Przeczytaj
W materiale omówimy zależność, jaka występuje pomiędzy polami trójkątów podobnych.
Jeżeli trójkąty mają ustalone nazwy wierzchołków, to podobieństwo tych trójkątów zapisujemy symbolicznie .
Trójkąty są podobneTrójkąty są podobne, gdy zachodzi jeden z poniższych warunków:
długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta,
trójkąty mają takie same kąty,
długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równej miary.
Wymienione warunki nazywamy cechami podobieństwa trójkątówcechami podobieństwa trójkątów.
Na rysunku przedstawiono trójkąty podobne z zaznaczonymi długościami boków oraz obwodami.
Jeżeli przez oznaczymy skalę podobieństwa tych trójkątów, to:
,
.
Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych trójkątów.
Narysujmy dwa trójkąty, które są podobne w skali , gdzie . Wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach:
Jeżeli trójkąty są podobne w skali , to ich odpowiednie boki oraz wysokości są proporcjonalne.
Zatem:
, więc ,
, więc .
Oznaczmy pole mniejszego trójkąta jako , a większego jako .
Wówczas, stosując oznaczenia z rysunków otrzymujemy:
,
.
Zatem:
.
Stosunek pól trójkątów podobnych oraz wynosi . Wiedząc, że długość podstawy trójkąta jest o mniejsza od długości podstawy , obliczymy długości tych podstaw.
Rozwiązanie:
Jeżeli przez oznaczymy skalę podobieństwa tych trójkątów oraz zapiszemy, to:
, zatem .
Zauważmy, że , zatem .
Z równania otrzymujemy, że , zatem .
Obwód trójkąta wynosi , a jego pole . Obwód trójkąta do niego podobnego wynosi . Obliczymy pole trójkąta .
Rozwiązanie:
Ponieważ trójkąty oraz są podobne, zatem:
.
Korzystając z faktu, że stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa otrzymujemy, że:
, więc .
Zatem .
Suma pól dwóch trójkątów podobnych jest równa , a skala podobieństwa tych trójkątów wynosi . Wyznaczymy pole każdego z tych trójkątów.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia:
– pole pierwszego trójkąta,
– pole drugiego trójkąta.
Jeżeli skala podobieństwa tych trójkątów wynosi , to do wyznaczenia pola każdego z tych trójkątów rozwiążemy układ równań:
Z drugiego równania wynika, że , zatem:
, czyli .
.
Pola tych trójkątów wynoszą i .
Zależność pomiędzy polami trójkątów podobnych możemy wykorzystać do obliczania pól innych figur.
Wyznaczymy pole trapezu przedstawionego na rysunku, jeżeli wiadomo, że pola trójkątów oraz wynoszą odpowiednio i .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że trójkąty oraz są podobne, ponieważ mają takie same kąty.
Zatem , więc skala podobieństwa tych trójkątów wynosi .
Podstawy i wysokości trójkątów oraz pozostają zatem w stosunku .
Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
Zgodnie z oznaczeniami mamy:
, czyli , więc .
.
Pole trapezu wynosi .
Obliczymy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, jeśli wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o polach i .
Rozwiązanie:
Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.
Trójkąty oraz są podobne (ich odpowiednie kąty są równe), zatem zachodzi zależność:
, czyli
Pola trójkątów oraz obliczamy ze wzorów:
Zatem oraz .
Zauważmy, że .
Wobec tego , czyli .
Po przekształceniu mamy: , czyli .
Po podstawieniu zależności oraz do równania , rozwiązujemy równanie z niewiadomą :
Ponieważ , zatem .
Długość przeciwprostokątnej wynosi:
Wobec tego
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne i mają odpowiednio długości i . Na przyprostokątnej wybrano taki punkt , że . Obliczymy pola trójkątów i .
Rozwiązanie:
Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.
Zauważmy, że trójkąty i są podobne na podstawie cechy podobieństwa .
Pole trójkąta wynosi:
Jeżeli jest skalą podobieństwa trójkąta do trójkąta , to:
Ponieważ stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa, zatem:
oraz
Słownik
trójkąty, w których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, a kąty między tymi bokami są równe
warunki konieczne i wystarczające, aby dwa trójkąty były podobne