Podczas lekcji geometrii mierzymy raczej niewielkie odległości między punktami. Używamy do tego zwykle linijki z podziałką, prawdopodobnie też często po prostu „liczymy kratki” w zeszycie, żeby przynajmniej oszacować potrzebną odległość.
Do mierzenia większych odległości mamy teraz wyspecjalizowane przyrządy i oprogramowanie, a w przypadku szukania odległości pomiędzy miastami mogą nam pomóc „kalkulatory odległości”, z których możemy skorzystać online.
Nas jednak w tym materiale interesuje matematyczna strona mierzenia odległości na płaszczyźnieodległość na płaszczyźnieodległości na płaszczyźnie i na sferzesferasferze.
Przypomnijmy sobie informacje o prostej na płaszczyźnie i prostej sferycznej.
Przykład 1
Na płaszczyźnie znajdują się dwa punkty i . Zmieniając położenie punktu zaobserwujemy jak zmienia się odległość pomiędzy obydwoma punktami.
RzKWQmAKpVNX8
Ilustracja interaktywna przedstawia dwa połączone ze sobą punkty A oraz B. Punkt A jest nieruchomy. Istnieje możliwość poruszania punktem B. Poniżej rysunku wyświetlana jest długość otrzymanego odcinka. Przykładowo ustawiając punkt B w prawym górnym rogu grafiki otrzymujemy . Ustawiając położenie punktu B bardzo blisko punktu A możemy otrzymać .
Ilustracja interaktywna przedstawia dwa połączone ze sobą punkty A oraz B. Punkt A jest nieruchomy. Istnieje możliwość poruszania punktem B. Poniżej rysunku wyświetlana jest długość otrzymanego odcinka. Przykładowo ustawiając punkt B w prawym górnym rogu grafiki otrzymujemy . Ustawiając położenie punktu B bardzo blisko punktu A możemy otrzymać .
a) Czy istnieje najmniejsza odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie? A największa?
b) W jakich jednostkach mierzymy odległości na płaszczyźnie?
Odpowiedź
a) Najmniejsza odległość między punktami na płaszczyźnie jest równa jednostek (wówczas te punkty pokrywają się), największa nie istnieje, ponieważ płaszczyzna jest nieskończona.
b) Przykładowe jednostki to metr i jego pochodne (milimetr, centymetr itd.), cale, stopy, jardy, mile.
W dalszej części zajmiemy się zagadnieniem mierzenia odległości na powierzchni kuliodległość na sferzeodległości na powierzchni kuli w porównaniu z mierzeniem odległości na płaszczyźnie.
Przykład 2
Korzystając z kuli styropianowej, globusu lub innego kulistego przedmiotu zbadamy:
a) Ile jest dróg (wzdłuż prostej/sferycznej prostej) prowadzących od punktu do punktu na płaszczyźnie/na sferze?
b) Jak inaczej możemy sformułować pytanie postawione w punkcie a)?
Odpowiedź
a) Na płaszczyźnie jedna, na sferze to zależy od wyboru punktów. Jeśli punkty nie są biegunami, to są dwie drogi, jeśli są biegunami, to nieskończenie wiele.
R1Kd4uu7Mjwzn
Grafika przedstawia obrazek kuli do której w jednej linii, poziomo wbito pinezki. Pomiędzy pinezkami rozciągnięto czerwoną gumkę. A na całą kulę naciągnięto niebieską gumkę w taki sposób, że pokrywa się z czarną. Obok znajduje się zdjęcie cytryny, do której wbito wykałaczki w taki sposób, że jedna znajduje się przy ogonku cytryny, a dwie po jej prawej i lewej stronie. Na cytrynę na ciągnięto czerwoną gumkę w taki sposób, że rozciąga się ona po obwodzie cytryny mijając dwie wykałaczki wbite po bokach. Na cytrynę naciągnięto również trzy niebieskie gumki w taki sposób, że mają one punkt wspólny przy górnej wykałaczce i zostały ułożone w kształt sześcioramiennej gwiazdy.
Źródło: Gromar, licencja: CC BY-SA 3.0.
b) Wzdłuż ilu odcinków/odcinków sferycznych można mierzyć odległość pomiędzy punktami na płaszczyźnie/na sferze? Odpowiedź na to pytanie jest zawarta w odpowiedzi na pytanie postawione w punkcie a)
Przykład 3
Korzystając z kuli styropianowej, globusu lub innego kulistego przedmiotu zbadamy poniższe zagadnienia. Zaznaczymy na powierzchni kuli dwa różne punkty. Nazwijmy je i . Zmierzymy odległość między nimi. Jak to zrobimy? Jakich przyrządów użyjemy? W jakich jednostkach wyrazimy tę odległość?
Odpowiedź
Możemy użyć np. centymetra krawieckiego i zmierzyć odległość pomiędzy punktami i w jednostkach liniowych (, , itd.). Możemy też użyć nitki, którą połączymy dwa punkty, a potem zmierzymy długość odpowiedniego odcinka tej nitki. Oczywiście największa możliwa odległość pomiędzy punktami na powierzchni kuli będzie wtedy zależna od wielkości tej kuli.
