Przeczytaj
W biurze redaktora naczelnego Gazety Powiatowej
wisi plakat, na którym uwieczniono wizerunki kilkuset uczniów klas maturalnych, ustawionych w rzędach, a w każdym rzędzie od do osób. Zdaniem redaktora na plakacie jest około ośmiuset osób. Jest to poprawne oszacowanie, ponieważ liczba maturzystów na pewno jest nie mniejsza niż i nie większa niż . Dokładna wartość nie jest redaktorowi potrzebna.
Płytę pilśniową o długości mamy pociąć na siedem równych części, przy czym do odmierzenia długości odcinanych części używamy standardowej taśmy z podziałką milimetrową. Ponieważ:
więc zapewne będziemy odcinać kolejne części w odstępach równych , zaniedbując dziesiąte części milimetra.
W drugim przykładzie liczbę, która miała po przecinku wiele cyfr (tak naprawdę nieskończenie wiele), przybliżyliśmy liczbą z tylko jedną cyfrą po przecinku. Przypomnijmy regułę, która obowiązuje przy wykonywaniu tego typu działań.
Jeżeli zaokrąglamy liczbę do – tego miejsca po przecinku, to cyfrę na miejscu – tym:
zostawiamy bez zmian, gdy na miejscu jest cyfra , , , lub ,
zwiększamy o , gdy na miejscu jest cyfra , , , lub .
Jeżeli zaokrąglenie powoduje, że trzeba zwiększyć o cyfrę , to zamiast piszemy i zwiększamy o poprzednią cyfrę. Na przykład liczba , w zaokrągleniu do czwartego miejsca po przecinku, to , czyli .
Rozwinięcie dziesiętne ułamka jest okresowe, przy czym okres składa się aż z cyfr:
Jeśli więc chcemy operować ułamkiem w postaci rozwinięcia dziesiętnego, to zazwyczaj będziemy używać jego przybliżonej wartości. Przykładowo, możemy ten ułamek zaokrąglić do trzech miejsc po przecinku: lub – powiedzmy do siedmiu: .
Zaokrąglenia i przybliżenia często są obarczone pewnym błędem. Jeżeli przybliżenie jest większe od przybliżanej wartości, to mamy do czynienia z przybliżeniem z nadmiarem, a gdy jest mniejsze – z przybliżeniem z niedomiarem.
Wieża Eiffla liczy wysokości. Jeśli powiemy, że ma ona , to przybliżymy jej wysokość z niedomiarem. Pomylimy się przy tym w naszym przybliżeniu o .
Jedne z największych drzew na Ziemi to sekwoje. Należące do tego gatunku drzewo General Sherman ma objętość (zwaną także miąższością) szacowaną na . Jeśli powiemy, że ma ono objętości, to przybliżymy tę wielkość z nadmiarem. Pomyłka związana z naszym przybliżeniem będzie równa .
Drzewo General Sherman ma około dwa i pół tysiąca lat i mierzy blisko .
W powyższych przykładach, określając niedokładność naszego szacowania, używaliśmy tzw. błędu bezwzględnego. Oto ścisła definicja tego pojęcia.
Jeżeli liczba jest przybliżeniem liczby , to błędem bezwzględnym tego przybliżenia nazywamy liczbę:
Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna, np. oraz .
Błąd bezwzględny podajemy w tych samych jednostkach, w których wyrażona jest wielkość przybliżana.
Błąd bezwzględnyBłąd bezwzględny to odległość liczb i na osi liczbowej:
Błąd bezwzględny wyraża się liczbą nieujemną. Ponadto zachodzi równość:
Kazik, oglądając film przyrodniczy o płetwalu błękitnym, stwierdził, że płetwal waży pewnie ton (czyli ). Płetwal ważył dokładnie , zatem chłopiec przybliżył jego masę z nadmiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
.
Wujek Kazika, przyglądając się w ZOO ryjówce etruskiej, ważącej gramy, pomyślał, że musi ona ważyć około dwóch dekagramów. Wujek Kazika przybliżył masę ryjówki z nadmiarem. Błąd bezwzględnyBłąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy: .
Ryjówka etruska to jeden z najmniejszych ssaków żyjących na Ziemi.
Mimo, że wujek Kazika pomylił się tylko o gramów, a Kazik o tony, to jednak wydaje się, że to Kazik dokładniej oszacował wagę płetwala, niż jego wujek, próbując określić wagę ryjówki.
Aby to nasze odczucie wyrazić precyzyjnie, musimy zdefiniować jeszcze jeden ważny parametr, który będzie odnosił przybliżenie danej liczby do jej wielkości.
Jeżeli liczba jest przybliżeniem liczby , to błędem względnym tego przybliżenia nazywamy liczbę:
Obliczymy błąd względnybłąd względny, jaki popełnił Kazik w swoich szacunkach masy płetwala.
Mamy: , .
Stąd błąd względny jest równy:
W ocenie masy płetwala Kazik pomylił się więc jedynie o około procent.
Jak widać na przykładach, błąd względny wygodnie jest podawać w postaci procentu. Błąd ten, jako stosunek dwóch wielkości wyrażonych tą samą jednostką, jest bezwymiarowy.
Obliczymy teraz błąd względnybłąd względny, jaki popełnił wujek Kazika w ocenie masy ryjówki.
Mamy oraz , zatem błąd względny jest równy:
Wujek Kazika pomylił się w ocenie masy ryjówki aż o .
Zobaczymy teraz, jak błąd w ocenie jednej wielkości może wpływać na błąd w ocenie innej wielkości.
Odległość w linii prostej między Rzeszowem a Szczecinem jest równa . Na mapie w skali odległość ta, zmierzona linijką z podziałką milimetrową, wynosi . Korzystając z tego pomiaru, możemy oszacować rzeczywistą odległość w linii prostej między tymi miastami. , więc odległość ta wynosi .
Zauważmy, że błąd bezwzględnybłąd bezwzględny oszacowania odległości obu miast wynosi , więc błąd względnybłąd względny to w tym przypadku , a więc jest mniejszy niż .
Sprzedawca owoców ma wagę, która waży z dokładnością do pięciu dekagramów. Załóżmy, że klient kupuje kilogram jabłek w cenie za kilogram. Oblicz, ile groszy może w najgorszym przypadku przepłacić z powodu niedoskonałości sklepowej wagi.
Zauważmy, że jeśli sprzedawca położy na wadze jabłek, a waga wskaże , to klient za jabłek zapłaci , choć prawidłowo powinien zapłacić:
W najbardziej niesprzyjających okolicznościach klient przepłaci za kupiony towar .
Słownik
jeżeli liczba jest przybliżeniem liczby , to błędem względnym tego przybliżenia nazywamy liczbę:
jeżeli liczba jest przybliżeniem liczby , to błędem bezwzględnym tego przybliżenia nazywamy liczbę: