Wykres zależności położenia od czasu w ruchu drgającym i jego interpretacja

Animacja przedstawia wykres zależności położenia od czasu x(t) w ruchu harmonicznym. Pokazuje, jak zmienia się ten wykres przy zmianie amplitudy, częstotliwości (okresu) drgań i fazy początkowej.

Obserwuj ruch drgający punktu i odpowiadający mu wykres zależności położenia od czasu. W dowolnej chwili możesz zatrzymać animację i ponownie ją uruchomić.

Zmieniaj paramery ruchu i obserwuj wpływ na krzywą x(t).

R1NRSN1VCqZqy
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Animacja przedstawia wykres zmiany położenia ciała w harmonicznym ruchu drgającym. Na ekranie animacji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu przedstawia zmianę położenia ciała w harmonicznym ruchu drgającym mała litera x. Na osi położenia zaznaczono wartości od minus dziesięciu do dziesięciu jednostek, co dwie jednostki. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia czas mała litera t. Na osi czasu zaznaczono wartości od minus ośmiu do plus trzydziestu ośmiu jednostek, co dwie jednostki. W układzie widoczna jest sinusoidalna funkcja narysowana pomarańczową i przerywaną linią opisująca drgania ciała, której parametry użytkownik może zmieniać przy pomocy trzech poziomych suwaków w lewym i górnym rogu ekranu. Suwaki widoczne są jeden nad drugim. Górny suwak jest pomarańczowy i służy do zmiany amplitudy drgań wielka litera A. Amplitudę można zmieniać od zera do pięciu jednostek, co jedną dziesiątą jednostki. Zmiana amplitudy powoduje zmianę granic zaznaczonych na osi pionowej układu, pomiędzy którymi pomarańczowa funkcja zmienia swoje wartości. Dla amplitudy równej zero funkcja przybiera postać funkcji stałej o wartości zero. Dla amplitudy równej pięć jednostek, wartość funkcji sinusoidalnej zmienia się periodycznie od minus pięciu do pięciu jednostek wzdłuż osi pionowej. Środkowy suwak jest koloru niebieskiego i umożliwia zmianę długości okresu funkcji sinusoidalnej wielka litera T. Wartość okresu można zmieniać od zera do pięciu jednostek, co jedną dziesiątą jednostki. Dla okresu o długości zero jednostek, pomarańczowa funkcja znika z układu współrzędnych, ponieważ zmiany wartości funkcji byłyby w takim przypadku nieskończenie szybkie. Dla wartości okresu większej niż zero jednostek w układzie pojawia się funkcja sinusoidalna, której okres zmian jest tym gęstszy im mniejsza jest wartość okresu. Długość okresu funkcji sinusoidalnej zaznaczono na wykresie w postaci niebieskiej, poziomej, dwustronnej strzałki podpisanej wielką literą T i wskazującej odległość poziomą pomiędzy dwoma sąsiednimi maksimami funkcji. Długość okresu jest równa wartości wybranej przez użytkownika. Dolny suwak jest koloru zielonego i umożliwia zmianę wartości przesunięcia fazowego funkcji sinusoidalnej mała grecka litera fi. Wartość tę można zmieniać od zera do dwóch razy mała grecka litera pi, co jedną dziesiątą mała grecka litera pi. Zmiana wartości przesunięcia fazowego powoduje przesunięcie funkcji sinusoidalnej na wykresie w kierunku poziomym. Dla przesunięcia fazowego równego zero funkcja wygląda dokładnie jak funkcja sinus i swój początek ma w początku układu współrzędnych. Dla wartości większych, niż zero funkcja przesuwana jest w lewo a jej początek zmienia położenia na pionowej osi wychylenia. Fizycznie interpretowane jest to jako analiza ruchu drgającego z pewnym zadanym wychyleniem początkowym. Przykładowo, jeżeli wartość fazy początkowej zostanie zmieniona na pięć dziesiątych razy mała grecka litera pi, to funkcja sinusoidalna zmienia się w funkcję kosinus a jej początek dla czasu mała litera t równego zero znajduje się w położeniu maksymalnego wychylenia w górę. Dla wartości fazy początkowej równej mała grecka litera pi, funkcja zmienia się w funkcję minus sinus, dla jeden i pięć dziesiątych mała grecka litera pi jest to funkcja minus kosinus a dla fazy początkowej równej dwa razy mała grecka litera pi funkcja znów  jest funkcją sinus. U góry ekranu widoczne jest równanie opisujące funkcję, której parametry zostały wybrane przez użytkownika. Wychylenie ciała w funkcji czasu mała litera x i w nawiasie mała litera t jest równe iloczynowi amplitudy wielka litera A i funkcji sinus, w której argumencie znajduje się suma iloczynu dwóch pi i czasu mała litera t podzielonego przez okres wielka litera t dodać faza początkowa mała grecka litera fi. Za amplitudę, okres oraz fazę początkową podstawiane są wartości wybrane przez użytkownika. W górnym i lewym rogu animacji widoczne są trzy przyciski: start, stop i reset. Wciśnięcie przycisku start powoduje pojawienie się w początku układu współrzędnych pomarańczowego punktu, który zaczyna poruszać się wzdłuż pomarańczowej funkcji sinusoidalnej narysowanej przerywaną linią. Część funkcji, którą przebył pomarańczowy punkt zmienia się na funkcję narysowaną ciągłą i pomarańczową linią. Po lewej stronie osi położenia pojawia się drugi pomarańczowy punkt, poruszający się cyklicznie w górę i w dół, w granicach od minus do plus wartości amplitudy zdefiniowanej przez użytkownika. Punkt ten jest rzutem punktu poruszającego się po funkcji na ponową oś wychylenia. Przycisk stop zatrzymuje oba punkty a przycisk reset powoduje powrót animacji do stanu początkowego.

Przykład: kiedy dobieramy parametry, dane w równaniu się wypełniają automatycznie. Zacznijmy od amplitudy, mamy do wyboru zakres od 0 do 5 co 0,5. Wybierzmy 2. Teraz okres od 0 do 5 co 0,5. Wybierzmy 5. Trzeci parametr to faza od 0 do 2 co 0,5. Wybierzmy 2. Otrzymujemy równanie 2 sinus nawias, ułamek 2 Pi przez 5 razy t plus 2 Pi, koniec nawiasu. Pomarańczowy punkt zaczyna się poruszać po wciśnięciu przycisku start. Startuje w początku układu współrzędnych, porusza się w kierunku maksimum, gdzie zaznaczono początek okresu, następnie dąży do minimum pokonując położenie równowagi i z powrotem dąży do maksimum, gdzie zaznaczono koniec okresu. Jednocześnie z lewej strony wykresu rysowane są wychylenia od położenia równowagi tego punktu. Co to znaczy? Że od początku do końca wybranego okresu punkt ten 4 razy osiąga amplitudę. Najpierw biegnąc od maksimum gdzie mamy + A do położenia równowago, potem do minimum - A, z powrotem do położenia równowagi i do maksimum + A. 

1
Polecenie 1

Jaką drogę przebywa punkt w ciągu całego okresu T.

uzupełnij treść
1
Polecenie 2

Jak zmienia się częstotliwość i częstość kołowa drgań gdy okres drgań wzrasta?

uzupełnij treść
1
Polecenie 3

W jakim punkcie rozpoczyna się wykres drgań dla fazy początkowej równej pi/2?

uzupełnij treść