Przeczytaj
Wystawiając ocenę końcoworoczną z biologii w pewnej szkole, bierze się pod uwagę trzy liczby:
– średnią arytmetyczną ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego,
– ocenę z obowiązkowej pracy projektowej,
– udział w konkursach, olimpiadach, turniejach.
Wynik końcowy ustala się według wzoru:
Największe znaczenie (największą wagę) ma więc średnia ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego, oceny i mają mniejszą wagę.
Mówimy, że końcowa ocena jest średnią ważoną ocen , , z wagami odpowiednio , , .
Średnia ważona jest więc średnią elementów, którym przypisywane są różne wagi. Zatem elementy o większej wadze, mają większy wpływ na średnią. Jeśli wszystkie elementy mają takie same wagi – średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.
Statystycy rozważają kilka rodzajów średniej ważonej – my będziemy zajmować się tylko średnią ważoną arytmetycznąśrednią ważoną arytmetyczną, zwaną krótko średnią ważoną.
Średnia ważona ma własności podobne do średniej arytmetycznej – jest mianowaną miarą tendencji centralnej (miary tendencji centralnej – zwane miarami średnimi, przeciętnymi – charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska, przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej).
Średnią ważoną arytmetyczną liczb z odpowiadającymi im odpowiednio wagami nazywamy liczbę określoną wzorem
gdzie:
– są liczbami dodatnimi.
Obliczymy średnią ważoną liczb z podanymi wagami.
Liczby | |||
Wagi |
Rozwiązanie:
Skorzystamy ze wzoru na średnią ważoną.
W rozważanym przypadku:
, ,
, ,
Stąd:
Odpowiedź:
Średnia ważona podanego zestawu liczb jest równa .
Średnia ważona wykorzystywana jest w sytuacjach, gdy pewnym wielkościom (danym) trzeba nadać większe znaczenie.
Aneta na egzaminie maturalnym zdawała trzy przedmioty w zakresie rozszerzonym: matematykę, fizykę i język angielski. Z matematyki uzyskała punkty, z fizyki punktów i z języka angielskiego punktów.
Aby Aneta została przyjęta na wybrane studia, średnia ważona liczby uzyskanych przez nią punktów powinna wynosić co najmniej .
Przy czym punktom zdobytym z matematyki przypisywano wagę , z fizyki wagę i z języka obcego wagę .
Ustalimy, czy Aneta dostanie się na wybrane przez siebie studia.
Rozwiązanie:
Przedstawimy wszystkie dane w tabeli.
Przedmiot | Liczba uzyskanych punktów | Waga | |
---|---|---|---|
Matematyka | |||
Fizyka | |||
Język angielski | |||
Razem |
Obliczamy średnią ważoną liczby uzyskanych punktów.
Odpowiedź:
Średnia ważona uzyskanych przez Anetę punktów jest większa od wymaganej, zatem dostanie się ona na studia.
Uzyskane wyniki można zinterpretować następująco: pomimo, że Aneta otrzymała mniejszą liczbę punktów od wymaganej z fizyki i języka angielskiego, to wysoka waga liczby punktów uzyskanych z matematyki spowodowała, że w konsekwencji uzyskała wymaganą liczbę punktów.
Zauważmy też, że gdyby o przyjęciu na studia decydowała średnia arytmetyczna, to Aneta nie dostałaby się na studia, gdyż średnia ta jest równa .
Obliczymy średnią arytmetyczną zestawu danych: , , , , , , , , , , , .
Rozwiązanie:
I sposób:
Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.
II sposób:
Zamiast średniej arytmetycznej obliczymy średnią ważoną, przyjmując, że wagami są liczebności danych.
Wartość | Liczebność | |
---|---|---|
Razem |
Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną.
W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby.
Odpowiedź:
Średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa .
Wniosek:
Średnia arytmetyczna zestawu danych statystycznych jest równa średniej ważonej tego zestawu danych, gdy liczebności odpowiadające danym, przyjmiemy za wagi poszczególnych wartości.
Pokażemy teraz, jak wyznaczyć średnią ważoną zestawu danych zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi.
W dziesięcioosobowej grupie osób dokonano pomiaru wieku i otrzymano następujące wyniki: , , , , , , , , , .
Obliczymy średni wiek osób z badanej grupy, grupując dane w szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi o rozpiętości .
Rozwiązanie:
Budujemy odpowiedni szereg rozdzielczy.
Aby obliczyć średnią, wyznaczymy środki przedziałów klasowych.
Wiek w latach | Liczebność | Środek przedziału klasowego | |
---|---|---|---|
Razem |
Obliczamy średnią, korzystając z wyznaczonych danych i ze wzoru:
gdzie:
– liczba klas,
– środek – tego przedziału, gdzie ,
– liczebność dla danego przedziału, gdzie ,
– liczebność zbiorowości statystycznej.
lata
Odpowiedź:
Średnia wieku w tej grupie osób wynosi lata.
W szeregach rozdzielczych o przedziałach klasowych średnia arytmetyczna jest zwykle tylko wartością przybliżoną (średnia liczona z szeregu szczegółowego z przykładu jest równa ).
Słownik
średnia ważona arytmetyczna liczb z odpowiadającymi im odpowiednio wagami to liczba określona wzorem:
gdzie:
– są liczbami dodatnimi