Przykład 4
Możemy zmierzyć długość okręgu wielkiego (czyli sferycznej prostej), przyjąć otrzymaną wielkość za jednostkę długości, a następnie odległość dwóch punktów wyrazić jako ułamek tej jednostki. Już w starożytności Babilończycy stwierdzili, że wygodnie jest przyjąć część okręgu wielkiego za sferyczną jednostkę długości. Zastanówmy się dlaczego?
Z czym kojarzymy pomiary odległości w stopniach?
Odpowiedź
Babilończycy zaproponowali tę metodę, ponieważ długość okręgu wielkiego jest równa . Jest to dobrze nam znany !
Odległości w stopniach podaje się w geografii: długość i szerokość geograficzna.
RaErWVTm3zzfl
Ilustracja interaktywna przedstawia kulę, na której zaznaczono punkty A i B, w taki sposób, że punkt B znajduje się w miejscu bieguna południowego, a punkt A leży w miejscu bieguna północnego. Pomiędzy punktami po powierzchni kuli z jednej strony poprowadzona została linia ciągła, a z drugiej linia przerywana, linie te mają kształt łuku. Punkty połączone są również linią przerywaną, która biegnie przez środek kuli. Ilustracja daje możliwość zmiany promienia kuli r od 1 do pięć oraz możliwość zmiany położenia punktów A i B względem siebie. Poniżej ilustracji kuli wyświetla się informacja odnośnie miary długości łuku AB oraz odległość mierzona w stopniach. Ustawiając promień r równy 3 oraz pozostawiając punkt B w punkcie bieguna południowego i punkt A w miejscu północnego bieguna otrzymujemy odległość pomiędzy A i B jako miarę długości łuku AB równą 9,42 oraz odległość mierzoną w stopniach równą 180 stopni. Ustawiając promień r równy 4 oraz pozostawiając punkt B w punkcie południowego południka i przesuwając punkt A do połowy kuli otrzymujemy odległość pomiędzy A i B jako miarę długości łuku AB równą 6,3 oraz odległość mierzoną w stopniach równą 90,23 stopni. Ustawiając punkt A bardzo blisko punktu B, tak że znajdują się w jednej ćwiartce kuli otrzymujemy odległość pomiędzy A i B jako miarę długości łuku AB równą 1,38 oraz odległość mierzoną w stopniach równą 39,58 stopni.
Ilustracja interaktywna przedstawia kulę, na której zaznaczono punkty A i B, w taki sposób, że punkt B znajduje się w miejscu bieguna południowego, a punkt A leży w miejscu bieguna północnego. Pomiędzy punktami po powierzchni kuli z jednej strony poprowadzona została linia ciągła, a z drugiej linia przerywana, linie te mają kształt łuku. Punkty połączone są również linią przerywaną, która biegnie przez środek kuli. Ilustracja daje możliwość zmiany promienia kuli r od 1 do pięć oraz możliwość zmiany położenia punktów A i B względem siebie. Poniżej ilustracji kuli wyświetla się informacja odnośnie miary długości łuku AB oraz odległość mierzona w stopniach. Ustawiając promień r równy 3 oraz pozostawiając punkt B w punkcie bieguna południowego i punkt A w miejscu północnego bieguna otrzymujemy odległość pomiędzy A i B jako miarę długości łuku AB równą 9,42 oraz odległość mierzoną w stopniach równą 180 stopni. Ustawiając promień r równy 4 oraz pozostawiając punkt B w punkcie południowego południka i przesuwając punkt A do połowy kuli otrzymujemy odległość pomiędzy A i B jako miarę długości łuku AB równą 6,3 oraz odległość mierzoną w stopniach równą 90,23 stopni. Ustawiając punkt A bardzo blisko punktu B, tak że znajdują się w jednej ćwiartce kuli otrzymujemy odległość pomiędzy A i B jako miarę długości łuku AB równą 1,38 oraz odległość mierzoną w stopniach równą 39,58 stopni.
Jaka jest najmniejsza odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie? Jaka jest najmniejsza odległość między dwoma punktami na sferze?
Jaka jest największa odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie? Jaka jest największa odległość między dwoma punktami na sferze?
Odpowiedź
Na obu powierzchniach najmniejsza odległość to jednostek.
Na płaszczyźnie największa odległość między dwoma punktami nie istnieje, na sferze jest równa – jest to na przykład odległość między biegunami, połowa okręgu wielkiego.
Słownik
sfera
sfera
powierzchnia kuli
odległość na płaszczyźnie
odległość na płaszczyźnie
odległość euklidesowa między dwoma punktami jest równa długości odcinka łączącego te punkty
odległość na sferze
odległość na sferze
odległość sferyczna między dwoma punktami na sferze jest równa długości odcinka sferycznego (łuku zawartego w prostej sferycznej, czyli okręgu wielkim) łączącego te punkty
