Przeczytaj
Obliczenia rachunkowe
W obliczeniach rachunkowych występują często typowe przypadki mnożenia lub podnoszenia liczb do kwadratu. Działania te możemy wykonać w sposób uproszczony, posługując się wzorami skróconego mnożenia.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, kwadrat różnicy lub różnicę kwadratów, obliczymy , , .
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumywzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Bezpośrednio ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wynika następująca własność:
Jeśli to .
Jeśli to .
Wykorzystamy powyższą własność do obliczenia w pamięci i .
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tego, że i
Wzory skróconego mnożenia można też wykorzystać do przekształcania wyrażeń zawierających pierwiastki.
Zapiszemy wyrażenie w najprostszej postaci.
Uprościmy najpierw każdy ze składników.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i ze wzoru na różnicę kwadratów.
Drugi ze składników zamieniamy na iloczyn (ze wzoru na różnicę kwadratów) i pierwiastkujemy.
Teraz powracamy do rozważanego wyrażenia.
Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka
Wiemy już, że iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą wymierną lub niewymierną. Chcąc więc usunąć niewymierność z mianownika ułamka, należy rozszerzyć ułamek przez takie wyrażenie, aby w wyniku otrzymać liczbę wymierną.
Najprościej jest zatem pomnożyć licznik i mianownik ułamka tak, aby w mianowniku otrzymać iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Znajdziemy liczbę odwrotną do liczby .
Szukana liczba to . Zauważmy, że w mianowniku zapisanego ułamka znajduje się suma dwóch wyrażeń, zatem aby usunąć niewymierność z mianownika, rozszerzamy ułamek przez różnicę tych samych wyrażeń.
Odwrotność liczby to .
Wykażemy, że liczba jest wymierna.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
Wykonujemy w liczniku mnożenie, w mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Redukujemy wyrazy podobne w liczniku, w mianowniku wykonujemy wskazane działania.
Liczba zapisana jest za pomocą ilorazu liczb całkowitych, zatem to liczba wymierna.
Jeśli w mianowniku ułamka występują więcej niż dwa wyrazy zawierające pierwiastki, można również, usuwając niewymierność z mianownika, stosować odpowiedni wzór skróconego mnożenia.
Oszacujemy wartość wyrażenia z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, przyjmując i .
Rozszerzamy ułamek przez .
W mianowniku ułamka wykonujemy mnożenie, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Redukujemy wyrazy podobne w mianowniku ułamka.
Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.
Szacujemy wartość otrzymanego wyrażenia.
Wartość wyrażenia jest równa w przybliżeniu 0,25.
Słownik
kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie
różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę