Przeczytaj

Dowodzenie nierówności uważane jest za jedną z trudniejszych, ale i ważniejszych umiejętności wymaganych od uczących się w szkole ponadpodstawowej. Najczęściej wykazanie prawdziwości nierówności polega na odpowiednim przekształcaniu nierówności w sposób równoważny.

Przekształcając nierówność równoważnie, możemy:

dodać do obu stron nierówności (lub odjąć od obu stron nierówności) to samo wyrażenie,

pomnożyć obie strony nierówności przez tę samą liczbę dodatnią,

pomnożyć obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniając znak nierówności na przeciwny,

podnieść obie strony nierówności do kwadratu, jeżeli wyrażenia stojące po obu stronach nierówności przyjmują tylko wartości dodatnie.

Aby udowodnić pierwszą nierówność, skorzystamy z zależności między średnią arytmetyczną, a geometryczną.

Średnia arytmetyczna

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

S_{a} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

Średnia geometryczna

Definicja: Średnia geometryczna

Średnią geometryczną liczb nieujemnych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}}

Zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną (nierówność Cauchy’ego)

Twierdzenie: Zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną (nierówność Cauchy’ego)

Dla dodatnich liczb rzeczywistych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ zachodzi następująca nierówność

\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

Przykład 1

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ prawdziwa jest nierówność

$\sqrt{a b} + \sqrt{c d} \leq \sqrt{(a + c) (b + d)}$ .

Obie strony nierówności są dodatnie, zatem można podnieść obie strony nierówności do kwadratu. Po lewej stronie nierówności, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

$a b + c d + 2 \sqrt{a b c d} \leq (a + c) (b + d)$

Wykonujemy wskazane działania i redukujemy wyrazy podobne.

$a b + c d + 2 \sqrt{a b c d} \leq a b + a d + c b + c d$

$2 \sqrt{a b c d} \leq a d + c b$

$\sqrt{a b c d} \leq \frac{a d + c b}{2}$

Prawdziwość ostatniej nierówności wynika z zależności między średnią arytmetyczną a geometryczną, co kończy dowód.

Przykład 2

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ prawdziwa jest nierówność

$8 a b c \leq (a + b) (b + c) (c + a)$ .

Korzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną a średnią geometrycznąśrednia geometrycznaśrednią geometryczną.

$\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$

$\sqrt{b c} \leq \frac{b + c}{2}$

$\sqrt{a c} \leq \frac{a + c}{2}$

Mnożymy obie strony każdej z nierówności przez $2$ .

$2 \sqrt{a b} \leq a + b$

$2 \sqrt{b c} \leq b + c$

$2 \sqrt{a c} \leq a + c$

Mnożymy obie strony nierówności przez siebie (liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie).

$8 a b c \leq (a + b) (b + c) (c + a)$

Co należało wykazać.

Teraz pokażemy zastosowanie nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną.

Średnia kwadratowa

Definicja: Średnia kwadratowa

Średnią kwadratową liczb rzeczywistych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

S_{k} = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}

Zależność między średnią arytmetyczną a średnią kwadratową

Twierdzenie: Zależność między średnią arytmetyczną a średnią kwadratową

Dla dodatnich liczb rzeczywistych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ zachodzi następująca nierówność

$\sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}} \geq \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$

Przykład 3

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ takich, że $a + b + c = 1$ zachodzi nierówność

$\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1} \leq \sqrt{15}$ .

Skorzystamy z zależności, która wynika z nierówności między średnią arytmetyczną, a średnią kwadratowąśrednia kwadratowaśrednią kwadratową.

${(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}^{2} \leq n (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2})$

Otrzymujemy:

${(\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1})}^{2} \leq$

$\leq 3 [{(\sqrt{2 a + 1})}^{2} + {(\sqrt{2 b + 1})}^{2} + {(\sqrt{2 c + 1})}^{2}]$

${(\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1})}^{2} \leq 3 (2 a + 1 + 2 b + 1 + 2 c + 1)$

${(\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1})}^{2} \leq 3 [2 (a + b + c) + 3]$

${(\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1})}^{2} \leq 3 (2 \cdot 1 + 3)$

${(\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1})}^{2} \leq 15$

Pierwiastkujemy obie strony nierówności.

$\sqrt{2 a + 1} + \sqrt{2 b + 1} + \sqrt{2 c + 1} \leq \sqrt{15}$

Co należało wykazać.

Okazuje się, że wiele trudnych zadań, nawet geometrycznych, można rozwiązać korzystając z nierówności.

Przykład 4

Wśród prostokątów o przekątnej długości $20$ wskaż ten, który ma największe pole.

Oznaczmy długości boków prostokąta $a$ , $b$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać:

$a^{2} + b^{2} = 400$

Pole prostokąta:

$P = a b = \sqrt{a^{2} \cdot b^{2}}$

$P = \sqrt{a^{2} \cdot b^{2}} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \leq \frac{400}{2} = 200$

Przy czym równość zachodzi, gdy $a^{2} = b^{2}$ , czyli gdy $a = b$ .

Zatem największe pole ma kwadrat o boku $\sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$ .

Średnia harmoniczna

Definicja: Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną liczb różnych od zera $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

S_{h} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}

Zależność między średnią arytmetyczną a średnią harmoniczną

Twierdzenie: Zależność między średnią arytmetyczną a średnią harmoniczną

Dla liczb różnych od zera $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ zachodzi następująca nierówność

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

Korzystając z tej nierówności, rozwiążemy następne zadanie.

Przykład 5

Oporniki $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ połączone są równolegle. Łączny opór tych oporników jest równy $27 Ω$ . Jaki powinien być opór każdego z oporników, aby opór zastępczy $R$ był największy?

Korzystamy ze wzoru

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$

Przekształcamy zapisaną równość.

$R = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}}$

$R = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots + \frac{1}{R_{n}}}$

Korzystamy teraz z zależności między średnią arytmetyczną a średnią harmonicznąśrednia harmonicznaśrednią harmoniczną

$R \leq \frac{1}{3} \cdot \frac{R_{1} + R_{2} + R_{3}}{3} = \frac{27}{9} = 3$

Zauważmy, że równość zachodzi, gdy

$R_{1} + R_{2} + R_{3} = 3$

Zatem największy opór zastępczy otrzymamy, gdy każdy z oporników będzie miał opór równy $1 Ω$ .

Słownik

średnia geometryczna

średnią geometryczną liczb nieujemnych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}}

średnia kwadratowa

średnią kwadratową liczb rzeczywistych $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

S_{k} = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}

średnia harmoniczna

średnią harmoniczną liczb różnych od zera $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ nazywamy liczbę

S_{h} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik