Polecenie 1

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

1Kombinatoryka w stereometrii162050Brawo! Umiesz rozwiązywać zadania kombinatoryki w stereometrii.Niestety, nie udało się. Ponownie przeanalizuj omówione przykłady.

Test

Kombinatoryka w stereometrii

Sprawdzisz swoją wiedzę dotyczącą:

liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w ostrosłupach,
liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w graniastosłupach,
liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w wielościanach foremnych,
liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w innych wielościanach wypukłych.

Liczba pytań:

Limit czasu:

20 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Kombinatoryka w stereometrii

Pytanie: 1/6

Twój ostatni wynik: -

W każdym wierzchołku pewnego wielościanu wypukłego spotykają się: jeden czworokąt, jeden sześciokąt i jeden ośmiokąt.
Wynika stąd, że:

w tym wielościanie suma liczby ścian oraz liczby krawędzi jest równa $98$ .
w tym wielościanie suma liczby krawędzi oraz liczby wierzchołków jest równa $98$ .
w tym wielościanie suma liczby wierzchołków oraz liczby ścian jest równa $74$ .
w tym wielościanie liczba ścian jest o $46$ mniejsza od liczby krawędzi.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty, których boki łączą trzy wierzchołki graniastosłupa prawidłowego siedmiokątnego, mającego wszystkie krawędzie tej samej długości.
Ile jest wśród nich trójkątów prostokątnych?

$84$
$28$
$56$
$140$

Poniższe stwierdzenia dotyczą liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi graniastosłupa.
Znajdź i zaznacz wszystkie te zdania, które są prawdziwe.

Istnieje graniastosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $69696$ .
Istnieje graniastosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $101250$ .
Istnieje graniastosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $141210$ .
Istnieje graniastosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $172800$ .

Istnieje ostrosłup, w którym suma liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równa:

$2022$
$2023$
$2024$
$2025$

Poniższe stwierdzenia dotyczą liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi ostrosłupa.
Znajdź i zaznacz wszystkie te zdania, które są prawdziwe.

Istnieje ostrosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $30000$ .
Istnieje ostrosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $15200$ .
Istnieje ostrosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $17640$ .
Istnieje ostrosłup, w którym iloczyn liczby ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równy $42336$ .

Pewien wielościan wypukły ma $24$ wierzchołki. Jedna z jego ścian jest kwadratem, natomiast każda z pozostałych $n$ ścian jest trójkątem.
Wynika stąd, że

$n = 42$
$n = 41$
$n = 43$
$n = 44$

Poniższe stwierdzenia dotyczą wielościanów foremnych.
Wskaż zdanie fałszywe.

Istnieją dwa wielościany foremne, które mają tę samą liczbę wierzchołków i jednocześnie różnią się o $2$ liczbą ścian.
Istnieją dwa wielościany foremne, które mają tę samą liczbę krawędzi i jednocześnie różnią się o $2$ liczbą wierzchołków.
Istnieją dwa takie wielościany foremne, które mają tę samą liczbę krawędzi i jednocześnie różnią się o $8$ liczbą ścian.
Istnieją dwa takie wielościany foremne, że suma liczby wierzchołków i liczby krawędzi jednego z nich jest równa sumie liczby ścian i liczby wierzchołków drugiego.

Suma liczby wszystkich ścian i wszystkich krawędzi bocznych ostrosłupa jest równa $721$ .
Wynika stąd, że:

ten ostrosłup ma $361$ ścian.
ten ostrosłup ma $720$ wierzchołków.
w tym ostrosłupie liczba krawędzi jest o $359$ większa od liczby wierzchołków.
ten ostrosłup ma $720$ krawędzi.

Pewien wielościan wypukły ma $9$ krawędzi.
Wynika stąd, że:

liczba jego ścian może być równa $5$ .
liczba jego ścian może być równa $6$ .
liczba jego wierzchołków może być równa $5$ .
liczba jego wierzchołków może być równa $6$ .

W każdym wierzchołku pewnego wielościanu wypukłego spotykają się $2$ trójkąty i $2$ pięciokąty.
Wynika z tego, że:

w tym wielościanie liczba krawędzi jest o $28$ większa od liczby wierzchołków
w tym wielościanie liczba ścian jest o $2$ większa od liczby wierzchołków.
w tym wielościanie liczba ścian jest o $28$ mniejsza od liczby krawędzi.
w tym wielościanie suma liczb: ścian, wierzchołków oraz krawędzi jest równa $120$ .

Poniższe stwierdzenia dotyczą liczby ścian oraz krawędzi pewnego wielościanu wypukłego.
Znajdź i zaznacz wszystkie te zdania, które są prawdziwe.

Istnieje wielościan wypukły, który ma $30$ krawędzi i każda z jego ścian jest trójkątem.
Istnieje wielościan wypukły, który ma $31$ ścian i każda z tych ścian jest trójkątem.
Istnieje wielościan wypukły, który ma $31$ krawędzi i każda z jego ścian jest trójkątem.
Istnieje wielościan wypukły, który ma $32$ krawędzie i każda z jego ścian jest trójkątem.

Suma liczby wszystkich krawędzi bocznych i wszystkich wierzchołków graniastosłupa jest równa $135$ .
Oznacza to, ze liczba wszystkich ścian tego graniastosłupa jest równa

$47$
$45$
$27$
$29$

Ten sam $n$ -kąt wypukły jest podstawą ostrosłupa oraz podstawą graniastosłupa. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o $75$ większa od liczby wszystkich ścian tego ostrosłupa.
Wynika stąd, że:

rozpatrywany ostrosłup ma $152$ krawędzie.
rozpatrywany graniastosłup ma $152$ krawędzie.
rozpatrywany ostrosłup ma $76$ wierzchołków.
rozpatrywany graniastosłup ma $76$ wierzchołków.

Pewien wielościan wypukły ma $8$ krawędzi.
Wynika stąd, że:

liczba jego ścian może być równa $4$ .
liczba jego ścian może być równa $5$ .
liczba jego wierzchołków może być równa $5$ .
liczba jego wierzchołków może być równa $6$ .

Wykonany z jednego kawałka drewna sześcian o krawędzi długości $10$ pomalowano na biało, a następnie podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na $10^{3}$ sześcianików jednostkowych.
Wynika z tego, że:

wśród sześcianików jednostkowych jest dokładnie $6$ takich, których $3$ ściany pomalowana są na biało.
wśród sześcianików jednostkowych jest $96$ takich, których dokładnie $2$ ściany pomalowana są na biało.
wśród sześcianików jednostkowych są $384$ takie, których dokładnie $1$ ściana pomalowana jest na biało.
wśród sześcianików jednostkowych jest dokładnie $512$ takich, których żadna ściana nie jest pomalowana na biało.

Polecenie 2

Ułóż po jednym zadaniu w odniesieniu do:

liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w ostrosłupach,
liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w graniastosłupach,
liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w wielościanach foremnych,
liczby ścian, krawędzi, wierzchołków w innych, niż rozpatrzone wcześniej, wielościanach wypukłych.

Zredaguj pełne rozwiązanie wraz ze wszystkimi istotnymi uzasadnieniami. Zapisz odpowiedź, podając wynik jako liczbę naturalną.

Przeczytaj

Sprawdź się

Test samosprawdzający

Kombinatoryka w stereometrii