Warto przeczytać

Pomiary precyzyjne i dokładne – powiesz, że to brzmi jak przysłowiowe „masło maślane”. Jak dokładne, to i precyzyjne – możesz powiedzieć. Zanim jednak to skomentuję, powiem bardziej ogólnie. Język potoczny i precyzyjny język nauk ścisłych to dwa różne światy. Już tu widzisz różnicę. Mówi się raczej „język precyzyjny” niż „język dokładny”, bo pojęcia te faktycznie oznaczają co innego.

Co więc oznacza, że pomiar jest „dokładny”, a co, że „precyzyjny”? Zapiszmy określenia:

DokładnośćDokładność pomiaruDokładność pomiaru to stopień zgodności między wynikiem pomiaru a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Stopień ten charakteryzuje różnica między tymi wartościami. Pomiar uważa się za dokładny, kiedy ta różnica jest mała. Ocena dokładności pomiaru wymaga informacji o prawdziwej wartości wielkości mierzonej.

PrecyzjaPrecyzja pomiarówPrecyzja pomiarów to stopień zgodności pomiędzy wynikami pomiarów wykonanych w tych samych warunkach pomiarowych. Precyzja pomiarów zależy tylko od rozkładu błędów przypadkowych w pomiarach i nie ma odniesienia do wartości prawdziwej.

Dobrze to można zademonstrować w sportowej (strzeleckiej) analogii pokazanej na Rys. 1.

RF9SqoT6fqQeV

Rys. 1. Ilustracja podzielona jest na cztery części, z których każda przedstawia rysunek obrazujący różne rodzaje pomiarów. W górnej i lewej części ilustracji widoczna jest część opisana numerem jeden i podpisana, jako pomiar precyzyjny i dokładny. Na rysunku widać współśrodkowe, niebieskie okręgi o ciemnoniebieskich krawędziach i błękitnych wypełnieniach. Przypominają one tarczę strzelniczą. Na tle okręgów widocznych jest dziewięć czerwonych punktów symbolizujących wyniki pomiarów. Poszczególne okręgi o różnych średnicach przedstawiają różnicę pomiędzy poszczególnymi pomiarami a wartością mierzoną, która znajduje się dokładnie w środku okręgów. Wszystkie punkty widoczne są bardzo blisko środka okręgów. Można to interpretować, jako pomiar precyzyjny, ponieważ wszystkie zmierzone wartości są podobne i dokładny, ponieważ ich odległości od środka okręgów czyli wartości uznanej za prawdziwą są małe. W górnej i prawej części ilustracji widoczna jest część opisana numerem dwa i podpisana, jako pomiar precyzyjny ale niedokładny. Na rysunku widać współśrodkowe, niebieskie okręgi o ciemnoniebieskich krawędziach i błękitnych wypełnieniach. Przypominają one tarczę strzelniczą. Na tle okręgów widocznych jest dziewięć czerwonych punktów symbolizujących wyniki pomiarów. Poszczególne okręgi o różnych średnicach przedstawiają różnicę pomiędzy poszczególnymi pomiarami a wartością mierzoną, która znajduje się dokładnie w środku okręgów. Wszystkie punkty widoczne w górnej i prawej części zewnętrznych okręgów, blisko siebie. Można to interpretować, jako pomiar precyzyjny, ponieważ wszystkie zmierzone wartości są podobne ale niedokładny, ponieważ ich odległości od środka okręgów czyli wartości uznanej za prawdziwą są znaczące. W dolnej i lewej części ilustracji widoczna jest część opisana numerem trzy i podpisana, jako pomiar nieprecyzyjny ale dokładny. Na rysunku widać współśrodkowe, niebieskie okręgi o ciemnoniebieskich krawędziach i błękitnych wypełnieniach. Przypominają one tarczę strzelniczą. Na tle okręgów widocznych jest dziewięć czerwonych punktów symbolizujących wyniki pomiarów. Poszczególne okręgi o różnych średnicach przedstawiają różnicę pomiędzy poszczególnymi pomiarami a wartością mierzoną, która znajduje się dokładnie w środku okręgów. Punkty pomiarowe są rozrzucone po całej tarczy równomiernie w każdym kierunku względem środka okręgów. Można to interpretować, jako pomiar nieprecyzyjny, ponieważ zmierzone wartości nie są podobne ale dokładny, ponieważ wartość uznana za prawdziwą znajduje się w środku rozrzuconych wyników. W dolnej i prawej części ilustracji widoczna jest część opisana numerem cztery i podpisana, jako pomiar nieprecyzyjny i niedokładny. Na rysunku widać współśrodkowe, niebieskie okręgi o ciemnoniebieskich krawędziach i błękitnych wypełnieniach. Przypominają one tarczę strzelniczą. Na tle okręgów widocznych jest dziewięć czerwonych punktów symbolizujących wyniki pomiarów. Poszczególne okręgi o różnych średnicach przedstawiają różnicę pomiędzy poszczególnymi pomiarami a wartością mierzoną, która znajduje się dokładnie w środku okręgów. Punkty pomiarowe są rozrzucone po prawej i górnej części okręgów względem środka a trzy z nich widoczne są poza ich granicami. Można to interpretować, jako pomiar nieprecyzyjny, ponieważ zmierzone wartości nie są podobne i niedokładny, ponieważ wartość uznana za prawdziwą nie znajduje się w środku rozrzuconych wyników.

