Dany jest graniastosłup prawidłowy pięciokątny, którego wszystkie krawędzie są równe $1$. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty, których bokami są odcinki łączące wybrane $3$ wierzchołki danego graniastosłupa. Obliczymy, ile jest wśród nich trójkątów prostokątnych.

Rozwiązanie

Ponieważ graniastosłup prawidłowy pięciokątny ma $5·2=10$ wierzchołków, więc wszystkich trójkątów, których boki łączą $3$ wierzchołki wybrane spośród tych $10$ jest tyle, ile jest $3$-elementowych kombinacji$k$-elementowa kombinacja zbioru $n$-elementowegokombinacji zbioru $10$-elementowego. Liczbaliczba wszystkich $k$–elementowych kombinacji zbioru $n$-elementowegoLiczba tych kombinacji jest równa $\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=120$, zatem tyle jest ogółem omawianych trójkątów.

Najpierw zajmiemy się trójkątami, których boki to odcinki łączące $3$ wierzchołki należące do jednej z podstaw graniastosłupa.

Zauważmy, że w każdym pięciokącie foremnym wszystkie przekątne są tej samej długości (oznaczmy przez $d$ długość takiej przekątnej w pięciokącie foremnym o boku $1$). Oznacza to, że jeżeli wybierzemy $3$ wierzchołki należące do jednej z podstaw rozpatrywanego graniastosłupa, to otrzymamy trójkąt równoramienny jednego z dwóch typów:
(1) o podstawie $d$ i ramionach równych $1$; w takim trójkącie kąty przy podstawie są równe $36°$, a kąt między ramionami ma miarę $108°$ - żaden z tych trójkątów nie jest więc prostokątny; zauważmy też, że taki trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez przekątną $d$ pięciokąta foremnego, zatem jest $5$ różnych trójkątów tego typu,
(2) o podstawie $1$ i ramionach równych $d$; w takim trójkącie kąty przy podstawie są równe $72°$, a kąt między ramionami ma miarę $36°$ - żaden z nich nie jest więc prostokątny; zauważmy też, że taki trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez bok pięciokąta foremnego, zatem jest $5$ różnych trójkątów tego typu.

Ponieważ w każdej z dwóch podstaw rozpatrywanego graniastosłupa jest $5$ trójkątów każdego z omówionych dwóch typów, więc korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia oraz z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania obliczamy, że ogółem jest $2·5+2·5=20$ nieprostokątnych trójkątów równoramiennych, których bokami są odcinki łączące trzy wierzchołki należące do jednej z podstaw graniastosłupa.

Następnie rozpatrujemy takie trójkąty, których dokładnie $2$ wierzchołki leżą w płaszczyźnie jednej z podstaw danego graniastosłupa.

Najpierw zajmiemy się takimi trójkątami spośród nich, których jednym z boków jest krawędź boczna graniastosłupa.

Ponieważ dany graniastosłup jest prawidłowy, więc każda z jego $5$ krawędzi bocznych jest prostopadła do obu płaszczyzn podstaw graniastosłupa.
Wynika stąd, że każdy z takich trójkątów jest prostokątny, a ponieważ do każdego z dwóch końców wybranej krawędzi bocznej wybierzemy trzeci wierzchołek trójkąta dowolnie spośród $8$ pozostałych, więc ogółem jest $5·8=40$ takich trójkątów.

Pozostało nam do rozpatrzenia $120-\left(40+20\right)=60$ trójkątów.

Weźmy przykładowy spośród nich i oznaczmy przez $A$ oraz $B$ dwa wierzchołki, które leżą w tej samej podstawie graniastosłupa, przez $C$ – trzeci wierzchołek. Zgodnie z założeniem, żaden z odcinków $AC$, $BC$ nie jest krawędzią boczną danego graniastosłupa.
Rozpatrzmy krawędź boczną, której jednym z końców jest wierzchołek $C$ i oznaczmy jej drugi koniec przez $D$ - wtedy punkt $D$ razem z punktami $A$, $B$ leży w tej samej podstawie graniastosłupa.
Ponieważ możliwe wartości miar kątów $DBA$ oraz $DAB$ to (jak pokazaliśmy wcześniej) $36°$, $72°$, $108°$, więc na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych wnioskujemy, że żaden z kątów $CBA$, $CAB$ nie jest prosty, zatem wśród tych $60$ trójkątów nie ma już prostokątnych.

