Przeczytaj

Już wiesz

Niech $l$ będzie dowolną prostą na płaszczyźnie. Jeśli punkt $A$ jest punktem płaszczyzny nieleżącym na prostej $l$ , to punkt $A'$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej $l$ , gdy:

punkty $A$ i $A'$ leżą po przeciwnych stronach prostej $l$ ,
odcinek $A A'$ jest prostopadły do prostej $l$ ,
odległość punktu $A'$ od prostej $l$ jest równa odległości punktu $A$ od tej prostej.

Jeżeli punkt leży na prostej $l$ , to jego obrazem jest on sam.

Symetrię osiową względem prostej $l$ oznaczać możemy symbolem $S_{l}$ . Zapis $S_{l} (A)$ oznacza obraz punktu $A$ w symetrii względem prostej $l$ .

ROf4RRiYyUpXf

Ilustracja przedstawia odcinek A A prim oraz prostą l prostopadłą do odcinka A A prim, przechodzącą przez jej środek

Wyprowadzimy teraz zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem prostej o równaniu $y = a x + b$ .

RyRRDwCwPKLzb

Ilustracja przedstawia poziomą oś x i pionową oś y oraz wykres rosnącej funkcji liniowej o równaniu y=a·x+b. Funkcja ta stanowi oś symetrii dla odcinka P P prim i przecina go prostopadle w punkcie P indeks dolny zero koniec indeksu.

Jeśli $P = (x, y)$ , zaś $P' = (x', y')$ , to środek odcinka $P P'$ ma współrzędne: $(\frac{x + x'}{2}, \frac{y + y'}{2})$ . Punkt $P_{0}$ o takich współrzędnych leży na prostej o równaniu $y = a x + b$ oraz na prostej do niej prostopadłej.

Zatem:

\{\begin{cases} \frac{1}{2} (y + y') = a \cdot \frac{1}{2} (x + x') + b & (1) \\ \frac{y' - y}{x' - x} = - \frac{1}{a} & (2) \end{cases}

Rozwiążemy ten układ równań metodą podstawiania. Z równania $(2)$ wyznaczymy $y'$ :

\begin{matrix} y' = - \frac{1}{a} (x' - x) + y & (3) \end{matrix}

i podstawimy do równania $(1)$ :

y - \frac{1}{a} (x' - x) + y = a (x + x') + 2 b

Otrzymujemy:

(1 + a^{2}) x' = x (1 - a^{2}) + 2 a y - 2 a b

Zatem:

x' = \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} x + \frac{2 a}{1 + a^{2}} y - \frac{2 a b}{1 + a^{2}}

Wyznaczony $x'$ podstawiamy do równania $(3)$ i ostatecznie otrzymujemy:

\{\begin{cases} x' = \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} x + \frac{2 a}{1 + a^{2}} y - \frac{2 a b}{1 + a^{2}} \\ y' = \frac{2 a}{1 + a^{2}} x - \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} y + \frac{2 b}{1 + a^{2}} \end{cases}

Zauważmy, że jeżeli $a = 1$ i $b = 0$ , to prosta ma równanie $y = x$ a z powyższych wzorów otrzymujemy równania symetrii względem dwusiecznej pierwszej i trzeciej ćwiartki układu współrzędnych:

\{\begin{cases} x' = y \\ y' = x \end{cases}

Jeżeli $a = - 1$ i $b = 0$ , to prosta ma równanie $y = - x$ a z powyższych wzorów otrzymujemy równania symetrii względem dwusiecznej drugiej i czwartej ćwiartki układu współrzędnych:

\{\begin{cases} x' = - y \\ y' = - x \end{cases}

Rozważmy okrąg o środku w punkcie $A$ i promieniu długości $r$ . Wyznaczmy obraz tego okręgu w symetrii względem prostej o równaniu $y = a x + b$ .

RH48JoSFvU0Bc

Ilustracja przedstawia poziomą oś x i pionową oś y oraz wykres malejącej funkcji liniowej o równaniu y=a·x+b. Funkcja ta stanowi oś symetrii dla okręgu o środku w punkcie A w pierwszej ćwiartce. Obrazem okręgu A względem prostej jest okrąg o środku w punkcie A prim także w pierwszej ćwiartce, a środki obu okręgów są punktami symetrycznymi względem tej prostej. Oba okręgi są do tego połączone prostą przecinającą wykres funkcji liniowej pod kątem prostym.

Obraz okręgu w symetrii względem prostej jest okręgiem o tym samym promieniu, zaś środki tych okręgów są punktami symetrycznymi względem tej prostejpunkty symetryczne względem prostejpunktami symetrycznymi względem tej prostej.

Przykład 1

Wyznaczymy równania obrazów okręgu o środku w punkcie $A = (5, 2)$ i promieniu długości $3$ względem prostej o równaniu:

$l$ : $y = - 2 x + 3$ ,
$k$ : $y = x$ ,
$m$ : $y = - x$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ
$\{\begin{cases} x' = \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} x + \frac{2 a}{1 + a^{2}} y - \frac{2 a b}{1 + a^{2}} \\ y' = \frac{2 a}{1 + a^{2}} x - \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} y + \frac{2 b}{1 + a^{2}} \end{cases}$ ,
to dla:
$a = - 2$ , $b = 3$ ; $x = 5$ , $y = 2$ otrzymujemy:
$\{\begin{cases} x^{'} = \frac{1 - {(- 2)}^{2}}{1 + {(- 2)}^{2}} \cdot 5 + \frac{2 \cdot (- 2)}{1 + {(- 2)}^{2}} \cdot 2 - \frac{2 \cdot (- 2) \cdot 3}{1 + {(- 2)}^{2}} = - \frac{3}{5} \cdot 5 - \frac{4}{5} \cdot 2 + \frac{12}{5} = - \frac{11}{5} \\ y^{'} = \frac{2 \cdot (- 2)}{1 + {(- 2)}^{2}} \cdot 5 - \frac{1 - {(- 2)}^{2}}{1 + {(- 2)}^{2}} \cdot 2 + \frac{2 \cdot 3}{1 + {(- 2)}^{2}} = - \frac{4}{5} \cdot 5 + \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{6}{5} = - \frac{8}{5} \end{cases}$
Tak więc obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej $l$ jest punkt o współrzędnych $(- \frac{11}{5}, - \frac{8}{5})$ . Równanie obrazu okręgu ma postać: ${(x + \frac{11}{5})}^{2} + {(y + \frac{8}{5})}^{2} = 9$ .
Obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej o równaniu $y = x$ jest punkt o współrzędnych $(2, 5)$ , zatem równanie obrazu okręgu ma postać: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 9$
Obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej o równaniu $y = - x$ jest punkt o współrzędnych $(- 2, - 5)$ , zatem równanie obrazu okręgu ma postać: ${(x + 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 9$

Przykład 2

Wyznaczymy równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 21 = 0$ względem prostej o równaniu $y = 2 x - 3$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy najpierw postać kanoniczną równania tego okręgu:

$(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} - 6 y + 9) - 16 - 9 + 21 = 0$

${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .

Środkiem tego okręgu jest zatem punkt o współrzędnych $(- 4, 3)$ , a promień ma długość $2$ .

Biorąc pod uwagę wzory

$\{\begin{cases} x' = \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} x + \frac{2 a}{1 + a^{2}} y - \frac{2 a b}{1 + a^{2}} \\ y' = \frac{2 a}{1 + a^{2}} x - \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} y + \frac{2 b}{1 + a^{2}} \end{cases}$

oraz fakt, że $a = 2$ i $b = - 3$ , wyznaczamy obraz środka okręgu:

$\{\begin{cases} x' = \frac{1 - 2^{2}}{1 + 2^{2}} x + \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^{2}} y - \frac{2 \cdot 2 \cdot (- 3)}{1 + 2^{2}} = - \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y + \frac{12}{5} \\ y' = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^{2}} x - \frac{1 - 2^{2}}{1 + 2^{2}} y + \frac{2 \cdot (- 3)}{1 + 2^{2}} = \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y - \frac{6}{5} \end{cases}$

Podstawiając w miejsce $x$ liczbę $- 4$ , zaś w miejsce $y$ liczbę $3$ , otrzymujemy:

$\{\begin{cases} x' = - \frac{3}{5} \cdot (- 4) + \frac{4}{5} \cdot 3 + \frac{12}{5} = 3 \cdot \frac{12}{5} = \frac{36}{5} = 7, 2 \\ y' = \frac{4}{5} \cdot (- 4) + \frac{3}{5} \cdot 3 - \frac{6}{5} = - \frac{13}{5} = - 2, 6 \end{cases}$

R3G1Wuxcc3MaQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziewięciu do dwunastu i pionową oś Y od minus pięciu do siedmiu. Wykres funkcji y=2·x-3 przechodzi przez punkty nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i punkt nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Na ilustracji pojawia się także okrąg o środku w punkcie A równym nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu oraz obraz tego okręgu w symetrii względem prostej w punkcie A prim nawias siedem przecinek dwa średnik minus dwa przecinek sześć zamknięcie nawiasu.

Obrazem okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 21 = 0$ w symetrii względem prostej o równaniu $y = 2 x - 3$ jest okrąg o równaniu: ${(x - 7, 2)}^{2} + {(y + 2, 6)}^{2} = 4$

Przykład 3

Wyznaczymy równanie prostej, względem której okręgi $o_{1}$ : ${(x + 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 11$ i $o_{2}$ : ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 11$ są symetryczne.

Rozwiązanie:

Obliczymy najpierw współrzędne środka odcinka łączącego środki danych okręgów i napiszemy równanie prostej prostopadłej do tego odcinka, przechodzącej przez ten środek.

Środek $S_{1}$ pierwszego okręgu ma współrzędne

$S_{1} = (- 3, 6)$ ,

zaś środkiem drugiego okręgu jest punkt

$S_{2} = (3, 0)$ .

Środkiem odcinka $S_{1} S_{2}$ jest punkt $S$ o współrzędnych $(0, 3)$ .

Prosta $S_{1} S_{2}$ ma współczynnik kierunkowy $\frac{0 - 6}{3 - (- 3)} = - 1$ . Prosta prostopadła ma więc współczynnik kierunkowy równy $1$ . Zatem:

$y = x + b$ ,

$3 = 0 + b$ ,

$b = 3$ .

Dane okręgi są symetryczne względem prostej o równaniu $y = x + 3$ .

Słownik

punkty symetryczne względem prostej

punkty, które leżą po przeciwnych stronach tej prostej i w równych od niej odległościach

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik