Warto przeczytać

Położenie ciała poruszającego się ruchem drgającym opisuje się wybierając za punkt odniesienia położenie równowagi ciała. Gdy drgania zachodzą wzdłuż osi 0X, a x = 0 odpowiada położeniu równowagi, zależność położenia od czasu w ruchu harmonicznym opisuje zależność:

gdzie $A$ – amplituda drgańamplituda drgań (A)amplituda drgań, $\omega$ - częstość kołowaczęstość kołowa drgań (ωomega)częstość kołowa, $\omega t+\phi$ - faza drgańfaza drgańfaza drgań, a $\phi$ - faza początkowa, czyli faza drgańfaza drgańfaza drgań dla t = 0.

R49vquERxLrcr

Rys. 1. Rysunek przedstawia wykres funkcji sinusoidalnej. Pokazano prostokątny układ współrzędnych, gdzie oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisuje położenia ciała w ruchu drgającym mała litera x i w nawiasie mała litera t. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisuje czas mała litera t. Na osi położenia zaznaczono wartość zero opisaną jako położenia równowagi. W układzie pokazano funkcję sinusoidalną narysowaną niebieską ciągłą linią. Funkcja przyjmuje wartości od minus wielka litera A do plus wielka litera A, gdzie wielka litera A jest amplitudą drgań. Przez punkty na wierzchołkach i dolinkach funkcji poprowadzono czarne przerywane, poziome linie, dla których wartości na osi pionowej są równe minus wielka litera A i plus wielka litera A. Amplituda drgań nie zmienia się w czasie.

Przy takim wyborze punktu odniesienia x(t) określa jednocześnie wychyleniewychylenie (x)wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili t, zatem terminy położenie i wychyleniewychylenie (x)wychylenie ciała drgającego stosuje się zamiennie.

Częstość kołowa drgań ($\omega$) jest odpowiednikiem prędkości kątowej w ruchu jednostajnym po okręgu. Określa, ile pełnych drgań wykonuje ciało w ciągu 2πpi jednostek czasu (np. 2πpi sekund), czyli jest to częstotliwość pomnożona przez 2πpi :

Jednostką częstości kołowejczęstość kołowa drgań (ωomega)częstości kołowej w układzie SI jest radianRadianradian na sekundę (rad/s).

Faza drgań to argument funkcji sinus, jest to kąt wyrażony w radianachRadianradianach. Gdy wartość fazy drgań zmienia się z upływem czasu, zmienia się też wartość funkcji sinus, a więc i wychyleniewychylenie (x)wychylenie.

Fazafaza drgańFaza początkowa określa wychyleniewychylenie (x)wychylenie ciała w chwili t = 0.

Jeśli fazafaza drgańfaza początkowa jest równa zeru, to w chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu równowagi (x = 0) i porusza się w kierunku dodatnim osi OX. Wtedy zależność wychyleniawychylenie (x)wychylenia od czasu opisuje równanie:

R1hOlryDnj1UT

Rys.2. Rysunek przedstawia wykres funkcji sinusoidalnej. Pokazano prostokątny układ współrzędnych, gdzie oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisuje położenia ciała w ruchu drgającym mała litera x i w nawiasie mała litera t. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisuje czas mała litera t. W układzie pokazana jest funkcja sinusoidalna narysowana niebieską ciągłą linią. Funkcja przyjmuje wartości od minus wielka litera A do plus wielka litera A, gdzie wielka litera A jest amplitudą drgań. Odległość poziomą pomiędzy początkiem układu współrzędnych, w którym wartość funkcji jest równa zero i punktem, w którym funkcja po raz drugi przecina oś poziomą opisano jako okres funkcji wielka litera T i zaznaczono pod wykresem w postaci poziomej, dwustronnej czarnej strzałki.

Gdy fazafaza drgańfaza początkowa jest równa πpi/2, to w chwili początkowej wychyleniewychylenie (x)wychylenie jest równe amplitudzie drgańamplituda drgań (A)amplitudzie drgań i ciało porusza się w stronę położenia równowagi. Zależność wychyleniawychylenie (x)wychylenia od czasu opisuje równanie:

a jego wykres przedstawia Rys. 3.

RxsFA5IAWq57R

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres funkcji kosinusoidalnej. Pokazano prostokątny układ współrzędnych, gdzie oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisuje położenia ciała w ruchu drgającym mała litera x i w nawiasie mała litera t. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisuje czas mała litera t. W układzie widoczna jest funkcja kosinusoidalna narysowana niebieską ciągłą linią. Funkcja przyjmuje wartości od minus wielka litera A do plus wielka litera A, gdzie wielka litera A jest amplitudą drgań. Odległość pomiędzy drugim i piątym węzłem funkcji opisano jako jej okres wielka litera T i zaznaczono pod wykresem w postaci czarnej, poziomej, podwójnej strzałki.

W przypadku fazyfaza drgańfazy początkowej ϕ =-πpi/2 ciało też jest w skrajnym położeniu, ale wychyleniewychylenie (x)wychylenie ma przeciwny znak (x = -A). Zależność wychyleniawychylenie (x)wychylenia od czasu opisuje równanie:

a wykres zaczyna się od x = -A (Rys. 4.).

R4X5IBiSkxOdI

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres funkcji minus cosinus. Pokazano prostokątny układ współrzędnych, gdzie oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisuje położenia ciała w ruchu drgającym mała litera x i w nawiasie mała litera t. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisuje czas mała litera t. W układzie pokazano funkcję minus cosinus narysowaną niebieską ciągłą linią. Funkcja przyjmuje wartości od minus wielka litera A do plus wielka litera A, gdzie wielka litera A jest amplitudą drgań. Odległość pomiędzy drugim i piątym węzłem funkcji opisano jako jej okres wielka litera T i zaznaczono pod wykresem w postaci czarnej, poziomej, podwójnej strzałki.

Ogólnie, gdy fazafaza drgańfaza początkowa jest różna od zera, to wykres x(t) jest przesunięty wzdłuż osi czasu w kierunku przeciwnym do znaku . Gdy $\phi$ > 0 to wykres jest przesunięty w kierunku wartości ujemnych (Rys. 5a.), a gdy $\phi$ < 0 w kierunku dodatnim osi czasu (Rys. 5b.).

R3gvF0eli0Nox

Rys. 5. Ilustracja podzielona jest na dwie części, prawą oraz lewą. Obie części przedstawiają wykresy funkcji sinusoidalnych. Na rysunkach przedstawiono prostokątne układy współrzędnych, gdzie osi pionowe układów skierowane są w górę i opisują wychylenia ciała w ruchu drgającym mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera t. Osie poziome układów skierowane są w prawo i przedstawiają czas mała litera t. Na osiach pionowych zaznaczono wartości zero, które opisują punkt położenia równowagi ciała w ruchu drgającym. W układach pokazano funkcje sinusoidalne narysowane niebieskimi ciągłymi liniami, których wartości zmieniają się od minus wielka litera A do plus wielka litera A. Wielka litera A oznacza amplitudę drgań. W układzie pokazanym po lewej stronie funkcja sinusoidalna dla czasu zero ma wartość większą od zera i początkowo rośnie. Oznacza to, że wykres przedstawia drgania przesunięte w fazie o kąt mała grecka litera fi, gdzie faza początkowa jest większa od zera. W układzie pokazanym po prawej stronie funkcja sinusoidalna dla czasu zero ma wartość mniejszą od zera i początkowo rośnie. Oznacza to, że wykres przedstawia drgania przesunięte w fazie o kąt mała grecka litera fi, gdzie faza początkowa jest mniejsza od zera.

Przykład 1.

Zapisz równanie i narysuj wykres zależności położenia od czasu drgań harmonicznych o amplitudzieamplituda drgań (A)amplitudzie: A = 0,15 m, częstotliwości f = 2/3 Hz i faziefaza drgańfazie początkowej -πpi/2.

Częstość kołowaczęstość kołowa drgań (ωomega)Częstość kołowa: $\omega =2\pi f=4\pi /3rad/s$

Okres drgań $T=\frac{1}{f}=1,5s$

R1RleS3MYdkAh

Rys. 6. Wykres przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie równej piętnaście tysięcznych metra. Pokazano prostokątny układ współrzędnych, gdzie oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia wychylenia ciała w ruchu drgającym mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m wyrażająca metry. Na osi wychylenia zaznaczono wartości od minus dwóch setnych metra do plus dwóch setnych metra co pięć tysięcznych metra. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia czas mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s, wyrażony w sekundach. Na osi czasu zaznaczono wartości od zera do czterech sekund, co pięć dziesiątych sekundy. W układzie pokazano funkcję minus cosinus narysowaną niebieską ciągłą linią. Funkcja przyjmuje wartości od minus piętnastu tysięcznych metra do plus piętnastu tysięcznych metra. Minima funkcji widoczne są dla czasów równych zero sekund, jedna i pięć dziesiątych sekundy oraz trzy sekundy.

Przykład 2.

Oblicz wychyleniewychylenie (x)wychylenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym po czasie równym 1/8 okresu drgań. Fazafaza drgańFaza początkowa jest równa zero, a amplituda drgańamplituda drgań (A)amplituda drgań A.

Wychyleniewychylenie (x)Wychylenie x(t) w ruchu harmonicznym dla fazyfaza drgańfazy początkowej $\phi =0$:

Podstawiamy:

Wychyleniewychylenie (x)Wychylenie po 1/8 okresu wynosi $\frac{\sqrt{2}}{2}A$.

Słowniczek

Radian

Radian

(ang. radian) jednostka kąta w układzie SI.

Kąt $\alpha$ w radianach (zwany kątem w mierze łukowej) jest zdefiniowany jako stosunek długości łuku s do promienia tego łuku r:

$$\alpha =\frac{s}{r}$$

R15Yn0rIBqAcq

Rysunek przedstawia definicję radiana. Na rysunku przedstawiono okrąg o czarnych krawędziach. Środek okręgu opisano wielką literą R. Ze środka okręgu poprowadzono do jego obwodu dwa promienie, narysowane w postaci czarnych odcinków. Jeden z promieni biegnie poziomo w prawo, a drugi w prawo i w górę. Długość promieni opisano małą literą r. Kąt ostry pomiędzy promieniami opisano małą grecką literą alfa. Długość łuku pomiędzy punktami styczności promieni z obwodem okręgu opisano wielką literą S. Jeżeli długość łuku wielka litera S jest równa długości promienia okręgu, wówczas kąt mała grecka litera alfa jest równy jednemu radianowi.

Kąt jest równy jednemu radianowi, gdy długość łuku jest równa jego promieniowi. Kąt pełny jest równy $2\pi rad.$