Przeczytaj

Przykład 1

Wystawiając ocenę końcoworoczną z biologii w pewnej szkole, bierze się pod uwagę trzy liczby:

$s$ – średnią arytmetyczną ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego,
$p$ – ocenę z obowiązkowej pracy projektowej,
$u$ – udział w konkursach, olimpiadach, turniejach.

Wynik końcowy $k$ ustala się według wzoru:

k = \frac{3}{4} s + \frac{1}{8} p + \frac{1}{8} u

Największe znaczenie (największą wagę) ma więc średnia ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego, oceny $p$ i $u$ mają mniejszą wagę.

Mówimy, że końcowa ocena $k$ jest średnią ważoną ocen $s$ , $p$ , $u$ z wagami odpowiednio $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{8}$ .

Średnia ważona jest więc średnią elementów, którym przypisywane są różne wagi. Zatem elementy o większej wadze, mają większy wpływ na średnią. Jeśli wszystkie elementy mają takie same wagi – średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

Statystycy rozważają kilka rodzajów średniej ważonej – my będziemy zajmować się tylko średnią ważoną arytmetycznąśrednia ważona arytmetycznaśrednią ważoną arytmetyczną, zwaną krótko średnią ważoną.

Średnia ważona ma własności podobne do średniej arytmetycznej – jest mianowaną miarą tendencji centralnej (miary tendencji centralnej – zwane miarami średnimi, przeciętnymi – charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska, przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej).

Średnia ważona arytmetyczna

Definicja: Średnia ważona arytmetyczna

Średnią ważoną arytmetyczną liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ z odpowiadającymi im odpowiednio wagami $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ nazywamy liczbę ${\bar{x}}_{w}$ określoną wzorem

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

gdzie:
$w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ – są liczbami dodatnimi.

Przykład 2

Obliczymy średnią ważoną liczb z podanymi wagami.

Liczby $x_{i}$	$3$	$6$	$18$
Wagi $w_{i}$	$2$	$3$	$1$

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

W rozważanym przypadku:

$x_{1} = 3$ , $x_{2} = 6$ , $x_{3} = 18$

$w_{1} = 2$ , $w_{2} = 3$ , $w_{3} = 1$

Stąd:

{\bar{x}}_{w} = \frac{3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 18 \cdot 1}{2 + 3 + 1} = \frac{42}{6} = 7

Odpowiedź:

Średnia ważona podanego zestawu liczb jest równa $7$ .

Średnia ważona wykorzystywana jest w sytuacjach, gdy pewnym wielkościom (danym) trzeba nadać większe znaczenie.

Przykład 3

Aneta na egzaminie maturalnym zdawała trzy przedmioty w zakresie rozszerzonym: matematykę, fizykę i język angielski. Z matematyki uzyskała $42$ punkty, z fizyki $28$ punktów i z języka angielskiego $26$ punktów.

Aby Aneta została przyjęta na wybrane studia, średnia ważona liczby uzyskanych przez nią punktów powinna wynosić co najmniej $35$ .

Przy czym punktom zdobytym z matematyki przypisywano wagę $6$ , z fizyki wagę $4$ i z języka obcego wagę $1$ .

Ustalimy, czy Aneta dostanie się na wybrane przez siebie studia.

Rozwiązanie:

Przedstawimy wszystkie dane w tabeli.

Przedmiot	Liczba uzyskanych punktów $x_{i}$	Waga $w_{i}$	$x_{i} \cdot w_{i}$
Matematyka	$42$	$6$	$252$
Fizyka	$28$	$4$	$112$
Język angielski	$26$	$1$	$26$
Razem		$11$	$390$

Obliczamy średnią ważoną liczby uzyskanych punktów.

{\bar{x}}_{w} = \frac{390}{11} \approx 35, 5

35,5 > 35

Odpowiedź:

Średnia ważona uzyskanych przez Anetę punktów jest większa od wymaganej, zatem dostanie się ona na studia.

Uzyskane wyniki można zinterpretować następująco: pomimo, że Aneta otrzymała mniejszą liczbę punktów od wymaganej z fizyki i języka angielskiego, to wysoka waga liczby punktów uzyskanych z matematyki spowodowała, że w konsekwencji uzyskała wymaganą liczbę punktów.

