sześć, możemy opisać następująco:
, gdzie .
Zatem
Rzucamy dwukrotnie kostką do gry w kształcie czworościanu foremnego, na ściankach którego zapisane są liczby , , , .
Wynikiem jednego rzutu jest liczba zapisana na ściance, na której upadła kostka.
Zapisujemy kolejno liczby, które wypadają tak, że powstają liczby dwucyfrowe. Cyfra dziesiątek, to cyfra otrzymana w pierwszym rzucie, cyfra jedności – w drugim rzucie.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na otrzymaniu liczby nieparzystej,
– zdarzenie polegające na otrzymaniu liczby większej od ,
– zdarzenie polegające na utworzeniu liczby podzielnej przez .
Określamy najpierw zbiór zdarzeń elementarnych w tabeli.
Słownik
każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem)