Wzór funkcji kwadratowej

Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej

Postać

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie $a, b, c \in ℝ$ , $a \neq 0$ oraz $x \in ℝ$ nazywamy postacią ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Wzór funkcji kwadratowej może też być zapisany za pomocą wzoru w postaci kanonicznej.

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $g$ określonej wzorem $g (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , otrzymujemy przez przekształcenie paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ , gdzie $a \neq 0$ , poprzez:

przesunięcie wykresu o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ ) lub $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) wzdłuż osi $X$ oraz o $q$ jednostek w górę ( $q > 0$ ) lub $q$ jednostek w dół ( $q < 0$ ) wzdłuż osi $Y$ ,
przesunięcie wykresu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ .

Przykład 1

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ , określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{3} x^{2}$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ oraz o $3$ jednostki w dół wzdłuż osi $Y$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$ . Podamy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że $a = \frac{1}{3}$ , $p = 2$ , $q = - 3$ , zatem:

$g (x) = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} - 3$ .

Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej

Wprowadźmy definicję wyróżnika trójmianu kwadratowego.

wyróżnik trójmianu kwadratowego

Definicja: wyróżnik trójmianu kwadratowego

Dany jest trójmian kwadratowy postaci $a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ . Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy wyrażenie $b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ i zapisujemy jako:

$∆ = b^{2} - 4 a c$

Na podstawie przesunięcia paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a x^{2}$ , gdzie $a \neq 0$ wzdłuż osi układu współrzędnych, możemy zdefiniować postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej.

o postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej

Twierdzenie: o postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej

Wzór funkcji kwadratowej zapisany w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ można zapisać za pomocą wzoru

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$ .

Dowód:

$f (x) = a x^{2} + b x + c = a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a \cdot (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x) + c =$

$= a \cdot [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}] + c = a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c =$

$= a \cdot {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

Otrzymujemy wzór $f (x) = a \cdot {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$

Liczby $p$ i $q$ są kolejnymi współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej.

Zauważmy, że jeżeli w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ wartość współczynnika $b = 0$ , to funkcja opisana wzorem $f (x) = a x^{2} + c$ jest zapisana za pomocą wzoru zarówno w postaci ogólnej, jak i kanonicznej.

Przykłady wzorów funkcji kwadratowej, zapisanych w postaci zarazem ogólnej i kanonicznej to:

$f (x) = x^{2} - 3$ ,

$g (x) = - 3 x^{2} + 5$ ,

$h (x) = \sqrt{5} x^{2} - 1$ .

Zauważmy, że jeżeli postać ogólną wzoru funkcji kwadratowejpostać ogólną wzoru funkcji kwadratowej możemy przedstawić w postaci kwadratu sumy lub różnicy wyrażeń, to taka postać jest także postacią kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej. Na przykład:

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1 = {(2 x - 1)}^{2} = 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}$ ,

$g (x) = - x^{2} + 10 x - 25 = - (x^{2} - 10 x + 25) = - {(x - 5)}^{2}$ ,

$h (x) = x^{2} - 12 x + 36 = {(x - 6)}^{2}$ .

Przykład 2

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 6 x$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, to wzór funkcji $f$ możemy zapisać w ten sposób:

$f (x) = x^{2} + 6 x = x^{2} + 6 x + 9 - 9 = {(x + 3)}^{2} - 9$ .

Przykład 3

Wyznaczymy postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowejpostać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej, jeżeli:

a) $f (x) = - 4 x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{4}{9}$ ,

b) $g (x) = \sqrt{2} x^{2} - 8 \sqrt{2} x + 16 \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie:

Wykorzystując wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy, mamy:

a) $f (x) = - 4 x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{4}{9} = - 4 (x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{1}{9}) = - 4 {(x + \frac{1}{3})}^{2}$ ,

b) $g (x) = \sqrt{2} x^{2} - 8 \sqrt{2} x + 16 \sqrt{2} = \sqrt{2} (x^{2} - 8 x + 16) = \sqrt{2} {(x - 4)}^{2}$ .

Postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej możemy znajdować za pomocą podanych wcześniej wzorów.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f (x) = 2 x^{2} - x - 1$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie:

Wypisujemy wartości współczynników: $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = - 1$ , a następnie obliczamy:

$p = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$ ,

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$ ,

$q = \frac{- 9}{4 \cdot 2} = - \frac{9}{8}$ .

Obliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną funkcji:

$f (x) = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

Przykład 5

Wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2}$ przesunięto o wektor $\vec{A B}$ , gdzie $A = (- 2, 4)$ i $B = (1, 5)$ . Otrzymano w ten sposób wykres pewnej funkcji kwadratowej $g$ , której postać kanoniczną wyznaczymy.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenie:

$g (x) = a (x - p)^{2} + q$ - wzór funkcji $g$ w postaci kanonicznej (wykresem tej funkcji jest parabola uzyskana w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f$ jest o wektor $\vec{A B}$ ).

Wówczas $\vec{A B} = [p, q]$ oraz $a = - 3$ .

Wyznaczymy współrzędne wektora $\vec{A B}$ .

Zatem:

$\vec{A B} = [1 - (- 2), 5 - 4] = [3, 1]$

Wobec tego funkcja $g$ jest określona wzorem $g (x) = - 3 (x - 3)^{2} + 1$ .

Przykład 6

Wyznaczymy współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2}$ tak, aby otrzymać parabolę, do której należą punkty o współrzędnych $(- 3, 0)$ oraz $(0, 3)$ .

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$[p, q]$ - współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres funkcji $f$

$g (x) = {(x - p)}^{2} + q$ - wzór funkcji powstałej po przesunięciu paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ o wektor o współrzędnych $[p, q]$

Ponieważ punkty o współrzędnych $(- 3, 0)$ oraz $(0, 3)$ należą do paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ , zatem do wyznaczenia wartości $p$ i $q$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 0 = (- 3 - p)^{2} + q \\ 3 = (0 - p)^{2} + q \end{cases}$

$(- 3 - p)^{2} + q = (0 - p)^{2} + q - 3$

$(- 3 - p)^{2} = p^{2} - 3$

$9 + 6 p + p^{2} = p^{2} - 3$

$9 + 6 p = - 3$

$p = - 2$

Wobec tego $q = - (- 3 + 2)^{2} = - 1$ .

Szukany wektor ma współrzędne $[- 2, - 1]$ .

Słownik

wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

f (x) = a x^{2} + b x + c

gdzie:

$a, b, c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q

gdzie:

$p = \frac{- b}{2 a}$ ,

$q = \frac{- ∆}{4 a}$ ,

$∆ = b^{2} - 4 a c$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Przeczytaj

Wzór funkcji kwadratowej

Postać ogólna wzoru funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej

Słownik