Zauważmy też, że gdyby o przyjęciu na studia decydowała średnia arytmetyczna, to Aneta nie dostałaby się na studia, gdyż średnia ta jest równa $\frac{42 + 28 + 26}{3} = 32$ .

Przykład 4

Obliczymy średnią arytmetyczną zestawu danych: $2$ , $4$ , $6$ , $10$ , $2$ , $2$ , $4$ , $6$ , $10$ , $10$ , $2$ , $4$ .

Rozwiązanie:

I sposób:

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.

\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 10 + 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + 10 + 2 + 4}{12} = \frac{62}{12} = 5 \frac{1}{6}

II sposób:

Zamiast średniej arytmetycznej obliczymy średnią ważoną, przyjmując, że wagami są liczebności danych.

Wartość $x_{i}$	Liczebność $n_{i} = w_{i}$	$x_{i} \cdot w_{i}$
$2$	$4$	$8$
$4$	$3$	$12$
$6$	$2$	$12$
$10$	$3$	$30$
Razem	$12$	$62$

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

{\bar{x}}_{w} = \frac{62}{12} = 5 \frac{1}{6}

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby.

Odpowiedź:

Średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa $5 \frac{1}{6}$ .

Wniosek:

Średnia arytmetyczna zestawu danych statystycznych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ jest równa średniej ważonej tego zestawu danych, gdy liczebności $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ odpowiadające danym, przyjmiemy za wagi poszczególnych wartości.

Pokażemy teraz, jak wyznaczyć średnią ważoną zestawu danych zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi.

Przykład 5

W dziesięcioosobowej grupie osób dokonano pomiaru wieku i otrzymano następujące wyniki: $20$ , $21$ , $23$ , $20$ , $20$ , $25$ , $22$ , $23$ , $23$ , $21$ .

Obliczymy średni wiek osób z badanej grupy, grupując dane w szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi o rozpiętości $2 lat$ .

Rozwiązanie:

Budujemy odpowiedni szereg rozdzielczy.

Aby obliczyć średnią, wyznaczymy środki przedziałów klasowych.

Wiek w latach $x_{i}$	Liczebność $n_{i}$	Środek przedziału klasowego ${\bar{x}}_{i}$	${\bar{x}}_{i} \cdot n_{i}$
$⟨20, 22)$	$5$	$21$	$105$
$⟨22, 24)$	$4$	$23$	$92$
$⟨24, 26⟩$	$1$	$25$	$25$
Razem	$10$		$222$

{\bar{x}}_{1} = \frac{20 + 22}{2} = 21

{\bar{x}}_{2} = \frac{22 + 24}{2} = 23

{\bar{x}}_{3} = \frac{24 + 26}{2} = 25

Obliczamy średnią, korzystając z wyznaczonych danych i ze wzoru:

\bar{x} = \frac{{\bar{x}}_{1} n_{1} + {\bar{x}}_{2} n_{2} + \dots + {\bar{x}}_{k} n_{k}}{n}

gdzie:
$k$ – liczba klas,
${\bar{x}}_{i}$ – środek $i$ – tego przedziału, gdzie $i = 1, 2, \dots, k$ ,
$n_{i}$ – liczebność dla danego przedziału, gdzie $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n$ ,
$n$ – liczebność zbiorowości $n$ statystycznej.

$\bar{x} = \frac{222}{10} = 22, 2$

$\bar{x} = 22, 2$ lata

Odpowiedź:

Średnia wieku w tej grupie osób wynosi $22, 2$ lata.

Ważne!

W szeregach rozdzielczych o przedziałach klasowych średnia arytmetyczna jest zwykle tylko wartością przybliżoną (średnia liczona z szeregu szczegółowego z przykładu $5$ jest równa $21, 8$ ).

Słownik

średnia ważona arytmetyczna

średnia ważona arytmetyczna liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ z odpowiadającymi im odpowiednio wagami $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ to liczba ${\bar{x}}_{w}$ określona wzorem:

{\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + \dots + x_{n} w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots + w_{n}}

gdzie:
$w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ – są liczbami dodatnimi

Wprowadzenie

Animacja

Słownik