W przypadkach 1. i 2. pomiary są precyzyjne, bo widzimy małe różnice pomiędzy wynikami kolejnych pomiarów, a więc dobry jest stopień ich zgodności. Jeśli jednak przyjmiemy, że wartością prawdziwą jest środek tarczy, to w przypadku 1. pomiary są też dokładne, czego nie można powiedzieć o przypadku 2.

W przypadkach 3. i 4. pomiary są rozrzucone po całej tarczy, a więc są nieprecyzyjne. W przypadku 3. są jednak rozrzucone w miarę równomiernie na powierzchni tarczy, więc ich wartość średnia wypadnie także w pobliżu środka tarczy. W przypadku 4. są wyraźnie przesunięte w prawo.

Na Rys. 2. pokazany jest praktyczny przykład, gdzie nietrudno zidentyfikować charakterystyczne cechy zarówno dokładności, jak i precyzji pomiarów (strzałów).

R1MG1dYZjcfp6

Rys. 2. Ilustracja przedstawia zdjęcie, na którym widoczna jest tarcza strzelnicza po oddaniu serii strzałów. Tarcza widoczna jest w postaci namalowanych na papierze współśrodkowych okręgów o czarnych krawędziach. Okręgów jest siedem i małą różne średnice, przy czym różnica wartości średnic dla kolejnych, coraz większych okręgów rośnie o stałą wartość. Wewnątrz najmniejszego okręgu widoczny jest symbol wielka litera X oznaczający środek tarczy. Pozostałe okręgi są ponumerowane od najmniejszego z numerem dziesięć do największego z numerem pięć. Okrąg dziewiąty zamalowany jest na szaro, przy czym jego środek w postaci okręgu dziesiątego pozostaje biały. Na tarczy widocznych jest osiem czarnych dziur po kulach. Jedna z nich znajduje się w górnej części okręgu dziesiątego. Trzy widoczne są w granicach okręgu opisanego cyfrą dziewięć, w taki sposób, że jeden widoczny jest w części górnej, jeden w części dolnej a ostatni w prawej części względem środka tarczy. Kolejny ze śladów widoczny jest w lewej i górnej części okręgu ósmego. Następny strzał trafił w górną część okręgu siódmego. W okręgu szóstym widoczne są dwa ślady niemal w jednym miejscu znajdującym się po prawej stornie i nieco w dół względem środka tarczy.

Zauważmy, że precyzja i dokładność to niezależne od siebie własności pomiarów. Może być tak, że pomiary są precyzyjne, bo rozrzut ich jest mały, ale równocześnie niedokładne, jeśli różnią się istotnie od wartości prawdziwej. W innym przypadku mogą być mało precyzyjne, jeśli rozrzut ich jest duży, ale dokładne, jeśli ich wartość średnia jest bliska wartości prawdziwej.

Zauważmy też, że precyzja charakteryzuje błędy przypadkowe występujące w pomiarach, a dokładność charakteryzuje systematyczne odchylenie wyników pomiarów od wartości prawdziwej. Dla określenia precyzji trzeba wykonać serię pomiarów i obliczyć wartość średnią oraz jej niepewność. Im mniejsza jest wartość tej niepewności, tym bardziej precyzyjny jest pomiar. Dla określenia dokładności trzeba znać wartość prawdziwą oraz obliczyć różnicę pomiędzy wartością prawdziwą a wartością średnią. Jeśli różnica ta jest większa niż niepewność wartości średniej, to  prawdopodobieństwo, że wartości te są zgodne jest niewielkie i pomiaru nie możemy uznać za dokładny.

Wartość średnia oraz niepewności standardowe: pojedynczego pomiaru oraz wartości średniej wprowadzone i zdefiniowane zostały w E‑materiale „Rozkład normalny”. Tutaj podajemy tylko same wzory do ich praktycznego wykorzystania.

Wartość średnią z wyników $n$ pomiarów: $x_1$, $x_2$,… $x_n$ wyraża wzór

Niepewność standardowa pojedynczego pomiaru to

Niepewność standardową wartości średniej jest proporcjonalna do niepewności standardowej pojedynczego pomiaru:

Precyzja wyników otrzymanych w tych samych warunkach pomiarowych (wykonywanych przez tę samą osobę i z użyciem tego samego przyrządu pomiarowego) to powtarzalnośćPowtarzalność wynikówpowtarzalność wyników, podczas gdy precyzja wyników otrzymanych w różnych warunkach (różne: osoby przyrządy, warunki otoczenia) to ich odtwarzalnośćOdtwarzalność wynikówodtwarzalność.

A jak wyznaczyć dokładność pomiaru? W realnych pomiarach na ogół wartości prawdziwej nie znamy, bo po to robimy pomiar, by ją poznać. Czy sytuacja jest beznadziejna?

Nie!

Po pierwsze – już we wstępie powiedzieliśmy, że niemożliwe jest wyznaczenie wartości mierzonej absolutnie dokładnie i wystarczy, jeśli wiemy, w jakim przedziale mierzonej wielkości wartość ta się mieści.

Po drugie – po to definiujemy takie pojęcia jak powtarzalność czy odtwarzalność, by mieć zaufanie do wyników naszych pomiarów. Zwróćmy uwagę, że powtarzalność może powiedzieć, czy w naszych pomiarach nie ma błędów grubych i ocenić precyzję naszej metody i naszego urządzenia pomiarowego. Z kolei odtwarzalność, a wiec zgodność wyniku pomiaru tej samej wielkości, ale uzyskanego przez kogoś innego, inną metodą i innym przyrządem pomiarowym, to już istotny test dla potwierdzenia poprawności wyniku naszego pomiaru i zaufania do jego dokładności.

Po trzecie – mamy cały arsenał środków, które pozwolą nam stwierdzić, że wynik naszego pomiaru jest wiarygodny. Są nimi wartości wzorcoweWzorzec miarywartości wzorcowe, z którymi możemy albo porównać nasze wyniki albo wykorzystać je do kalibracji naszej aparatury pomiarowej, by wiedzieć, że wynik pomiaru nie zawiera błędu systematycznego. Wartości wzorcowe wyznaczane są przez autoryzowane do tego instytucje. Często można też skorzystać z wartości uzyskanych w wyniku obliczeń teoretycznych. Bywa też, że możemy posłużyć się wartościami uniwersalnych stałych fizycznych, które z definicji znane są dokładnie, jako wartościami odniesienia. Możliwości jest wiele i niektóre z nich omawiamy w naszym multimedium oraz w zadaniach.

Ważne, by zdawać sobie sprawę, jak poprawnie rozumieć i jak rozróżniać, czym jest precyzja naszego pomiaru, a czym jego dokładność.

Słowniczek