Wynika stąd, że wśród rozpatrywanych jest dokładnie $40$ trójkątów prostokątnych.

Rozpatrzmy graniastosłup, którego podstawą jest $n$-kąt wypukły. Wówczas liczby:
$w$ – jego wierzchołków, $s$ – jego ścian oraz $k$ – jego krawędzi są równe
$w=2n$, $s=n+2$, $k=3n$.

a) Łączna liczba wierzchołków i krawędzi pewnego graniastosłupa jest równa $80$. Obliczymy, ile ścian ma ten graniastosłup.

Rozwiązanie

Korzystając z ustaleń podanych w powyższym twierdzeniu zapisujemy zależność:
$w+k=80$, skąd $2n+ 3n=80$, $5n=80$, czyli $n=16$. Oznacza to, że liczba ścian tego graniastosłupa jest równa $s=n+2=18$.

Zauważmy przy okazji, że w graniastosłupie suma liczby wierzchołków i krawędzi jest podzielna przez $5$ ($w+k=2n+3n=5n$), co oznacza, że nie istnieje graniastosłup, w którym suma liczby krawędzi i liczby wierzchołków jest np. równa $777$.

b) W pewnym graniastosłupie jest o $36$ więcej krawędzi niż ścian. Obliczymy, ile wierzchołków ma ten wielościan.

Rozwiązanie

Ponownie korzystając z ustaleń podanych w powyższym twierdzeniu zapisujemy zależność:
$k=s+36$, skąd $3n=n+2+36$, czyli $2n=38$. Oznacza to, że liczba wierzchołków tego graniastosłupa jest równa $w=2n=38$.

Zauważmy, że w dowolnym graniastosłupie różnica między liczbą krawędzi i liczbą ścian jest o $2$ mniejsza od liczby wierzchołków ($k–s=2n–2=w–2$).

c) W pewnym graniastosłupie liczby: krawędzi ($k$), wierzchołków ($w$) oraz ścian ($s$) spełniają warunki $w+10<k<s+30$. Obliczymy, ile krawędzi ma ten graniastosłup.

Rozwiązanie

Kolejny raz korzystamy z ustaleń zapisanych w powyższym twierdzeniu. Otrzymujemy układ nierówności:
$2n+10<3n<n+2+30$.
Stąd $n>10$ i  $2n<32$, a więc $10<n<16$, czyli $n\in \left\{11,12,13,14,15\right\}$.
Oznacza to, że jest $5$ możliwych wartości liczby krawędzi: $k=3n\in \left\{33,36,39,42,45\right\}$.

Rozpatrzmy ostrosłup, którego podstawą jest $n$-kąt wypukły. Wówczas liczby:
$w$ – jego wierzchołków, $s$ – jego ścian oraz $k$ – jego krawędzi są równe
$w=n+1$, $s=n+1$, $k=2n$.

a) W pewnym ostrosłupie wierzchołków jest o $44$ mniej niż krawędzi. Obliczymy, ile ścian ma ten ostrosłup.

Rozwiązanie

Korzystając z ustaleń podanych w powyższym twierdzeniu zapisujemy zależność:
$w+44=k$, skąd $n+1+44=2n$, czyli $n=45$.
Oznacza to, że liczba ścian tego ostrosłupa jest równa $s=n+1=46$.

Zauważmy, że w dowolnym ostrosłupie różnica między liczbą krawędzi i liczbą wierzchołków jest o $2$ mniejsza od liczby krawędzi ($k–w=n–1=s–2$).

b) Łączna liczba ścian, wierzchołków i krawędzi pewnego ostrosłupa jest liczbą trzycyfrową mniejszą od $105$. Obliczymy, ile krawędzi bocznych ma ten wielościan.

Rozwiązanie

Korzystamy z ustaleń podanych w twierdzeniu. Otrzymujemy stąd układ nierówności
$99<s+w+k<105$, skąd $99<n+1+n+1+2n<105$,
$99<4n+2<105$,
$97<4n<103$,
czyli $n\in \left(24\frac{1}{4},25\frac{3}{4}\right)$.

Oznacza to, że $n=25$, czyli jest tylko jeden ostrosłup spełniający warunki zadania, w którym liczba krawędzi bocznych jest równa $25$.

a) Dwudziestościan foremny to wielościan, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, przy czym każdy wierzchołek dwudziestościanu jest wspólny dla $5$ ścian. Obliczymy, ile krawędzi oraz ile wierzchołków ma dwudziestościan foremny.

Rozwiązanie

Ponownie wykorzystamy metodę zliczania krawędzi na dwa sposoby.

Zauważmy, że:

• ponieważ każda ściana dwudziestościanu to trójkąt, więc $n_1=n_2=\dots =n_{20}=3$,

• ponieważ każda krawędź wielościanu jest wspólna dla dokładnie dwóch ścian, więc $2k=n_1+n_2+\dots +n_{20}=20·3$, skąd $k=30$,

• ponieważ z każdego wierzchołka dwudziestościanu wychodzi $5$ krawędzi oraz każda krawędź łączy dwa wierzchołki, więc $5w=2k=60$, czyli $w=12$.

Uwaga. Ponieważ każdy z kątów trójkąta równobocznego ma miarę $60°$, więc wierzchołek wielościanu foremnego, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, może być wspólny dla:

• $5$ takich trójkątów (to omówiony powyżej przypadek dwudziestościanu foremnego),

• $4$ takich trójkątów - wielościan o tej własności to ośmiościan foremny,

• $3$ takich trójkątów - wielościan o tej własności to czworościan foremny.

Rozumując podobnie, jak w przykładzie omówionym w  podpunkcie a) obliczymy np. że ośmiościan foremny ma $k=12$ krawędzi oraz $w=6$ wierzchołków.

b) Dwunastościan foremny to wielościan, którego wszystkie ściany są przystającymi pięciokątami foremnymi. Obliczymy, ile krawędzi oraz ile wierzchołków ma dwunastościan foremny.

Rozwiązanie

Zauważmy, że:

• ponieważ każdy z kątów pięciokąta foremnego ma miarę $108°$, więc każdy wierzchołek dwunastościanu jest wspólny dla $3$ ścian (dla $n\ge 4$ suma kątów płaskich w narożu wielościanu byłaby większa od $360°$, co jest niemożliwe),

• ponieważ każda ściana dwunastościanu to pięciokąt, więc $n_1=n_2=\dots =n_{12}=5$,

• ponieważ każda krawędź dwunastościanu jest wspólna dla dokładnie dwóch ścian, więc $2k=n_1+n_2+\dots +n_{12}=12·5=60$, skąd $k=30$,

• ponieważ z każdego wierzchołka dwunastościanu wychodzą $3$ krawędzie oraz każda krawędź łączy dwa wierzchołki, więc $3w=2k=60$, czyli $w=20$.

Uwaga. Ponieważ wierzchołek wielościanu wypukłego jest wspólny dla co najmniej $3$ ścian i suma kątów płaskich przy tym wierzchołku jest mniejsza niż $360°$, więc kąt płaski przy wierzchołku wielościanu foremnego jest mniejszy niż $120°$. Natomiast w $n$-kącie foremnym, w którym $n\ge 6$, kąt wewnętrzny spełnia warunek $\left(1-\frac{2}{n}\right)·180°\ge \left(1-\frac{2}{6}\right)·180°=\frac{2}{3}·180°=120°$. Wynika stąd, że nie istnieje wielościan foremny, którego ścianą byłby wielokąt foremny o liczbie boków większej niż $5$.

c) Pewien wielościan ma $32$ ściany, każda z tych ścian to albo pięciokąt foremny, albo sześciokąt foremny, przy czym żadne dwie ściany pięciokątne nie mają wspólnej krawędzi.
Obliczymy, ile ścian pięciokątnych ma ten wielościan oraz ile ma on ogółem krawędzi ($k$), a także ile jest jego wszystkich wierzchołków ($w$).

Rozwiązanie

Oznaczmy: przez $x$ - liczbę ścian pięciokątnych oraz przez $y$ - liczbę ścian sześciokątnych. Zatem $x+y=32$.

Zauważmy, że ponieważ ścianami wielościanu są pięciokąty foremne oraz sześciokąty foremne, więc wierzchołek wielościanu jest wspólny dla dokładnie trzech ścian, co oznacza też, że z każdego wierzchołka wychodzą dokładnie $3$ krawędzie.
Wobec tego
(1) $2k=3w=5x+6y$.

Jak wiemy, w wierzchołku wielościanu wypukłego mogą się spotkać co najwyżej dwa sześciokąty foremne. Ponadto z warunków zadania wynika, że taki wierzchołek nie może być wspólny dla dwóch lub trzech pięciokątów foremnych.
Oznacza to, że każdy wierzchołek rozpatrywanego wielościanu jest wspólny dla dwóch sześciokątów foremnych i jednego pięciokąta foremnego, a więc
(2) $w=5x$.

Na podstawie wniosków (1) i (2) otrzymujemy więc równanie
$3·5x=5x+6y$,
które możemy przekształcić do postaci $x=\frac{3}{5}y$.

Stąd $y+\frac{3}{5}y=32$, a więc $y=20$, czyli $x=12$.
Wobec tego $w=5·12=60$ oraz $k=\frac{3}{2}w=\frac{3}{2}·60=90$.

Zatem rozpatrywany wielościan ma $12$ ścian pięciokątnych, $20$ ścian sześciokątnych, $90$ krawędzi oraz $60$ wierzchołków.

Uwaga Wielościan rozpatrywany w podpunkcie c) (nazywany dwudziestościanem ściętym) można uzyskać przez odpowiednie ścięcie naroży w każdym wierzchołku dwudziestościanu foremnego, omawianego w podpunkcie a).

Wykażemy, że zależność $w-k+s=2$ (nazywana wzorem Eulera dla wielościanów) opisuje związek między liczbami wierzchołków ($w$), krawędzi ($k$) oraz ścian ($s$) dowolnego wielościanu wypukłego.

Dowód

Zaczniemy od rozłożenia brzegu wielościanu na oddzielne ściany, a następnie będziemy sklejali ściany wielościanu tak, aby ponownie złożyć wielościan do stanu początkowego. Do prawidłowego złożenia wielościanu będzie nam potrzebna jedynie informacja, które dwie ściany sąsiadują ze sobą przez wspólną dla nich krawędź (można o to zawczasu zadbać np. numerując krawędzie i zapisując ten numer przy krawędzi w każdej z dwóch jej wspólnych ścian).

Następnie ze zbioru, w którym są wszystkie ściany wielościanu otrzymane w wyniku omówionego podziału wybierzemy jeden element. Tak otrzymana figura ma jedną ścianę oraz równe liczby wierzchołków oraz krawędzi - na początku mamy więc $w-k+s=1$.

W pierwszym kroku dokleimy sąsiednią (względem jednej z wybranych krawędzi) ścianę do tej, którą wybraliśmy na początku. Ponieważ doklejana ściana ma z początkową wspólne $2$ wierzchołki oraz $1$ krawędź, więc liczba dodanych wierzchołków jest o $1$ mniejsza od liczby dodanych krawędzi. Ale nasza figura zwiększyła o $1$ liczbę ścian, więc nadal prawdziwa jest równość $w-k+s=1$.

Do otrzymanej figury w każdym kolejnym kroku będziemy doklejać następną ścianę w ten sposób, żeby ostatnia doklejana ściana była jedyną, która będzie miała wszystkie krawędzie i wierzchołki wspólne z figurą otrzymaną w poprzednim kroku.

Rozpatrzmy więc kolejną doklejaną ścianę i załóżmy, że nie jest to ostatnia ściana do doklejenia.

Oznaczmy wtedy przez $n$ liczbę wspólnych krawędzi tej doklejanej ściany z figurą otrzymaną w poprzednim kroku.
Zauważmy, że wówczas zbiór tych krawędzi tworzy łamaną zwyczajną, w której $n-1$ wierzchołków jest wspólnych dla dokładnie dwóch krawędzi łamanej, a ponadto są jeszcze $2$ krańcowe wierzchołki, które nie zamykają łamanej. Oznacza to, że doklejona ściana ma $n+1$ wspólnych wierzchołków z figurą otrzymaną w poprzednim kroku.
Zatem w każdym z omawianych przypadków po doklejeniu ściany liczba dodanych wierzchołków jest o $1$ mniejsza od liczby dodanych krawędzi, a liczba ścian zwiększyła się o $1$. Stąd dla otrzymanej figury prawdziwa jest równość $w-k+s=1$. Równość ta jest wobec tego prawdziwa po doklejeniu przedostatniej ściany.

Zauważmy, że kiedy doklejamy ostatnią ścianę, to wszystkie jej krawędzie i wierzchołki są wspólne z figurą otrzymaną w poprzednim kroku, więc nie zmienią się liczby $w$ i $k$. Natomiast liczba ścian zwiększy się w tym momencie o $1$, więc ostatecznie dostajemy, że dla dowolnego wielościanu wypukłego zachodzi równość $w-k+s=2$.

W ten sposób dowód został zakończony.

a) Korzystając ze wzoru Eulera dla wielościanów obliczymy liczbę ścian wielościanu wypukłego, wiedząc, że każdy z jego wierzchołków jest wspólny dla $5$ trójkątów równobocznych.

Rozwiązanie

Ponieważ każdy z wierzchołków wielościanu jest wspólny dla $5$ trójkątów równobocznych, więc zachodzą następujące zależności
$2k=5w=3s$,
co oznacza, że $k=\frac{3}{2}s$ oraz $w=\frac{3}{5}s$.
Uwzględniając otrzymane zależności we wzorze Eulera otrzymujemy równanie $\frac{3}{5}s-\frac{3}{2}s+s=2$, skąd $s=20$.

W ten sposób pokazaliśmy, że założoną własność ma jedynie dwudziestościan (jest to, oczywiście, dwudziestościan foremny).

W analogiczny sposób pokazujemy, że:

• wielościan wypukły, w którym każdy z wierzchołków jest wspólny dla $4$ trójkątów równobocznych to ośmiościan foremny,

• wielościan wypukły, w którym każdy z wierzchołków jest wspólny dla $3$ trójkątów równobocznych to czworościan foremny,

• wielościan wypukły, w którym każdy z wierzchołków jest wspólny dla $3$ kwadratów to sześcian,

• wielościan wypukły, w którym każdy z wierzchołków jest wspólny dla $3$ pięciokątów foremnych to dwunastościan foremny.

b) Korzystając ze wzoru Eulera dla wielościanów wykażemy, że w dowolnym wielościanie wypukłym liczba krawędzi ($k$), liczba wierzchołków ($w$) oraz liczba ścian ($s$) spełniają nierówności:
$k\ge 6$, $w\ge 4$ oraz $s\ge 4$.

Dowód

Ponieważ dla dowolnego wielościanu wypukłego zachodzą nierówności
$2k\ge 3s$ oraz $2k\ge 3w$, więc:

(1) $s+w\le \frac{2}{3}k+\frac{2}{3}k=\frac{4}{3}k$,
co oznacza, że $s+w-k\le \frac{1}{3}k$,
zatem (na mocy wzoru Eulera dla wielościanów) $2\le \frac{1}{3}k$,
czyli $k\ge 6$. $\square$

(2) $2k-3w\ge 0$,
skąd $6+k+2k-3w\ge 6+k$,
co oznacza, że $3\left(2+k-w\right)\ge 6+k$,
zatem (na mocy wzoru Eulera dla wielościanów) $3s\ge 6+k$;
korzystając ze spostrzeżenia poczynionego w podpunkcie a) otrzymujemy $3s\ge 6+k\ge 6+6=12$,
czyli $s\ge 4$. $\square$

(3) $2k-3s\ge 0$,
skąd $6+k+2k-3s\ge 6+k$,
co oznacza, że $3\left(2+k-s\right)\ge 6+k$,
zatem (na mocy wzoru Eulera dla wielościanów) $3w\ge 6+k$;
korzystając ze spostrzeżenia poczynionego w podpunkcie a) otrzymujemy $3w\ge 6+k\ge 6+6=12$,
czyli $w\ge 4$. $\square$

W jedenastokącie foremnym poprowadzono wszystkie przekątne.
Wiadomo, że nie istnieją wśród tych przekątnych takie trzy, które mają wspólny punkt (zobacz rysunek).

RSP3eKrIBhVzA

Ilustracja przedstawia jedenastokąt foremny. Przeprowadzono przez niego wszystkie przekątne.

Obliczymy, na ile części został podzielony ten wielokąt.

Rozwiązanie

Popatrzmy na powyższy rysunek, jak na diagram Schlegela pewnego wielościanu wypukłego.
Wtedy dany jedenastokąt foremny to ściana $s_1$, więc szukana liczba części podziału wielokąta to $s-1$, gdzie $s$ to liczba ścian wielościanu prezentowanego na diagramie (jak zwykle oznaczamy też: $k$ - liczba krawędzi, $w$ - liczba wierzchołków tak otrzymanego wielościanu).

Zauważmy, że

• liczba wierzchołków tego wielościanu jest równa liczbie wszystkich wierzchołków jedenastokąta w sumie z liczbą wszystkich punktów przecięcia par jego przekątnych.
  Ponieważ każdy punkt przecięcia jest wyznaczony jednoznacznie przez czworokąt, którego wierzchołkami są wybrane $4$ wierzchołki jedenastokąta, więc (skoro w jedenastokącie żadne trzy przekątne nie przecinają się w jednym punkcie) ta ostatnia liczba jest równa liczbieliczba wszystkich $k$–elementowych kombinacji zbioru $n$-elementowegoliczbie wszystkich $4$-elementowych kombinacji$k$-elementowa kombinacja zbioru $n$-elementowegokombinacji zbioru $4$-elementowego, czyli $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)=330$. Wobec tego $w=\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)+11=330+11=341$

• liczba krawędzi tego wielościanu jest równa liczbie wszystkich boków jedenastokąta w sumie z liczbą wszystkich odcinków, na które zostały podzielone przekątne wielokąta (punkty podziału to punkty wspólne par przekątnych - jak już powyżej obliczyliśmy, tych punktów jest $\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)$).
  Zauważmy, w każdym czworokącie wypukłym punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na $2$ części, zatem liczba wszystkich odcinków otrzymanych z wzajemnego podziału par przekątnych jedenastokąta to suma liczby jego przekątnych oraz podwojonej liczby punktów podziału, a więc jest równa $\left(\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)-11\right)+2·\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)=55-11+660=704$.
  Wobec tego $k=11+\left(\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)-11\right)+2·\left(\begin{array}{c}11\\ 4\end{array}\right)=55+660=715$

Oznacza to, że (na mocy wzoru Eulera dla wielościanów)
$s=2+k-w=2+715-341=376$.

Wobec tego szukana liczba części otrzymanych z podziału jedenastokąta jest równa
$s-1=376-1=375$.

każdy $k$-elementowy podzbiór zbioru $n$-elementowego, gdzie $0\le k\le n$, nazywamy $k$-elementową kombinacją tego zbioru $n$-elementowego

liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji zbioru $n$-elementowego, gdzie $0\le k\le n$, jest równa

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_1$ sposobów, druga – na jeden z $k_2$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_3$ sposobów i tak dalej do $n$-tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_n$ sposobów, jest równa

jeżeli zbiory $A_1,A_2,\dots ,A_n$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_1,A_2,\dots ,A_n$: