Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1

Wystawiając ocenę końcoworoczną z biologii w pewnej szkole, bierze się pod uwagę trzy liczby:

s – średnią arytmetyczną ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego,
p – ocenę z obowiązkowej pracy projektowej,
u – udział w konkursach, olimpiadach, turniejach.

Wynik końcowy k ustala się według wzoru:

k=34s+18p+18u

Największe znaczenie (największą wagę) ma więc średnia ocen uzyskanych w ciągu całego roku szkolnego, oceny pu mają mniejszą wagę.

Mówimy, że końcowa ocena k jest średnią ważoną ocen s, p, u z wagami odpowiednio 34, 18, 18.

Średnia ważona jest więc średnią elementów, którym przypisywane są różne wagi. Zatem elementy o większej wadze, mają większy wpływ na średnią. Jeśli wszystkie elementy mają takie same wagi – średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

Statystycy rozważają kilka rodzajów średniej ważonej – my będziemy zajmować się tylko średnią ważoną arytmetycznąśrednia ważona arytmetycznaśrednią ważoną arytmetyczną, zwaną krótko średnią ważoną.

Średnia ważona ma własności podobne do średniej arytmetycznej – jest mianowaną miarą tendencji centralnej (miary tendencji centralnej – zwane miarami średnimi, przeciętnymi – charakteryzują przeciętny poziom badanego zjawiska, przyjmują takie wartości, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy statystycznej).

Średnia ważona arytmetyczna
Definicja: Średnia ważona arytmetyczna

Średnią ważoną arytmetyczną liczb x1, x2, , xn z odpowiadającymi im odpowiednio wagami w1, w2, , wn nazywamy liczbę x¯w określoną wzorem

x¯w=x1w1+x2w2++xnwnw1+w2++wn

gdzie:
w1, w2, , wn – są liczbami dodatnimi.

Przykład 2

Obliczymy średnią ważoną liczb z podanymi wagami.

Liczby xi

3

6

18

Wagi wi

2

3

1

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

x¯w=x1w1+x2w2++xnwnw1+w2++wn

W rozważanym przypadku:

x1=3, x2=6, x3=18

w1=2, w2=3, w3=1

Stąd:

x¯w=3·2+6·3+18·12+3+1=426=7

Odpowiedź:

Średnia ważona podanego zestawu liczb jest równa 7.

Średnia ważona wykorzystywana jest w sytuacjach, gdy pewnym wielkościom (danym) trzeba nadać większe znaczenie.

Przykład 3

Aneta na egzaminie maturalnym zdawała trzy przedmioty w zakresie rozszerzonym: matematykę, fizykę i język angielski. Z matematyki uzyskała 42 punkty, z fizyki 28 punktów i z języka angielskiego 26 punktów.

Aby Aneta została przyjęta na wybrane studia, średnia ważona liczby uzyskanych przez nią punktów powinna wynosić co najmniej 35.

Przy czym punktom zdobytym z matematyki przypisywano wagę 6, z fizyki wagę 4 i z języka obcego wagę 1.

Ustalimy, czy Aneta dostanie się na wybrane przez siebie studia.

Rozwiązanie:

Przedstawimy wszystkie dane w tabeli.

Przedmiot

Liczba uzyskanych punktów xi

Waga wi

xi·wi

Matematyka

42

6

252

Fizyka

28

4

112

Język angielski

26

1

26

Razem

11

390

Obliczamy średnią ważoną liczby uzyskanych punktów.

x¯w=3901135,5
35,5>35

Odpowiedź:

Średnia ważona uzyskanych przez Anetę punktów jest większa od wymaganej, zatem dostanie się ona na studia.

Uzyskane wyniki można zinterpretować następująco: pomimo, że Aneta otrzymała mniejszą liczbę punktów od wymaganej z fizyki i języka angielskiego, to wysoka waga liczby punktów uzyskanych z matematyki spowodowała, że w konsekwencji uzyskała wymaganą liczbę punktów.

Zauważmy też, że gdyby o przyjęciu na studia decydowała średnia arytmetyczna, to Aneta nie dostałaby się na studia, gdyż średnia ta jest równa 42+28+263=32.

Przykład 4

Obliczymy średnią arytmetyczną zestawu danych: 2, 4, 6, 10, 2, 2, 4, 6, 10, 10, 2, 4.

Rozwiązanie:

I sposób:

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną.

x¯=2+4+6+10+2+2+4+6+10+10+2+412=6212=516

II sposób:

Zamiast średniej arytmetycznej obliczymy średnią ważoną, przyjmując, że wagami są liczebności danych.

Wartość xi

Liczebność ni=wi

xi·wi

2

4

8

4

3

12

6

2

12

10

3

30

Razem

12

62

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną.

x¯w=6212=516

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same liczby.

Odpowiedź:

Średnia arytmetyczna zestawu danych jest równa 516.

Wniosek:

Średnia arytmetyczna zestawu danych statystycznych x1, x2, , xk jest równa średniej ważonej tego zestawu danych, gdy liczebności n1, n2, , nk odpowiadające danym, przyjmiemy za wagi poszczególnych wartości.

Pokażemy teraz, jak wyznaczyć średnią ważoną zestawu danych zapisanych w postaci szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi.

Przykład 5

W dziesięcioosobowej grupie osób dokonano pomiaru wieku i otrzymano następujące wyniki: 20, 21, 23, 20, 20, 25, 22, 23, 23, 21.

Obliczymy średni wiek osób z badanej grupy, grupując dane w szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi o rozpiętości 2 lat.

Rozwiązanie:

Budujemy odpowiedni szereg rozdzielczy.

Aby obliczyć średnią, wyznaczymy środki przedziałów klasowych.

Wiek w latach xi

Liczebność ni

Środek przedziału klasowego x¯i

x¯i·ni

20, 22

5

21

105

22, 24

4

23

92

24, 26

1

25

25

Razem

10

222

x¯1=20+222=21
x¯2=22+242=23
x¯3=24+262=25

Obliczamy średnią, korzystając z wyznaczonych danych i ze wzoru:

x¯=x¯1n1 + x¯2n2 +  + x¯knkn

gdzie:
k – liczba klas,
x¯i – środek i – tego przedziału, gdzie i=1, 2, , k,
ni – liczebność dla danego przedziału, gdzie n1+n2++nk=n,
n – liczebność zbiorowości n statystycznej.

x¯=22210=22,2

x¯=22,2 lata

Odpowiedź:

Średnia wieku w tej grupie osób wynosi 22,2 lata.

Ważne!

W szeregach rozdzielczych o przedziałach klasowych średnia arytmetyczna jest zwykle tylko wartością przybliżoną (średnia liczona z szeregu szczegółowego z przykładu 5 jest równa 21,8).

Słownik

średnia ważona arytmetyczna
średnia ważona arytmetyczna

średnia ważona arytmetyczna liczb x1, x2, , xn z odpowiadającymi im odpowiednio wagami w1, w2, , wn to liczba x¯w określona wzorem:

x¯w=x1w1+x2w2++xnwnw1+w2++wn

gdzie:
w1, w2, , wn – są liczbami dodatnimi