Modelowanie matematyczne

Istotę modelowania matematycznego możemy ująć w następujący sposób: jest to przeniesienie rzeczywistości w świat matematyki. Zwykle celem takich działań jest przeanalizowanie zachowań różnych układów, czy wyników zachodzących procesów oraz porównanie ich z naszymi przewidywaniami i oczekiwaniami. Nawet jeżeli model nie jest dobrze odwzorowany i konkretne rezultaty znacznie różnią się od tych pożądanych, to zawsze istnieje możliwość przebudowy modelu i rozpoczęcia analizy od początku.

Zwykle modele matematyczne są znacznie uproszczone w porównaniu do ich wzorców w rzeczywistości. Pomniejsze, niewiele znaczące elementy danego procesu lub układu, często nie są uwzględniane. Wynika to z faktu, że ich wpływ na działanie modelu jest nieznaczny, natomiast ich zastosowanie niesie ze sobą ryzyko pojawienia się dodatkowych błędów. Oczywiście osiągnięcie drugiej skrajności i stworzenie zbyt ogólnego i uproszczonego modelu również dalekie jest od ideału. W dużej mierze na konstrukcję naszego modelu wpływa posiadana przez nas ilość informacji oraz wiedza o tym, które elementy wycinka rzeczywistości są znaczące dla naszych wyników.

Skoro wiemy już, czym właściwie jest model matematyczny, zastanówmy się jak takowy stworzyć. Z pewnością niezbędna jest analiza opisywanego elementu rzeczywistości, tak aby dowiedzieć się, jakie informacje musimy uwzględnić oraz jakie relacje pomiędzy nimi zachodzą. W ten sposób będziemy w stanie określić zmiennezmiennazmienne (odpowiadające naszym informacjom) oraz np. funkcje (spełniające rolę relacji) występujące w konstruowanym modelu.

Przeprowadzając odpowiednie matematyczne działania czy manipulując wartościami naszych zmiennych, możemy odwzorowywać rzeczywiste sytuacje, a także zbierać konkretne wyniki, które następnie poddamy analizie.

Przykład 1

Załóżmy, że planujemy przeprowadzić modelowanie matematyczne dla pewnego, rzeczywistego układu. Posiada on grupę różnych właściwości, jednakże tylko trzy z nich mają znaczący wpływ na interesujące nas wyniki. Po przeprowadzonej analizie oceniliśmy, że pomiędzy pierwszą i drugą oraz drugą i trzecią właściwością zachodzą pewne relacje. Przeanalizowana sytuacja prezentuje się następująco:

RB6s8lfXeRpWb

Ilustracja przedstawia schemat blokowy.
Niebieski prostokąt: Właściwość układu 1.
Zielony okrąg: Relacja 1.
Niebieski prostokąt: Właściwość układu 2.
Zielony okrąg: Relacja 2.
Niebieski prostokąt: Właściwość układu 3.
W prawym dolnym rogu znajduje się blok z wpisem: Właściwości układu o marginalnym znaczeniu.

Kolejnym krokiem będzie przeniesienie przedstawionej sytuacji do świata matematyki. Nasze trzy właściwości zostaną zaprezentowane w postaci zmiennych, natomiast relacje przemienimy na funkcje je odwzorowujące. Pozostałe właściwości układu mają marginalne znaczenie dla naszych wyników, więc nie będziemy ich uwzględniać. Po skonstruowaniu modelu możemy już odpowiednio manipulować zmiennymi, tak by otrzymać interesujące nas rezultaty. Następnie poddamy je analizie.

R1YuSFIPnD1cS

Ilustracja przedstawia schemat blokowy.
W pierwszym rzędzie znajdują się trzy prostokąty: Zmienna 1, Zmienna 2, Zmienna 3.
Od Zmienna 1 wychodzi strzałka do zielonego okręgu Funkcja 1 w rzędzie drugim.
Od Zmienna 2 wychodzi strzałka do zielonych okręgów Funkcja 1 ora Funkcja 2.
Od Zmienna 3 wychodzi strzałka do zielonego okręgu Funkcja 2.
Od Funkcja 1 oraz Funkcja wychodzą strzałki prowadzące do fioletowego bloku w rzędzie trzecim z napisem: Wyniki, które będziemy analizować.

Metoda Monte Carlo

Ciekawym przykładem modelowania matematycznego jest metoda Monte Carlo. Służy ona do tworzenia modeli bardzo skomplikowanych procesów, głównie matematycznych — np. całkowania. Co istotne, zmienne opisujące model w przypadku metody Monte Carlo są zawsze dobierane losowo. Warto zaznaczyć, że opisywane modelowanie jest istotne nie tylko dla matematyków. Biznesmeni i ekonomiści wykorzystują je do zarządzania ryzykiem rynkowym, dzięki czemu są w stanie lepiej ocenić swoje szanse na ewentualne straty w różnych warunkach.

Liczba pi

Jak wiadomo liczba pi to stała będąca stosunkiem obwodu koła $O$ do długości jego średnicy $d$.

Zazwyczaj podczas obliczeń przyjmujemy jej przybliżoną wartość równą 3,14, chociaż obecnie znamy ją z dokładnością określaną w trylionach miejsc po przecinku. Zwykle przedstawiana jest z użyciem greckiej litery πpi. Przybliżmy sobie historię tej liczby oraz metody jej wyznaczania.

Historia liczby pi

Historia liczby pi sięga tysięcy lat wstecz i operowali nią już starożytni Babilończycy oraz Egipcjanie. Nawet w starym testamencie, przy opisie wznoszenia świątyni Salomona znajdziemy wzmianki sugerujące, że ówczesna ludność zdawała sobie sprawę z istnienia opisywanej stałej, a za jej wartość przyjmowała cyfrę 3. Trochę dokładniejsi byli Egipcjanie przyjmujący wartość około 3,16.

Wielki krok naprzód poczynił w III wieku p.n.e. Archimedes, któremu udało się poprawnie obliczyć wartość liczby pi do dwóch miejsc po przecinku. Uczynił to, aproksymującaproksymacjaaproksymując koło 96‑kątami foremnymi - wyliczył obwody takiego wielokąta wpisanego w koło i opisanego na kole. Pomiędzy obliczonymi wartościami znajdowała się liczba pi.

W pierwszych wiekach naszej ery prym w zwiększaniu dokładności obliczeń wiedli Chińczycy. W III wieku Liu Hui uzyskał wartość liczby pi do czterech miejsc po przecinku, natomiast 200 lat później jego rodak Zu Chongzhi poszerzył znane rozwinięcie o trzy kolejne miejsca.

Prawdziwy przełom zanotował natomiast szesnastowieczny niemiecko‑holenderski uczony Ludolph van Ceulen, który obliczył opisywaną stałą z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Jego wynik był oczywiście poprawiany w następnych latach, a obecnie kolejni pasjonaci liczby pi biją rekordy w szacowaniu dokładności zapisu — do dziesiątek trylionów miejsc po przecinku.

Wyznaczanie liczby pi

Metod wyznaczania liczby pi jest wiele i w historii matematyki zmieniały się one niejednokrotnie. Niegdyś wykorzystywano głównie wielokąty foremne, jeden wpisany w koło, drugi opisany na kole. W ten sposób uzyskiwano przedział, w którym zawarta była wartość πpi. Im więcej kątów miał wielokąt, tym dokładniejszy wynik otrzymywaliśmy.

Przykład 2

Załóżmy, że posiadamy koło o promieniu r oraz pięciokąt foremny opisany na tym kole (długość boku a), a także pięciokąt foremny wpisany w to koło (długość boku b).

RupvrxgJ4FHHC

Ilustracja przedstawia okrąg o promieniu r oraz pięciokąt o boku a, w którym opisano okrąg, a następnie w okręgu następny pięciokąt o boku b.

RVfnHdUrTlDGd

Ilustracja przedstawia okrąg o promieniu r oraz pięciokąt o boku a, w którym opisano okrąg, a następnie w okręgu następny pięciokąt o boku b.
Pole każdej z figur określono innym odcieniem zielonego.

Nasz przedział ograniczający wartość liczby pi będzie prezentował się następująco:

$$(\frac{5b}{2r};\frac{5a}{2r})$$

Nie tylko z użyciem geometrii możemy wyznaczać wartość liczby pi, możliwe jest również skorzystanie z m.in. ciągów. Jako przykład posłuży nam pochodzący z 1674 roku naprzemienny szereg Leibnitza.

Obecnie obliczanie liczby pi odbywa się za pośrednictwem programów komputerowych, takich jak np. y‑cruncher. Do osiągnięcia wspominanych wcześniej niebotycznych dokładności jest wymagany przede wszystkim odpowiedni sprzęt.

Słownik