Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, kwadrat różnicy lub różnicę kwadratów, obliczymy ${79}^2$, ${103}^2$, $83·97$.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

${79}^2=(80-1{)}^2={80}^2-2·80·1+1^2=6241$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumywzór skróconego mnożenia na kwadrat sumywzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

${703}^2=(700+3{)}^2={700}^2+2·700·3+3^2=494209$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$83·97=(90-7)(90+7)={90}^2-7^2=8051$

Wykorzystamy powyższą własność do obliczenia w pamięci ${597}^2-{596}^2$ i $(0,97{)}^2-(0,03{)}^2$.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i z tego, że $597–596= 1$ i $0,97+0,03= 1$

${597}^2-{596}^2=597+596=1193$

$(0,97{)}^2-(0,03{)}^2=0,97-0,03=0,94$

Zapiszemy wyrażenie $W=(\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}{)}^2-\sqrt{{89}^2-{80}^2}$ w najprostszej postaci.

Uprościmy najpierw każdy ze składników.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i ze wzoru na różnicę kwadratów.

$W_1={\left(\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}\right)}^2=$

$=4-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}+2·\sqrt{\left(4-2\sqrt{3}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)}$

$W_1=8+2·\sqrt{16-12}=8+4=12$

Drugi ze składników zamieniamy na iloczyn (ze wzoru na różnicę kwadratów) i pierwiastkujemy.

$W_2=\sqrt{{89}^2-{80}^2}=\sqrt{(89-80)(89+80)}=\sqrt{9·169}=3·13=39$

Teraz powracamy do rozważanego wyrażenia.

Znajdziemy liczbę odwrotną do liczby $2+7\sqrt{3}$.

Szukana liczba to $\frac{1}{2+7\sqrt{3}}$. Zauważmy, że w mianowniku zapisanego ułamka znajduje się suma dwóch wyrażeń, zatem aby usunąć niewymierność z mianownika, rozszerzamy ułamek przez różnicę tych samych wyrażeń.

$\frac{1}{2+7\sqrt{3}}=\frac{1}{2+7\sqrt{3}}·\frac{2-7\sqrt{3}}{2-7\sqrt{3}}=\frac{2-7\sqrt{3}}{4-147}=\frac{7\sqrt{3}-2}{143}$

Odwrotność liczby $2+7\sqrt{3}$ to $\frac{7\sqrt{3}-2}{143}$.

Wykażemy, że liczba $W=\frac{1-\sqrt{2}}{5-3\sqrt{2}}+\frac{1+\sqrt{2}}{5+3\sqrt{2}}$ jest wymierna.

$W=\frac{1-\sqrt{2}}{5-3\sqrt{2}}+\frac{1+\sqrt{2}}{5+3\sqrt{2}}$

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$W=\frac{1-\sqrt{2}}{5-3\sqrt{2}}·\frac{5+3\sqrt{2}}{5+3\sqrt{2}}+\frac{1+\sqrt{2}}{5+3\sqrt{2}}·\frac{5-3\sqrt{2}}{5-3\sqrt{2}}$

Wykonujemy w liczniku mnożenie, w mianowniku stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$W=\frac{5+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}-6+5-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-6}{5^2-(3\sqrt{2}{)}^2}$

Redukujemy wyrazy podobne w liczniku, w mianowniku wykonujemy wskazane działania.

$W=-\frac{2}{7}$

Liczba $-\frac{2}{7}$ zapisana jest za pomocą ilorazu liczb całkowitych, zatem $W$ to liczba wymierna.

Oszacujemy wartość wyrażenia $W=\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, przyjmując $\sqrt{2}\approx 1,4$ i $\sqrt{6}\approx 2,4$.

$W=\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Rozszerzamy ułamek przez $1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$.

$W=\frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}·\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}$

W mianowniku ułamka wykonujemy mnożenie, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$W=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3}$

Redukujemy wyrazy podobne w mianowniku ułamka.

$W=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$W=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}·\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

Szacujemy wartość otrzymanego wyrażenia.

$W\approx \frac{2+1,4-2,4}{4}=0,25$

Wartość wyrażenia jest równa w przybliżeniu 0,25.

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

różnica kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń przez ich różnicę